Nächste Seite: Gemischte Zustände Aufwärts: Die endgültige Formulierung der Vorherige Seite: Die Zeitentwicklung in einem   Inhalt

Die Transformation zwischen zwei Bildern

Unser Ausgangspunkt bei der Betrachtung der verschiedenen Bilder der Zeitentwicklung in Abschnitt 2.10 war die Tatsache, daß alle physikalischen Aussagen der Quantentheorie invariant unter unitären Transformationen, die auch zeitabhängig sein dürfen, sind. Dadurch sind wir auf die Zeitentwicklungsoperatoren der Zustandskets und Observablenoperatoren über die das Bild charakterisierende Zerlegung des Hamiltonoperators (2.15.1) und deren Bewegunggsgleichungen (2.15.2) und (2.15.3) gekommen, deren Lösungen durch (2.15.4) und (2.15.5) gegeben sind, wobei sich diese unitären Zeitentwicklungsoperatoren formal als zeitgeordnete Exponentialausdrücke gemäß (2.15.25) und (2.15.32) schreiben lassen.

Wir betrachten nun die Frage, wie sich zu zwei derart gegebenen Bildern die entsprechende Transformation von einem Bild zum anderen ergibt. Seien also durch $ \op{X}^{(j)}(t)$ und $ \op{Y}^{(j)}(t)$ bzw. $ \op{A}^{(j)}(t,t_0)$ und $ \op{C}^{(j)}(t,t_0)$ mit $ j \in \{1,2\}$ zwei Bilder gegeben, die zur Zeit $ t_0$ übereinstimmen. Dann gilt wegen (2.15.5) und der Unitarität der $ \op{C}^{(j)}(t,t_0)$

$\displaystyle \ket{\psi^{(2)},t}=\op{C}^{(2)}(t,t_0) \ket{\psi,t_0} = \op{C}^{(2)}(t,t_0) \op{C}^{(1) \dagger}(t,t_0) \ket{\psi^{(1)},t}.$ (2.16.1)

Daraus folgt, daß die unitäre Transformation, die von Zustandskets im Bild 1 zu denen im Bild 2 führt, durch

$\displaystyle \op{B}^{(21)}(t,t_0)=\op{C}^{(2)}(t,t_0) \op{C}^{(1) \dagger}(t,t_0) \; \Rightarrow \ket{\psi^{(2)},t} = \op{B}^{(21)}(t,t_0) \ket{\psi^{(1)},t}$ (2.16.2)

gegeben sein muß.

Betrachten wir andererseits die Zeitentwicklung der Observablenoperatoren, finden wir

$\displaystyle \op{O}^{(2)}(t)=\op{A}^{(2)}(t,t_0) \op{O}(t_0) \op{A}^{(2)\dagge...
...dagger}(t,t_0) \op{O}^{(1)}(t) \op{A}^{(1)}(t,t_0) \op{A}^{(2) \dagger}(t,t_0),$ (2.16.3)

so daß demnach die Bildtransformation

$\displaystyle \tilde{\op{B}}^{(21)}(t,t_0)=\op{A}^{(2)}(t,t_0) \op{A}^{(1)\dagg...
...ilde{\op{B}}^{(21)}(t,t_0) \op{O}^{(1)}(t) \tilde{\op{B}}^{(21) \dagger}(t,t_0)$ (2.16.4)

lauten muß. Damit dies konsistent mit (2.16.2) ist, muß

$\displaystyle \op{B}^{(21)}(t,t_0)=\tilde{\op{B}}^{(21)}(t,t_0) \; \Rightarrow ...
..._0) \op{C}^{(1) \dagger}(t,t_0) =\op{A}^{(2)}(t,t_0) \op{A}^{(1)\dagger}(t,t_0)$ (2.16.5)

sein. Um dies zu beweisen, multiplizieren wir die letztere Identität von links mit $ \op{A}^{(2)\dagger}(t,t_0)$ und dann von rechts mit $ \op{C}^{(1)}(t,t_0)$. Demnach sollte

$\displaystyle \op{G}^{(2)}(t,t_0) := \op{A}^{(2)\dagger}(t,t_0) \op{C}^{(2)}(t,t_0) = \op{A}^{(1)\dagger}(t,t_0) \op{C}^{(1)}(t,t_0) =: \op{G}^{(1)}(t,t_0)$ (2.16.6)

sein.

Dies beweisen wir nun dadurch, daß wir die Zeitableitung der Ausdrücke auf beiden Seiten berechnen. Aufgrund der Bewegungsgleichungen (2.15.12) und (2.15.30) gilt für $ j \in \{1,2\}$

\begin{displaymath}\begin{split}\dot{G}^{(j)}(t,t_0) &= \dot{\op{A}}^{(j)\dagger...
...-\frac{\ii}{\hbar} \op{H}(t_0) \op{G}^{(j)}(t,t_0). \end{split}\end{displaymath} (2.16.7)

Demnach erfüllen $ \op{G}^{(1)}$ und $ \op{G}^{(2)}$ dieselbe Differentialgleichung und dieselbe Anfangsbedingung

$\displaystyle \op{G}^{(j)}(t_0,t_0)=\einsop,$ (2.16.8)

und folglich müssen sie übereinstimmen.

Dies ergibt sich auch aus der Forderung, daß die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit $ t$ einen bestimmten Meßwert für einen vollständigen Satz von Observablen $ \op{O}_k$ zu erhalten, wenn das System zur Zeit $ t_0$ im Zustand $ \ket{\psi},t_0$ präpariert wurde, in beiden Bildern den gleichen Wert ergen muß. Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsamplitude ist nämlich durch

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{\{o_k \}^{(j)},t}{\psi^{(j)},t} &= \matr...
...matrixe{\{o_k\},t_0}{\op{G}^{(j)}(t,t_0)}{\psi,t_0} \end{split}\end{displaymath} (2.16.9)

gegeben. Da dies für alle (verallgmeinerten) simultanen Eigenzustände $ \ket{\{o_k\},t_0}$ des vollständigen Satzes von Observablen und alle $ \ket{\psi} \in
\mathcal{H}$ unabhängig vom gewählten Bild der Zeitentwicklung das gleiche Resultat ergeben muß, schließen wir wieder auf die gerade bewiesene Identität

$\displaystyle \op{G}^{(2)}(t,t_0)=\op{G}^{(1)}(t,t_0).$ (2.16.10)




Nächste Seite: Gemischte Zustände Aufwärts: Die endgültige Formulierung der Vorherige Seite: Die Zeitentwicklung in einem   Inhalt