Gemischte Zustände

Im Rahmen der Quantentheorie läßt sich ein System nicht genauer determinieren als es durch seine Präparation in einem durch einen Zustandsvektor $\ket{\psi}$ repräsentierten Zustand möglich ist. Dies kann z.B. dadurch geschehen, daß man ihn zur Zeit $t=0$ in einem simultanen Eigenzustand eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler präpariert. Die physikalische Bedeutung dieser vollständigst möglichen Festlegung des Systemzustandes ist allerdings allein durch den statistischen Gehalt des Zustandsvektors gemäß der Bornschen Formel (2.2.2) gegeben. Selbst bei vollständiger Präparation des Systems sind somit nicht die Werte aller Observabler festgelegt, sondern nur derjenigen Observablen, die ihrerseits mit den Observablen des vollständigen Satzes kompatibler Observabler kompatibel sind. Die Quantentheorie ist eine statistische Beschreibung der Realität, und die Notwendigkeit einer statistischen Beschreibung rührt nicht von unserer mangelnden Kenntnis über den Systemzustand her, sondern ist prinzipieller Natur: Der Quantentheorie zufolge können eben keine zwei nichtkompatiblen Observablen simultan wohlbestimmte Werte besitzen. Die Unbestimmtheit der einen Observable bei Festlegung der anderen ist also unvermeidlich.

In vielen Fällen werden wir aber noch nicht einmal volle Kenntnis vom Systemzustand besitzen, d.h. wir haben i.a. das System gar nicht in einem durch einen Zustandsvektor $\psi$ repräsentierten Zustand^2.13präpariert. In solchen Fällen kann man aber immer noch ,,Quantenstatistik`` betreiben, d.h. eine Statistische Beschreibung im gleichen Sinne wie in der klassischen Statistichen Mechanik vornehmen. Diese statistische Beschreibung ist nun von der quantenmechanischen Statistik eines reinen Zustandes qualitativ verschieden, denn es handelt sich um eine statistische Beschreibung aufgrund einer unvollständigen Kenntnis des Systemzustandes, während die statistischen Eigenschaften des reinen Zustandes prinzipiell nicht durch genauere Präparation des Systems beseitigt werden können.

Wenden wir uns also der Frage zu, wie man das System im Falle nicht vollständig vorgenommener Präparation quantenstatistisch beschreiben kann. Eine typische Präparation dieser Art können wir uns folgendermaaßen vorstellen: Nehmen wir an, wir könnten Teilchen in reinen Zuständen $\ket{\psi_1}$ , $\ket{\psi_2}$ , $\ldots \ket{\psi_n}$ präparieren, z.B. durch Festlegung der Werte eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler. Diese Sätze von kompatiblen Observablen können dabei aber für jeden dieser reinen Zustände durchaus unterschiedlich sein. Insbesondere können sie auch untereinander inkompatibel sein!

Jedem dieser reinen Zustände entspricht nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation ein Ensemble von voneinander unabhängig immer gleichartig präparierten Teilchen, wobei der reine Zustand durch den jeweiligen Zustandsvektor $\ket{\psi_j}$ ( $j \in \{1,2,\ldots,n \}$ ) repräsentiert wird.

Wir können nun ein gemischtes Ensemble (kurz ein Gemisch) erzeugen, indem wir einem Experimentator zufällig (und unkorrelliert) immer jeweils Teilchen von irgendeinem dieser reinen Zustände schicken, und zwar mit der Wahrscheinlichkeit $P_j \geq 0$ , $\sum_{j=1}^{n} P_j=1$ , ein im reinen Zustand $\ket{\psi_j}$ präpariertes Teilchen. Welche statistischen Eigenschaften dieses Ensembles von Teilchen wird der Experimentator dann messen?

