Reduzierte Statistische Operatoren

Interessante Fragestellungen treten auch auf, wenn man zusammengesetzte Systeme betrachtet, sich aber nur für das Verhalten von Teilsystemen interessiert. Wie wir in Abschnitt 2.17 gesehen haben, wird man den quantenmechanischen Zustand eines System i.a. durch einen Statistischen Operator $\op{R}(t)$ beschreiben. Dabei wird auch gleich der Fall eines reinen Zustandes miterfaßt. Wie wir oben gesehen haben, liegt ein solcher dann vor, wenn $\op{R}(t)=\ketbra{\Psi(t)}{\Psi(t)}$ ist. Es ist klar, daß auch für zusammengesetzte Systeme wieder jeder selbstadjungierte positiv semidefinite Operator $\op{R}(t)$ mit $\Tr \op{R}(t)=1$ als Statistischer Operator auftreten kann (wobei die Zeitabhängigkeit durch die von Neumann-Gleichung (2.18.3) gegeben ist).

Betrachten wir nun wieder ein Zweiteilchensystem, so können wir nach statistischen Eigenschaften für eines der beiden Teilchen fragen, wobei das Gesamtsystem in irgendeinem i.a. gemischten Zustand, der durch einen Statistischen Operator $\op{R}_{12}(t)$ beschrieben wird, präpariert sein darf. Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, daß bei Messung einer Einteilchenobservablen $A_1$ , im Gesamtraum durch $\op{A}_1^{(12)}=\op{A}_1 \otimes \einsop$ beschrieben, gerade ein Eigenwert $a_1$ auftritt? Um diese Frage zu beantworten, verwenden wir ein VONS von Eigenvektoren von $\op{A}_1^{(12)}$ . Für irgendeine auf Teilchen $2$ bezogene Einteilchenobservable können wir die Produktzustände $\ket{(a_1,a_2)}$ als ein solches VONS verwenden. Gem. (2.17.4) ist die Wahrscheinlichkeit, diese simultanen Eigenwerte zu finden,

$$P_{\op{R}}^{(12)} (a_1,a_2;t)= \matrixe{(a_1,a_2)}{\op{R}(t)}{(a_1,a_2)},$$ (2.20.1)

d.h. die gesuchte Wahrscheinlichkeit, am Teilchen 1 bei der Messung von $A_1$ den Wert $a_1$ zu erhalten, muß durch

$$P_{\op{R}}^{(1)}(a_1;t)=\sum_{a_2} P_{\op{R}}^{(12)}(a_1,a_2;t) =: \braket{a_1}{\op{R}_1^{(\text{red})}(t) a_1}$$ (2.20.2)

gegeben sein. Diese Wahrscheinlichkeiten kann man durch Messung der Observablen $A_1$ an Teilchen $1$ in Ensembles von im Zustand $\op{R}_{12}$ präparierten Zweiteilchensystemen ermitteln. Dabei ist es unerheblich, welchen Wert man für die auf Teilchen 2 bezogene Einteilchenobservable $A_2$ messen würde. Es ist auch einfach zu zeigen, daß es beim Summieren über $a_2$ in (2.20.2) auf die konkrete Wahl der Observablen $A_2$ nicht ankommt, d.h. man erhält dasselbe Resultat, wenn man stattdessen irgendeine andere Einteilchen-Observable $B_2$ benutzt.

Daher ist es sinnvoll, den in (2.20.2) definierten auf Teilchen 1 bezogenen reduzierten Statistischen Operator

$$\op{R}_1^{(\text{red})}(t)=\sum_{a_1} \ketbra{a_1}{a_1} P_{\op{R}... ...= \sum_{a_1,a_2} \ketbra{a_1}{a_1} \braket{(a_1,a_2)}{\op{R}_{12}(t) (a_1,a_2)}$$ (2.20.3)

einzuführen, der unabhängig von dem verwendeten VONS $\ket{(a_1,a_2)}$ ist (Beweis als Übung!). Zur Abkürzung definiert man

$$\Tr_{2} \op{R}_{12}:=\sum_{a_1,a_2} \ketbra{a_1}{a_1} \braket{(a_1,a_2)}{\op{R}_{12}(t) (a_1,a_2)}.$$ (2.20.4)

Man beachte, daß dies einen Operator im Produktraum $\mathcal{H}_{12}=\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ auf einen Operator in $\mathcal{H}_1$ abbildet. Es ist auch klar, wie die entsprechenden Formeln lauten, wenn $A_1$ und/oder $A_2$ ganz oder teilweise kontinuierliche Spektren besitzen.

Man überlegt sich auch leicht, daß $\op{R}_1^{(\text{red})}$ genau dann ein reiner Zustand ist, wenn $\op{R}_{12}$ der Projektionsoperator auf einen Produktzustand, d.h. von der Form $\ketbra{(\psi_1,\psi_2)}{(\psi_1,\psi_2)}$ ist. I.a. führt aber ein reiner Zweiteilchenzustand $\op{R}_{12}=\ketbra{\Psi}{\Psi}$ zu einem gemischten Zustand für den reduzierten Einteilchenzustand $\op{R}_1^{(\text{red})}$ . In diesem Fall besitzt dann zwar das Zweiteilchensystem scharf definierte Werte für diejenigen Observablen, für die $\ket{\Psi}$ Eigenzustand ist, aber es gibt keine Einteilchenobservablen, denen scharf bestimmte Werte zukommen. Diese Eigenschaften quantenmechanischer Systeme führen auf das sogenannte Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon [EPR35,Boh35], auf das wir hier nicht näher eingehen wollen.