Die historische Entwicklung der Quantenmechanik

Die moderne Quantentheorie entwickelte sich aus der Notwendigkeit heraus, die theoretische Beschreibung empirischen Faktenmaterials zu ermöglichen. Viele Entdecker der Quantentheorie sahen sie nur als Notlösung, sie wurden sozusagen durch die Meßergebnisse gezwungen, von der gewohnten klassischen Physik zu abstrahieren und eine Beschreibung zu verwenden, die auf den ersten Blick sehr viel weiter von den direkten Sinneswahrnehmungen entfernt ist.

In diesem Abschnitt soll es darum gehen, die nichtrelativistische Quantentheorie aus einfachen Analogiebildungen zur klassischen Physik herzuleiten. Dieses Verfahren hat den Vorteil, daß es grob den historischen Entwicklungsgang nachzeichnet, weist jedoch den unbestreitbaren Nachteil auf, daß dabei Vorstellungen etabliert werden, die nicht unserem modernen physikalischen Weltbild entsprechen.

Wie wir sogleich ausführlich entwickeln werden, hatte sich aus der Planckschen Quantenhypothese durch Einsteins Arbeit über Lichtquanten von 1905 die These etabliert, daß das Licht durch die Wellenvorstellungen des 19. Jh. allein nicht adäquat beschrieben werden kann, und das obwohl kaum 40 Jahre früher durch Maxwell eine so befriedigende Vereinigung des Elektromagnetismus mit der Optik stattgefunden hatte, die durch die direkte Erzeugung und den Nachweis elektromagnetischer Wellen durch H. Hertz 10 Jahre früher so glänzend ihre experimentelle Bestätigung erfahren hatte. Hinzu kam noch, daß die Maxwelltheorie für die damaligen Physiker keine allzu leichte Kost war. Was wir heutzutage spätestens im 4. Semester für das Vordiplom büffeln müssen, war damals ein ausgesprochenes Expertenwissen für die sich gerade herausbildende Zunft der mathematischen oder theoretischen Physiker.

Eine weitere sich gerade mühsam durchsetzende Theorie war die vor allem durch Boltzmann entwickelte kinetische Gastheorie, die aus der Vorstellung von Atomen die makroskopischen Erscheinungen der Materie mit Hilfe statistischer Methoden zu beschreiben versuchte. Dabei waren zu der Zeit Atome noch nicht einmal allgemein als existent anerkannt! Planck selber war ein ausgesprochener Vertreter der klassischen, also phänomenologischen, Thermodynamik und nur widerwillig bediente er sich der Boltzmannschen Abzählmethode um das Spektrum der Hohlraumstrahlung zu erklären. Er kam dabei durch die Analyse von Experimenten, die seine Berliner Kollegen Rubens und Kurlbaum gerade durchgeführt hatten, zu dem Schluß, daß das Licht nicht in beliebigen Energien von den Wänden des Hohlraumes absorbiert und emittiert wird (wodurch sich letztlich ein thermodynamisches Gleichgewicht mit einer wohldefinierten Temperatur ergibt), sondern daß dies eben nur in gewissen Portionen, die er Quant nannte, geschehen kann, die proportional zur Frequenz der Lichtwelle waren. Ein Lichtquant hatte also den Energieinhalt $E=h \nu = \hbar \omega$ , wobei $\hbar=h/(2 \pi)$ war. Die Konstante $h$ heißt zu Ehren Plancks das Plancksche Wirkungsquantum, Wirkungsquantum deshalb, weil sie die Dimension ,,Energie $\times$ Zeit`` besitzt wie die Wirkung des aus der Mechanik bekannten Hamiltonschen Prinzips.