Diese Frage beantwortet die elementare Wahrscheinlichkeitstheorie. Angenommen der Experimentator mißt irgendeine Observable $A$ . Vorausgesetzt das Teilchen stammt aus dem zum reinen Zustand $\ket{\psi_j}$ gehörigen Ensemble. Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, einen möglichen Meßwert $a$ zu erhalten, durch (2.2.2) gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, daß das Teilchen tatsächlich aus diesem Ensemble stammt, ist nun voraussetzungsgemäß $P_j$ . Da wir weiter voraussetzen, daß die Teilchen unkorreliert, d.h. stochastisch unabhängig voneinander aus jeweils einem der $n$ Ensembles stammen, ist für den Experimentator die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung von $A$ den Meßwert $a$ zu finden, durch

$$P(a,t)=\sum_{j=1}^{n} P_j w_{\psi_j}(a) = \sum_{j=1}^{n} P_j \braket{a}{\psi_j} \braket{\psi_j}{a}$$ (2.17.1)

gegeben.

Dies führt uns dazu, dem Gemisch den Statistischen Operator

$$\op{R}=\sum_{j=1}^{n} P_j \ketbra{\Psi_j(t)}{\Psi_j(t)} = \sum_{j=1}^{n} P_j \op{P}_{\psi_j}(t)$$ (2.17.2)

zuzuordnen. Ein reiner Zustand ist bei dieser Betrachtung dann gegeben, wenn der Präparator dem Experimentator jedesmal ein Teilchen, das in genau einem Zustand $\ket{\psi_1}$ präpariert ist, zukommen läßt. Dann ist $P_1=1$ , und der Statistische Operator des reinen Zustandes folglich durch den Projektionsoperator

$$\op{P}_{\psi_1}=\ketbra{\psi_1}{\psi_1}$$ (2.17.3)

gegeben.

Setzen wir (2.17.2) in (2.17.1) ein, ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, beim Messen der Observablen $A$ den Wert $a$ zu erhalten,

$$P(a,t)=\braket{a}{\op{R} a}.$$ (2.17.4)

Diese Gleichung ist offenbar auch für einen reinen Zustand korrekt, d.h. mit der Bornschen Formel (2.2.2) kompatibel, wenn wir (2.17.3) als Statistischen Operator verwenden:

$$\braket{a}{\op{P}_{\psi_1} a}=\braket{a}{\psi_1} \braket{\psi_1}{a} = \vert\braket{a}{\psi_1}\vert^2 = w_{\psi_j}(a).$$ (2.17.5)

Der Statistische Operator ist offenbsichtlich selbstadjungiert, und die Wahrscheinlichkeiten sind positiv semidefinit. Summieren bzw. integrieren wir die Wahrscheinlichkeiten über ein VONS von Eigenvektoren von $\op{A}$ , erhalten wir

$$\sumint{} \dd a \; P(a) = \sum_{j=1}^{n} P_j=1,$$ (2.17.6)

wie es sein muß, denn wir wissen, daß jedes Teilchen des Gemisches, das durch $\op{R}(t)$ beschrieben wird, aus einem der Ensembles, die durch die reinen Zustände $\ket{\psi_j}$ beschrieben werden, stammt und daß man bei der Messung von $A$ mit Sicherheit einen Eigenwert $a$ des dazugehörigen Operators $\op{A}$ erhält.

Für den Erwartungswert einer beliebigen Funktion $f(\op{A})$ ergibt sich

$$\begin{split}\erw{f(\op{A})} &= \sumint{} \dd a \; f(a) P(a) ... ...}{\op{R} f(\op{A})}{a} =: \Tr[\op{R}(t) f(\op{A})]. \end{split}$$ (2.17.7)

Dabei ist die Spur (engl. trace) eines beliebigen Operators $\op{B}$ durch

$$\Tr \op{B} = \sumint{} \dd a \; \matrixe{a}{\op{B}}{a}$$ (2.17.8)

definiert. Man kann leicht nachweisen (Übung!), daß die Spur unabhängig von dem in dieser Definition benutzten VONS $\ket{a}$ ist. Außerdem gilt unabhängig davon, ob die Operatoren $\op{A}$ und $\op{B}$ kommutieren oder nicht

$$\Tr(\op{A} \op{B})=\Tr(\op{B} \op{A}).$$ (2.17.9)