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Zusammengesetzte Systeme

Wir benötigen weiter die quantenmechanische Beschreibung zusammengesetzter Systeme, z.B. zweier (unterscheidbarer) Teilchen2.15. Angenommen, diese beiden Teilchen sind sehr weit voneinander entfernt, so daß wir von Wechselwirkungen absehen können, und voneinander unabhängig präpariert. Dann ist es offenbar möglich, Werte von Observablen $ A_1$ und $ A_2$, die sich nur auf jeweils eines der Teilchen beziehen, simultan zu determinieren, d.h. die dazugehörgen Operatoren $ \op{A}_1$ und $ \op{A}_2$ müssen stets kommutieren. Außerdem muß sich die Wahrscheinlichkeit, daß $ A_1$ den Wert $ a_1$ und $ A_2$ den Wert $ a_2$ annehmen als Produkt aus den Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben. Bezeichnen wir also den Zustand des Gesamtsystems mit $ \ket{\Psi(t)}$, die simultanen Eigenvektoren mit $ \ket{(a_1,a_2)}$ und die Zustände der einzelnen Teilchen mit $ \ket{\psi_1(t)}$ und $ \ket{\psi_2(t)}$, dann muß gelten

$\displaystyle P_{\Psi}(a_1,a_2;t)=\vert\braket{(a_1,a_2)}{\Psi(t)}\vert^2=P_{\p...
...2,t) = \vert\braket{a_1}{\psi_1(t)}\vert^2 \vert\braket{a_2}{\psi_2(t)}\vert^2.$ (2.19.1)

Im Hilbertraumformalismus läßt sich dieses Verhalten durch das Tensorprodukt der Zustandsvektoren $ \ket{\psi_j(t)}$ der einzelnen Teilchen beschreiben.

Sind $ \mathcal{H}_1$ und $ \mathcal{H}_2$ die Hilberträume der Zustandsvektoren der beiden Teilchen, ist deren Tensorprodukt $ \mathcal{H}^{(2)}=\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ als ein neuer Hilbertraum definiert. Wir müssen dazu nur erklären, wie sich die Vektoren des neuen Vektorraums aus den Vektoren der Hilberträume $ \mathcal{H}_1$ und $ \mathcal{H}_2$ ergeben. Zunächst betrachten wir sog. direkte Produkte zweier Vektoren, die wir mit

$\displaystyle \ket{(\psi_1,\psi_2)}=\ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2}; \quad \ket{\psi_1} \in \mathcal{H}_1, \quad \ket{\psi_2} \in \mathcal{H}_2$ (2.19.2)

bezeichnen. Dabei soll das Produkt $ \otimes$ linear in beiden Argumenten sein, d.h. für $ \lambda_j,\mu_j \in \C$ und $ \ket{\psi_j},\ket{\phi_j}
\in \mathcal{H}_j$ für $ j \in \{1,2\}$ soll gelten

\begin{displaymath}\begin{split}(\lambda_1 \ket{\psi_1}+\lambda_2 \ket{\phi_1}) ...
... \lambda_2 \mu_2 \ket{\phi_2} \otimes \ket{\phi_2}. \end{split}\end{displaymath} (2.19.3)

Seien nun $ \ket{u_n^{(1)}}$ und $ \ket{u_n^{(2)}}$ irgendwelche vollständigen Orthonormalbasen von $ \mathcal{H}_1$ bzw. $ \mathcal{H}_2$2.16. Dann definieren wir als $ \mathcal{H}_{12}=\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ den Vektorraum, der aus Vektoren besteht, die durch die Vektoren

$\displaystyle \ket{u_{n_1 n_2}^{(12)}} = \ket{u_{n_1}^{(1)},u_{n_2}^{(2)}} = \k...
...^{(1)}} \otimes \ket{u_{n_2}^{(2)}} = \ket{u_{n_1}^{(1)} \otimes u_{n_2}^{(2)}}$ (2.19.4)

durch (zunächst formale) Reihen der Form

$\displaystyle \ket{\psi}=\sum_{n_1,n_2} \psi_{n_1 n_2} \ket{u_{n_1 n_2}^{(12)}}$ (2.19.5)

erzeugt werden.