Es ist wichtig zu bemerken, daß Planck noch nicht dem Licht selber diese Quanteneigenschaften zuordnete, sondern nur dem Absorptions- und Emissionsverhalten der Materie. Nicht zuletzt deshalb war seine Rechnung ausgesprochen kompliziert. Er betrachtete das Strahlungsgleichgewicht zwischen einem harmonischen Oszillator und der elektromagnetischen Strahlung des Hohlraums um das Spektrum der Strahlung zu gewinnen. Es war dann Einstein in 1905, der diese Quanteneigenschaft explizit dem Licht selber zuwies. Er stellte sich das Licht als Teilchen vor, die die Energie $E=\hbar \omega$ ^1.1 besitzen und (das war gegenüber der Planckschen Hypothese neu) einen Impuls der Größe $\vec{p}=\hbar \vec{k}$ , wobei $\vec{k}$ der Wellenvektor ist. Dessen Richtung ist die Fortschreiterichtung der Welle und sein Betrag ist $\vert\vec{k}\vert=2 \pi/\lambda$ , wobei $\lambda$ die Wellenlänge des Lichtes ist.

Dies ist aber nun eine für die damalige Zeit völlig verrückte Vorstellung, und selbst heute, fast 100 Jahre nach Entdeckung der Quantentheorie, tun wir uns noch schwer damit: Das Licht sollte aus Teilchen bestehen, dessen mechanische Parameter aber durch die Welleneigenschaften desselben Phänomens gegeben waren? So etwas klingt eher wie die Crackpottheorien, von denen unsere Newsgroups so zahlreich überschwemmt werden. Allerdings konnte Einstein auch gewichtige experimentelle Gründe für seine Idee vorbringen.

Lenard hatte nämlich den lichtelektrischen Effekt entdeckt, demzufolge aus Metallen durch die Einstrahlung von Licht Elektronen^1.2 herausgeschlagen werden. Allerdings verhielten sich diese Elektronen äußerst merkwürdig. Nach der klassischen Vorstellung der Wechselwirkung von Licht mit geladenen Teilchen^1.3 sollten die Elektronen zum einen nämlich erst nach einer gewissen Einstrahlzeit aus dem Metall herauskommen und dann sollte deren Energie mit der Intensität des Lichtes anwachsen. Diese Erwartung war aber völlig im Widerspruch zu den Lenardschen Experimenten! Die Elektronen kamen ohne merkliche Zeitverzögerung aus dem Metall heraus, und die Energie war unabhängig von der Intensität des Lichtes, wohl aber abhängig von der Frequenz desselben. Lediglich die Anzahl der Elektronen erhöhte sich mit steigender Lichtintensität.

Einstein schrieb eigentlich nur eine wesentliche Formel in seine bahnbrechende Lichtquantenarbeit, nämlich die, daß das Licht ein Teilchenstrom ist, dessen Teilchen eine Energie von $E=\hbar \omega$ hat. Es war eine gewisse ,,Austrittsarbeit`` notwendig, um die Elektronen aus dem Metallverband herauszulösen. Zusammen mit dem Energiesatz bedeutete das, daß

$$E_{\mathrm{el}}=\hbar \omega - W_A$$ (1.1.1)

sein mußte. Die Energie der Elektronen wurde durch die heute noch bei Schulversuchen angewandte Methode der Gegenspannung ermittelt. Die Elektronen werden durch eine Spannung, die entgegen der Emissionsrichtung aus dem Metall angelegt wird, gebremst, und der fließende Strom gemessen. Die Spannung $U$ , bei der gerade kein Strom mehr fließt, muß also der Energie der Elektronen entsprechen. Damit kann man über $E_{\mathrm{el}}=e U$ die Energie der Elektronen messen, und aus der Steigung der Geraden im $E_{\mathrm{el}}$ -$\omega$ -Diagramm das Plancksche Wirkungsquantum bestimmen. Der Wert ergab sich in guter Übereinstimmung mit dem durch die Präzisionsmessungen der Hohlraumstrahlung durch Anfitten der Planckschen Strahlungsformel ermittelten Resultat.

