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Die Zeitentwicklung in einem beliebigen Bild (Dirac-Bild)

Wir wenden uns nun der Formulierung der Bewegungsgleichungen für die Zustandsvektoren und Observablenoperatoren in einem beliebigen Bild der Zeitentwicklung zu. Stellen wir die Bewegungsgleichungen nochmals übersichtlich zusammen, ohne vom Schrödinger-Bild auszugehen (wie in Abschnitt 2.10). Die physikalische Zeitentwicklung ist durch den Hamiltonoperator des Systems gegeben, und dieser repräsentiert die Energie. Wie wir in Abschnitt 2.10 gesehen haben, erlaubt es uns die Freiheit, alle Operatoren und Zustände einer zeitabhängigen unitären Transformation der Form (2.10.1) zu unterziehen, eine in weiten Grenzen willkürliche Verteilung der mathematischen Zeitabhängigkeit auf Zustände und Operatoren. Unabhängig von der Wahl des Bildes ergeben sich stets dieselben Aussagen über (zumindest prinzipiell) beobachtbare Größen wie Wahrscheinlichkeiten für die Werte irgendeiner Observablen oder Erwartungswerte von Observablen etc.

Wir betrachten nun ein allgemeines Bild. Dieses muß nicht, wie in Abschnitt 2.10 durch die Bildtransformation vom Schrödinger- in das andere Bild hergeleitet werden, sondern kann direkt durch die Wahl der Operatoren $ \op{X}(t)$ und $ \op{Y}(t)$ in den Gln. (2.10.5) und (2.10.10) charakterisiert werden. Wir müssen also Gleichungen finden, die unabhängig von der Bildtransformation $ \op{B}(t)$ sind. Dazu bedienen wir uns der Bewegungsgleichungen für die Zustände und Operatoren (2.10.5) und (2.10.10). Wir lassen im folgenden den Strich an den Operatoren in dem beliebigen Bild weg. Es ist freilich unbedingt darauf zu achten, daß alle Zustandsvektoren und Observablenoperatoren in einem bestimmten Bild der Zeitentwicklung zu verwenden sind!

Die Wahl des Bildes der Zeitentwicklung wird also bestimmt durch die Wahl der selbstadjungierten Operatoren

$\displaystyle \op{X}(t)$   und$\displaystyle \quad \op{Y}(t)=\op{H}-\op{X}(t).$ (2.15.1)

Die Bewegungsgleichungen für Zustandsvektoren und Observablenoperatoren lauten dann gemäß (2.10.5) und (2.10.10)

  $\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \op{O}(t)=\frac{1}{\ii \hbar} \comm{\op{O}(t)}{\op{X}(t)}$ (2.15.2)
  $\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \ket{\psi(t)} = -\frac{\ii}{\hbar} \op{Y}(t) \ket{\psi(t)}.$ (2.15.3)

Hierbei betrachten wir nur Observablenoperatoren, die nicht explizit zeitabhängig sind. Wir denken uns die Operatoren und Zustände zu einem beliebigen Anfangszeitpunkt $ t_0=0$ vorgegeben und wollen die Gleichungen (2.15.2) und (2.15.3) lösen. Da quantenmechanische Wahrscheinlichkeiten, die Selbstadjungiertheit und Kommutatorrelationen der Observablenoperatoren usw. bei der Zeitentwicklung erhalten bleiben müssen, erwarten wir, daß es unitäre Zeitentwicklungsoperatoren für die Zustände und Observablenoperatoren gibt, so daß die Bewegungsgleichungen durch

  $\displaystyle \op{O}(t)=\op{A}(t) \op{O}(t=0) \op{A}^{\dagger}(t),$ (2.15.4)
  $\displaystyle \ket{\psi(t)}=\op{C}(t) \ket{\psi(t=0)}$ (2.15.5)

gelöst werden. Dabei gelten die Unitaritätsbedingungen

$\displaystyle \op{A}^{\dagger}(t) \op{A}(t)=\op{A}^{\dagger}(t) \op{A}(t)=\einsop, \quad \op{C}^{\dagger}(t) \op{C}(t)=\op{C}^{\dagger}(t) \op{C}(t)=\einsop.$ (2.15.6)

Aus (2.15.4) folgt auch sofort die Zeitabhängigkeit der Eigenzustände des Operators $ \op{O}(t)$. Wir definieren diesen Eigenzustand dadurch, daß er zur Zeit $ t$ den fest vorgegebenen Eigenwert $ o$ besitzt. Wegen der Unitarität des Zeitentwicklungsoperators $ \op{A}(t)$ ist es klar, daß sich das Spektrum des Operators $ \op{O}(t)$ nicht ändert, d.h. $ \op{O}(t)$ besitzt dieselben (verallgemeinerten) Eigenwerte wie $ \op{O}(t=0)$. Per definitionem ist also stets