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren $ \ket{\psi},\ket{\phi} \in
\mathcal{H}_{12}$ wird dann auf natürliche Weise definiert, indem man zunächst erklärt, wie die Produktzustände (2.19.4) multipliziert werden,

$\displaystyle \braket{\psi_1,\psi_2}{\phi_1,\phi_2}=\braket{\psi_1}{\phi_1} \braket{\psi_2}{\phi_2},$ (2.19.6)

und dann der Braket-Ausdruck für beliebige Vektoren über die Semilinearität im ersten und Linearität im zweiten Element definiert wird. Dann bilden die $ \ket{u_{n_1 n_2}^{(12)}}$ ein VONS von $ \mathcal{H}_{12}$, und zusammen mit der Entwicklung (2.19.5) folgt dann

$\displaystyle \braket{\phi}{\psi} = \sum_{n_1,n_2} \phi_{n_1 n_2}^* \psi_{n_1 n_2}.$ (2.19.7)

Es ist klar, daß nun Observablen des Gesamtsystems wieder durch selbstadjungierte Operatoren, die auf dem Hilbertraum $ \mathcal{H}_{12}$ definiert sind, repräsentiert werden.

Die einzige Neuerung gegenüber der bisher betrachteten Darstellung von Einteilchenobservablen ist die Möglichkeit, Tensorprodukte von Einteilchenoperatoren zu bilden. Seien dazu $ \op{A}_1$ und $ \op{A}_2$ irgendwelche Operatoren in $ \mathcal{H}_1$ bzw. $ \mathcal{H}_2$, dann definiert man ihr Tensorprodukt $ \op{A}_1 \otimes \op{A}_2$ zunächst durch die Wirkung auf beliebige Produktvektoren vermöge

$\displaystyle \op{A}_1 \otimes \op{A}_2 \ket{(\psi_1,\psi_2)}=\left (\op{A}_1 \ket{\psi_1} \right) \otimes \left (\op{A}_2 \ket{\psi_2} \right)$ (2.19.8)

und setzt diese Definition mittels Entwicklung allgemeiner Vektoren in $ \mathcal{H}_{12}$ nach Produktvektoren (2.19.5) linear auf ganz $ \mathcal{H}_{12}$ fort. Es ist dann unmittelbar klar, daß für zwei selbstadjungierte Einteilchenoperatoren $ \op{A}_1$ und $ \op{A}_2$ auch $ \op{A}_1 \otimes \op{A}_2$ wieder selbstadjungiert ist.

Weiter folgt, daß man Einteilchenobservablen im Gesamtsystem aus zwei Teilchen durch Operatoren der Form $ \op{A}_1^{(12)}=\op{A}_1 \otimes
\einsop$ bzw. $ \op{A}_2^{12}=\einsop \otimes \op{A}_2$ zu repräsentieren hat. Solche Einteilchenobservablen, die sich auf verschiedene Teilchen beziehen, kommutieren, so daß solche Observablen stets kompatibel sind.

Kommen wir nun auf unsere Ausgangssituation zurück, daß zwei Teilchen voneinander unabhängig präpariert werden, so daß die Wahrscheinlichkeit für das Resultat einer simultanen Messung irgendwelcher Einteilchenobservablen, die sich jeweils auf das eine bzw. das andere Teilchen beziehen, das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben sollte. Wir müssen nun noch nachprüfen, daß in dem eben formulierte Ansatz des Produktraums die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation mit dieser Annahme kompatibel ist. Die beiden Teilchen im Zweiteilchenzustand $ \ket{\psi} \in
\mathcal{H}_{12}$ sind definitionsgemäß dann voneinander unabhängig präpariert, wenn $ \ket{\psi}$ ein Produktzustand ist, d.h.

$\displaystyle \ket{\psi}=\ket{(\psi_1,\psi_2)}=\ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2}.$ (2.19.9)

Sei dann $ \ket{(a_1,a_2)}$ ein simultaner Eigenzustand der Einteilchenoperatoren $ \op{A}_{1}^{(12)}$ und $ \op{A}_{2}^{(12)}$. Offenbar ist

$\displaystyle \ket{(a_1,a_2)} = \ket{a_1} \otimes \ket{a_2}$ (2.19.10)

und folglich nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation die Wahrscheinlichkeit einer simultanen Messung der jeweiligen Einteilchenobservablen

$\displaystyle P_{\psi}(a_1,a_2)=\left \vert \braket{(a_1,a_2)}{\psi} \right\ver...
...eft \vert \braket{a_2}{\psi_2} \right\vert^2 = P_{\psi_1}(a_1) P_{\psi_2}(a_2),$ (2.19.11)

wie wir es eingangs gefordert haben.

Es ist klar, daß allgemeinere Zustände, insbesondere solche, die sich aus Produktzuständen durch Zeitentwicklung wechselwirkender Teilchen ergeben, i.a. keine Produktzustände sondern allgemeine Superpositionen von Produktzuständen sind.




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