Wirklich anerkannt wurde die Lichtquantenhypothese allerdings erst durch die Erklärung des Comptoneffekts (1923). Dabei wird Licht an einem quasi freien Elektron gestreut. Das ist ein klassischer elastischer Stoßprozeß^1.4, der sich mit Hilfe der Lichtquantenhypothese auch so behandeln ließ. Man brauchte nur die Energie- und Impulsbilanz des Prozesses aufzustellen, wobei dann auch die Einsteinsche Beziehung $\vec{p}=\hbar \vec{k}$ , die den Impuls des Lichtes mit der Wellenbeschreibung desselben verknüpfte, zur Anwendung kam. Aus der Energie des einfallenden Photons und dem Impuls sowie dem Streuwinkel des auslaufenden Elektrons konnte die Energie des auslaufenden Photons und damit die beobachtete Frequenzverschiebung des Lichtes aufgrund der Streuung erklärt werden. Die Comptonstreuung ist also seit Einstein als elastische Elektron-Photonstreuung zu deuten.

Ein anderes Mysterium war das 1911 von Rutherford aufgrund seines berühmten ,,Goldfolienversuchs`` aufgestellte Atommodell. Rutherford hatte $\alpha$ -Teilchen, also zweifach geladene Heliumatome, die aus radioaktiven Zerfällen stammten, auf eine Goldfolie geschossen und bemerkt, daß diese quasi aus gar nichts besteht. Genauer gesagt, die meisten $\alpha$ -Teilchen flogen fast unbehelligt durch die Goldfolie hindurch. Einige wurden allerdings auch stark abgelenkt. Damit war klar, daß die Atome nicht massive positiv geladene Körper, in die die negativen Elektronen eingelagert waren (ein Modell, das als Thomsonsches Rosinenkuchenmodell damals aktuell war) sein konnten. Das Atom mußte vielmehr selber zusammengesetzt sein aus einem Kern, der nahezu die gesamte Masse des Atoms ausmachte und der entsprechend der Ordnungszahl des Atoms geladen war, und einer der Ladung des Kerns entsprechenden Zahl Elektronen. Rutherford hatte auch sofort den aus dieser Hypothese zu erwartenden Streuquerschnitt der $\alpha$ -Teilchen berechnet, und zwar indem er einfach die von der Himmelsmechanik her bekannten Keplerschen Gesetze benutzte. Die Gravitation wurde natürlich durch die elektrostatischen Kräfte, die der Kern auf das $\alpha$ -Teilchen ausübte, ersetzt, und da hier wegen der gleichnamigen Ladung von $\alpha$ -Teilchen und Kern eine abstoßende Kraft vorliegt, erhält man nur Hyperbeln (also sozusagen Kometenbahnen). Aber mit der gefundenen heute nach Rutherford benannten Streuformel konnte er exakt die gemessenen Wirkungsquerschnitte reproduzieren.

Allerdings ergab sich damit ein neues Bild vom Atom, das jetzt als mikroskopisches Planetensystem angesehen werden mußte (mit dem Kern als Sonne, den Elektronen als Planeten und der elektrostatischen Coulombkraft des Kerns anstelle der Gravitation). Andererseits besagte die klassische Elektrodynamik, daß die Elektronen, die sich der Rutherfordtheorie zufolge auf Ellipsenbahnen um den Kern bewegen würden, eigentlich strahlen müßten, weil beschleunigte Ladungen zufolge der Maxwellschen Theorie strahlen und auch die Strahlung genau ausgerechnet werden konnte (das Liénard-Wiechertsches Potential wurde bereits Ende des 19. Jh. aus den Maxwellgleichungen gewonnen).

Das widersprach aber eklatant der Stabilität der chemischen Elemente, die zudem noch wohl definierte Spektren emittierten und keine kontinuierliche Synchrotronstrahlung^1.5. Es konnten im Atom also nicht beliebige Bahnen vorliegen, sondern nur ganz bestimmte, die die Stabilität der Atome dadurch gewährleisteten, daß das genau die Bahnen sind, auf denen die Elektronen keine elektromagnetische Strahlung emittieren. Es war natürlich wieder ein Widerspruch zur klassischen Physik, daß es solche Bahnen überhaupt geben kann.