$\displaystyle \op{O}(t) \ket{o,t}=o \ket{o,t}.$ (2.15.7)

Diese Eigenschaft erfüllt nun aber offensichtlich der Vektor

$\displaystyle \ket{o,t}= \op{A}(t) \ket{o,t=0},$ (2.15.8)

denn es ist

\begin{displaymath}\begin{split}\op{O}(t) \op{A}(t) \ket{o,t=0} &= \op{A}(t) \op...
... \op{O}(t=0) \ket{o,t=0} = o \op{A}(t) \ket{o,t=0}. \end{split}\end{displaymath} (2.15.9)

Da $ \op{A}(t)$ unitär ist, durchläuft weiter $ \op{A}(t) \ket{o,t=0}$ ein (verallgemeinertes) vollständiges Orthonormalsystem, wenn $ \ket{o,t=0}$ ein solches repräsentiert. Wir können also (2.15.8) als ein verallgemeinertes VONS von Eigenzuständen zu $ \op{O}(t)$ verwenden, wenn wir ein solches VONS von Eigenzuständen $ \ket{o,t=0}$ zu $ \op{O}(t=0)$ gefunden haben. Damit ist (2.15.8) eine konsistente Zeitentwicklung für die Eigenzustände von $ \op{O}(t)$.

Wenden wir uns nun als erstes der Bewegungsgleichung (2.15.3) für die Zustände zu. Um die entsprechende Bewegungsgleichung für $ \op{C}(t)$ zu erhalten, leiten wir (2.15.5) nach der Zeit ab

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \ket{\psi(t)} = \dot{\op{C}}(t) \ket{\psi(t_0)} = \dot{\op{C}}(t) \op{C}^{\dagger}(t) \ket{\psi(t)}.$ (2.15.10)

Der Vergleich mit (2.15.3) zeigt, daß $ \op{C}(t)$ die Bewegungsgleichung

$\displaystyle \dot{\op{C}}(t) \op{C}^{\dagger}(t)=-\frac{\ii}{\hbar} \op{Y}(t)$ (2.15.11)

erfüllt. Daß dies mit der Selbstadjungiertheit von $ \op{Y}$ verträglich ist, zeigt man unter Verwendung der Unitarität (2.15.6) wie bei der entsprechenden Rechnung für die Bildtransformation (2.10.6-2.10.8). Multiplizieren wir dies von rechts mit $ \op{C}$ erhalten wir

$\displaystyle \dot{\op{C}}(t)=-\frac{\ii}{\hbar} \op{Y}(t) \op{C}(t).$ (2.15.12)

Diese Gleichung ist unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung

$\displaystyle \op{C}(0)=\einsop$ (2.15.13)

zu lösen. Sie kann nun nicht wie eine Differentialgleichung mit gewöhnlichen Funktionen behandelt werden, da $ \op{Y}(t)$ und $ \op{C}(t)$ i.a. nicht notwendig kommutieren müssen. Ebensowenig müssen die Operatoren $ \op{Y}(t)$ und $ \op{Y}(t')$ zu verschiedenen Zeiten kommutieren!

Falls allerdings $ \op{Y}=$const ist, gilt offenbar

$\displaystyle \op{C}(t)=\exp \left(-\frac{\ii t}{\hbar} \op{Y} \right)$   falls$\displaystyle \quad \op{Y}=$const$\displaystyle ,$ (2.15.14)

wie man sofort durch Differenzieren bestätigt.

Um wenigstens eine formale Lösung bei zeitabhängigem $ \op{Y}$ zu erhalten, formen wir (2.15.12) zu einer Integralgleichung um, indem wir sie unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung von $ t'=0$ bis $ t'=t$ integrieren. Dies liefert

$\displaystyle \op{C}(t)=\einsop -\frac{\ii}{\hbar} \int_0^{t} \dd t' \; \op{Y}(t') \op{C}(t').$ (2.15.15)

Dies ist eine Rekursionsgleichung, die wir iterativ lösen können. Setzen wir als Anfangsnäherung für die Lösung $ \op{C}_0=\einsop$, welche wenigstens die Anfangsbedingung erfüllt, auf der rechten Seite von (2.15.15) ein, und sehen das Resultat als eine verbesserter Näherung von $ \op{C}$ an, erhalten wir

$\displaystyle \op{C}_1(t)=\einsop -\frac{\ii}{\hbar} \int_0^{t} \dd t_1 \; \op{Y}(t_1).$ (2.15.16)

Diese Näherung setzen wir wieder in (2.15.15) ein, um die nächste Näherung zu erhalten:

