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Die Bewegungsgleichung für den Statistischen Operator

Wir arbeiten in einem beliebigen Bild. Die Zeitabhängigkeit der Observablenoperatoren und Zustände ist also durch die Bewegungsgleichungen (2.15.1-2.15.3) bzw. die Lösungen mittels unitärer Transformationen gemäß (2.15.4) bestimmt. Die zeitliche Entwicklung des Statistischen Operators ergibt sich durch Ableiten von (2.17.2) nach der Zeit und Verwendung von (2.15.3)2.14:

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \op{R}(t)=\sum_{j=1}^{n} P_j \frac{1}{\ii \hbar...
...p{Y}(t)}{\op{P}_{\Psi_j}(t)} =-\frac{1}{\ii \hbar} \comm{\op{R}(t)}{\op{Y}(t)}.$ (2.18.1)

Andererseits muß aber $ \op{R}(t)$ der Bewegungsgleichung (2.10.10)

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \op{R}(t)=\frac{1}{\ii \hbar} \comm{\op{R}(t)}{\op{X}(t)} + \frac{\partial^{\text{expl}}}{\partial t} \op{R}(t)$ (2.18.2)

genügen, wenn er als Funktion irgendwelcher Observabler und evtl. explizit der Zeit geschrieben wird. Ziehen wir davon (2.18.1) ab, erhalten wir wegen $ \op{H}=\op{X}+\op{Y}$ die bildunabhängige von Neumann-Gleichung

$\displaystyle \mathring{\op{R}}(t) = \frac{1}{\ii \hbar} \comm{\op{R}(t)}{\op{H}} + \frac{\partial^{\text{expl}}}{\partial t} \op{R}(t)=0.$ (2.18.3)

Es ist klar, daß jeder selbstadjungierte positiv semidefinite Operator $ \op{R}$ als Statistischer Operator dienen kann. Dabei heißt ein hermitescher Operator positiv semidefinit, wenn für jeden Vektor $ \ket{\psi} \in
\mathcal{H}$

$\displaystyle \braket{\psi}{\op{R} \psi} \geq 0$ (2.18.4)

gilt. Für die Zeitabhängigkeit von Erwartungswerten (evtl. explizit zeitabhängiger) Observabler $ O(t)$ folgt

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\dd}{\dd t} \erw{O(t)}&=\Tr \left[\frac{\d...
...1}{\ii \hbar} \comm{\op{Y}(t)}{\op{R}(t)} \right ). \end{split}\end{displaymath} (2.18.5)

Den letzten Term können wir unter Verwendung von (2.17.9) noch weiter umformen:

\begin{displaymath}\begin{split}\Tr \left \{ \op{O}(t) \comm{\op{Y}(t)}{\op{R}(t...
... \{\comm{\op{O}(t)}{\op{Y}(t)} \op{R}(t) \right \}. \end{split}\end{displaymath} (2.18.6)

Dies in (2.18.5) eingesetzt, ergibt wegen der Definition der kovarianten Zeitableitung (2.10.13)

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \erw{O(t)}=\Tr [\mathring{\op{O}}(t) \op{R}(t) ] = \erw{\mathring{\op{O}}(t)},$ (2.18.7)

d.h. das Ehrenfestsche Theorem gilt auch für gemischte Zustände.




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