Zum Glück war Thomson an der Doktorarbeit eines jungen Dänen namens Bohr überhaupt nicht interessiert, so daß sich dieser sofort nach Manchester zu Rutherford begab und da in ein ihm völlig unbekanntes Gebiet eindrang. Bohr wurde also sofort mit dem Problem des Planetenmodells konfrontiert, und nach einigen Wochen intensiver Rechnerei konnte er aus der Planckschen Lichtquantenhypothese sein berühmtes Atommodell gewinnen. Hier war es wieder das Teilchenmodell der klassischen Mechanik, das die Lösung herbeiführte. Anders als in der Makrophysik sollten aber die stabilen Bahnen durch das Plancksche Strahlungsgesetz bestimmt sein. Ein Elektron sollte nur noch dann Energie abstrahlen, wenn es von einer energetisch höher gelegenen Bahn auf eine energetisch niedriger gelegene Bahn ,,springt``. Die Bahnen wurden demzufolge durch einen bestimmten diskreten Wert für die sog. Wirkungsvariable bestimmt, die ein ganzzahliges Vielfaches von $h=2 \pi \hbar$ sein mußte.

Hatte man die Annahme diskreter Quantenbahnen erst einmal hingenommen, konnte diese Theorie auf ,,natürliche`` Art und Weise das empirisch bereits seit 1885 bekannte Balmersche Seriengesetz der Spektrallinien des Wasserstoffs erklären. Ebenso fand das Ritzsche Kombinationsprinzip eine theoretische Herleitung, demzufolge die Spektrallinien als Differenzen einfacher Terme beschrieben werden konnten.

Bohrs Theorie wurde alsbald von Sommerfeld mathematisch ausgebaut und konnte auf vielerlei Probleme angewandt werden. Sogar die relativistische Behandlung war kein Problem mehr, und die brachte einen entscheidenden Gewinn in der Präzision, konnte sie doch die sog. Feinstruktur der Spektrallinien erklären. Auch die Aufspaltung der Spektrallinien im schwachen Magnetfeld (Zeemanneffekt) und elektrischen Feld (Starkeffekt) konnte zumindest qualitativ verstanden werden.

Allerdings gab es schon beim nächstkomplizierteren Atom, dem Heliumatom mit zwei Elektronen, Probleme, die die Grenzen der Bohrschen ad hoc-Hypothese aufzeigten. In der Zwischenzeit hatte de Broglie aber diese Bohrschen Hypothese mit der Einführung der Materiewellen auf die Bedingung stehender Wellen als stationäre Zustände zurückgeführt. De Broglie hatte in seiner Doktorarbeit in einem kühnen Analogieschluß zum Welle-Teilchen-Dualismus beim Licht auch den Teilchen (damals also vornehmlich den Elektronen) Welleneigenschaften zugewiesen. Diese These wurde mit größter Vorsicht aufgenommen, und erst die positive Bewertung der Arbeit durch Einstein, den man sozusagen als externen Gutachter hinzugezogen hatte, ließ diese als Doktorarbeit überhaupt durchgehen.

Die Wellenvorstellung der Teilchen diente nun Schrödinger als Ausgangspunkt, durch eine systematische Analyse des Übergangs von der Wellen- zur Strahlenoptik, die schon Hamilton im 19. Jh. geleistet hatte, die aber zu der Zeit in Vergessenheit geraten war, seine berühmte Wellengleichung aufzustellen, die wir sogleich im nächsten Abschnitt durch einen wesentlich vereinfachten Analogieschluß gewinnen werden. Interessant ist es übrigens zu bemerken, daß Schrödinger zunächst wie de Broglie eine relativistische Gleichung herleiten wollte, aber alsbald große physikalische Probleme bemerkte, die erst einige Jahre später durch die Entwicklung der relativistischen Quantenfeldtheorie gelöst werden sollten.