$\displaystyle \op{C}_2(t)=\einsop-\frac{\ii}{\hbar} \int_{0}^t \dd t_1 \op{Y}(t...
...r} \right)^2 \int_0^{t} \dd t_2 \op{Y}(t_2) \int_{0}^{t_2} \dd t_1 \op{Y}(t_1).$ (2.15.17)

Diese Iteration können wir nun offenbar beliebig fortführen. Wir erhalten dann

\begin{displaymath}\begin{split}\op{C}(t)&=\einsop+\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\f...
...}(t_{n-1}) \cdots \op{Y}(t_{1})}_{\op{C}^{(k)}(t)}. \end{split}\end{displaymath} (2.15.18)

Es auch einfach zu zeigen, daß diese iterative Lösung (wenigstens formal) die Gleichung (2.15.12) löst (Übung!). Offensichtlich geht auch (2.15.18) für zeitunabhängiges $ \op{Y}=$const in (2.15.14) über.

Wir können (2.15.18) noch etwas vereinfachen, indem wir die komplizierte ,,Schachtelstruktur`` der oberen Grenzen in den Zeitintegralen auflösen. Dabei ist Vorsicht geboten, weil i.a. $ \op{Y}(t)$ und $ \op{Y}(t')$ für $ t \neq t'$ nicht kommutieren. Es ist allerdings charakteristisch, daß die Operatoren in dem Produkt unter dem Integral stets zeitgeordnet sind, d.h. die Zeitargumente sind von rechts nach links gelesen monoton wachsend. Dies werden wir uns sogleich zunutze machen.

Betrachten wir zunächst das Doppelintegral in (2.15.17).

$\displaystyle \op{C}^{(2)}(t)=\int_0^{t} \dd t_2 \int_{0}^{t_2} \dd t_1 \op{Y}(t_2) \op{Y}(t_1).$ (2.15.19)

Dies können wir als Flächenintegral in der $ t_1$-$ t_2$-Ebene lesen, das über das schraffierte Dreieck in Abb. 2.2 zu nehmen ist.

\includegraphics[width=0.4 \textwidth]{area}
Zur Berechnung des Dopppelintegrals in (2.15.17)
Wir wollen nun die Integration in den Variablen $ t_1$ und $ t_2$ symmetrisieren. Dazu vertauschen wir die Reihenfolge der Integrationsvariablen

$\displaystyle \op{C}^{(2)}(t) = \int_{0}^{t} \dd t_{1} \int_{t_{1}}^{t} \dd t_{2} \; \op{Y}(t_{1}) \op{Y}(t_{2}).$ (2.15.20)

Dabei ist aber genau auf die Operatoranordnung zu achten. Die entscheidende Beobachtung ist, daß sowohl in der ursprünglichen Form (2.15.19) als auch in der Form (2.15.20) die Operatoren von rechts nach links nach wachsenden Zeiten geordnet sind. Dafür definiert man den kausalen Zeitordnungsoperator $ \mathcal{T}_{c}$, der stets auf ein Produkt von Operatoren wirkt und für die Zeitordnung sorgt, in der die Zeiten von rechts nach links in wachsender Folge stehen. Sind die Operatoren in dem Produkt zeitunabhängig, vereinbaren wir, daß der Zeitordnungsoperator die Reihenfolge der Operatoren ungeändert läßt. Für Summen von Operatorprodukten ist $ \mathcal{T}_c$ als linearer Operator definiert.

Durch Einführung des Zeitordnungsoperators können wir dann in (2.15.20) durch Umbenennen der Integrationsvariablen $ t_{1}$ und $ t_{2}$ vertauschen, und wir können die beiden Gleichungen addieren, so daß auf der linken Seite $ 2\op{C}^{(2)}$ entsteht und auf der rechten das Integral über das gesamte Quadrat $ (0,t) \times (0,t)$ integriert wird:

$\displaystyle 2 \op{C}^{(2)}(t)=\mathcal{T}_c \int_{0}^{t} \dd t_{1} \int_{0}^{t} \dd t_{2} \; \op{Y}(t_{1}) \op{Y}(t_{2}).$ (2.15.21)

Wir behaupten nun, daß im allgemeinen Fall

$\displaystyle \op{C}^{(k)}(t)=\frac{1}{k!} \mathcal{T}_c \int_{0}^{t} \dd t_{1} \cdots \int_{0}^{t} \dd t_{n} \; \op{Y}(t_{1}) \cdots \op{Y}(t_{n})$ (2.15.22)

ist. Zum Beweis nehmen wir an, die Behauptung sei für $ k=n-1$ wahr. In der Definition (2.15.18) für $ \op{C}^{(k)}(t)$ setzen wir $ k=n$. Darin ergeben die $ n-1$ innersten Integrale definitionsgemäß $ \op{C}^{(n-1)}(t_{1})$. Nach Induktionsannahme ist für dieses Integral die Behauptung wahr, d.h. es gilt