Schon ein wenig früher hatte Heisenberg in seiner berühmten Arbeit von der ,,Quantenmechanischen Umdeutung mechanischer Größen`` eine Quantentheorie hergeleitet, die die physikalischen Größen durch abstrakte Zahlenschemata (unendlichdimensionale Matrizen) ersetzte, die von der Bohrschen Bahnvorstellung vollständig abstrahierte. Schrödinger konnte dann relativ schnell zeigen, daß seine ,,Wellenmechanik`` mathematisch und physikalisch äquivalent zu der in kurzer Zeit von Heisenberg, Born und Jordan ausgearbeiteten Matrizenmechanik war.

Nun ergab sich aber ein für die Physik neuartiges Problem. War die klassische Mechanik mehr oder weniger gradlinig von den Erscheinungen ausgehend zu ihren theoretischen Grundbegriffen gelangt, d.h. die Zuordnung der mathematischen Begriffe zu in der Natur oder im Experiment gegebenen Beobachtungstatsachen war unmittelbar gegeben, hatte man nun einen mathematischen Formalismus gefunden, der sich hervorragend eignete, um die atomaren Spektren zu beschreiben, der aber keinesfalls in allen Teilen physikalisch verstanden war. So ergab sich z.B. durch die Einführung der Schrödingerschen Wellenfunktion die Frage, was diese physikalisch zu bedeuten hatte oder umgekehrt, wie beim Licht die Teilchenvorstellungen, die sich mit den Photonen verbanden, zu deuten waren. Schrödingers Materiewellen zeigten nämlich die für Wellen typische Eigenschaft der Dispersion, d.h. wenn man ein Wellenpaket ,,mikroskopischer`` Ausmaße vorgab, lief es mit der Zeit unter Einfluß der freien Schrödingergleichung auseinander, und die stehenden Wellen, die Elektronen im Atom beschrieben, zeigten überhaupt keine irgendwie geartete ,,Lokalisierung``. Wollte man aber die Elektronen in allen Situationen als Teilchen verstehen, konnte das schwer möglich sein, wenn man die Wellen als klassische Wellen auffaßte, die in der makroskopischen Welt, also bei hinreichend grober Messung als Teilchen erscheinen. Beim Licht war es eher umgekehrt. Es fragte sich, wie die Teilcheneigenschaften, die beim Comptoneffekt zu einer so einfachen, quantitativ korrekten Erklärung geführt hatten, mit den typischen Interferenzversuchen vereinbar sein sollten.

Bei der Anwendung der neuen Quantentheorie auf Streuprobleme (1926) fand nun Born, der zusammen mit Jordan in Göttingen maßgeblich an einer systematischen Ausformulierung der noch recht verworrenen Gedanken Heisenbergs zur Matrizenmechanik beteiligt war, eine einfache Erklärung: Die Schrödingerschen Materiefelder waren keine Felder im klassischen Sinne, also sich als kontinuierliche Entität im Raum fortplanzende Ströme von Energie und Impuls. Vielmehr war durch $w(t,\vec{x})= \psi^*(t,\vec{x}) \psi(t,\vec{x})$ die Wahrscheinlichkeit pro Volumenelement (also die Wahrscheinlichkeitsdichte), zur Zeit $t$ ein Teilchen, dem die Wellenfunktion $\psi$ zugeordnet war, am Ort $\vec{x}$ zu finden. Diese Idee stellte er in einer erläuternden Fußnote seiner Streutheoriearbeit dar und erhielt dafür später den Nobelpreis.

Das bedeutete aber, daß man über die Teilchen generell nur Wahrscheinlichkeitsaussagen machen konnte, was ihre klassischen Meßgrößen wie Ort, Impuls usw. betraf. Dies führte zu der wohl berühmtesten Debatte in der ganzen Wissenschaftsgeschichte, nämlich der zwischen Bohr und Einstein über die begriffliche Klärung der Quantenphysik, die bekanntlich nie zu einer Einigung kam. Auf diese grundlegenden Probleme der Interpretation, insbesondere auf die mit ihr auf's engste verknüpften Heisenbergschen Unschärferelationen (1927) gehen wir weiter unten näher ein, wenn wir den mathematischen Apparat der Quantentheorie etwas weiter entwickelt haben. Genau darum soll es im nächsten Abschnitt gehen.