$\displaystyle \op{C}^{(n)}(t)=\frac{1}{(n-1)!} \int_{0}^{t} dt_{1} \; \op{Y}(t_...
...}} dt_{2} \cdots \int_{0}^{t_{1}} dt_{n} \; \op{Y}(t_{2}) \cdots \op{Y}(t_{n}).$ (2.15.23)

Jetzt denken wir uns die Rechnung, die wir schon für $ \op{C}^{(2)}$ ausgeführt haben, nacheinander jeweils für das äußerste und eines der innersten Integrale ausgeführt und die Ergebnisse der entstehenden Gleichungen addiert. Dann erhält man nach Division durch $ n$

$\displaystyle \op{C}^{(n)}(t)=\frac{1}{n!} \mathcal{T}_c \int_{0}^{t} dt_{1} \cdots \int_{0}^{t} dt_{2} \op{Y}(t_{1}) \cdots \op{Y}(t_{n}),$ (2.15.24)

und dies ist die Behauptung für $ k=n$, so daß diese nach dem Prinzip der vollständigen Induktion bewiesen ist.

Wir können also nunmehr die Reihe (2.15.18) symbolisch in der Form

$\displaystyle \op{C}(t)=\mathcal{T}_c \exp \left [ -\frac{\ii}{\hbar} \int_{0}^{t} d\tau \op{Y}(\tau) \right ]$ (2.15.25)

schreiben. Damit haben wir unser Anfangsbwertproblem (2.15.12-2.15.13) gelöst. Wir bemerken noch, daß für einen zeitunabhängigen Operator $ \op{Y}=$const (2.15.25) tatsächlich in (2.15.14) übergeht.

Schließlich müssen wir uns noch mit der Zeitentwicklung der Observablenoperatoren beschäftigen. Leiten wir also (2.15.4) nach der Zeit ab:

\begin{displaymath}\begin{split}\dot{\op{O}}(t)&=\dot{\op{A}}(t) \op{O}(t_0) \op...
...sop} \op{O}(t) \op{A}(t) \dot{\op{A}}^{\dagger}(t). \end{split}\end{displaymath} (2.15.26)

Wie in der Rechnung (2.10.7) folgt aus der Unitarität von $ \op{A}(t)$

$\displaystyle \dot{\op{A}}(t) \op{A}^{\dagger}(t) = -\op{A}(t) \dot{\op{A}}^{\dagger}(t).$ (2.15.27)

Setzen wir dies in (2.15.26) ein, erhalten wir

$\displaystyle \dot{\op{O}}(t)=\comm{\op{O}(t)}{\op{A}(t) \dot{\op{A}}^{\dagger}(t)},$ (2.15.28)

und der Vergleich mit (2.15.2) zeigt, daß für $ \op{A}(t)$ die Bewegungsgleichung

$\displaystyle \op{A}(t) \dot{\op{A}}^{\dagger}(t)=\frac{1}{\ii \hbar} \op{X}(t)$ (2.15.29)

erfüllt sein muß. Multiplikation von links mit $ \op{A}^{\dagger}(t)=\op{A}^{-1}(t)$ und anschließendes Adjungieren der entstehenden Gleichung liefert

$\displaystyle \dot{\op{A}}(t) = + \frac{\ii}{\hbar} \op{X}(t) \op{A}(t).$ (2.15.30)

Diese Gleichung ist bis auf das Vorzeichen auf der rechten Seite von der gleichen Bauart wie (2.15.12). Da weiter auch wieder die Anfangsbedingung

$\displaystyle \op{A}(0)=\einsop$ (2.15.31)

erfüllt sein muß, können wir also die Lösung unter Berücksichtigung der besagten Vorzeichenänderung sofort von (2.15.25) übernehmen:

$\displaystyle \op{A}(t)=\mathcal{T}_c \exp \left [+\frac{\ii}{\hbar} \int_0^{t} \dd t' \; \op{X}(t') \right ].$ (2.15.32)

Wir bemerken noch, daß für explizit zeitabhängige Operatoren $ \op{O}(t):=\op{O}[\vec{\op{x}}(t),\vec{\op{p}}(t);t]$ die Bewegungsgleichung (2.10.10) durch

$\displaystyle \op{O}(t) = \op{A}(t) \op{O}[\vec{\op{x}}(0),\vec{\op{p}}(0);t] \op{A}^{\dagger}(t)$ (2.15.33)

gelöst wird, wie man sofort durch Bilden der Zeitableitung und Berücksichtigung von (2.15.29) beweist (Übung!).




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