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Asymptotik der Energieeigenfunktionen

Betrachten wir nun also das Energieeigenwertproblem für die Potentiale der oben beschriebenen Art. Zur Vereinfachung führen wir die folgenden Variablen ein:

$\displaystyle \epsilon=\frac{2m}{\hbar^2} E, \quad U(x)=\frac{2m}{\hbar^2} V(x).$ (3.1.9)

Dann können wir (3.1.4) in der Form

$\displaystyle \psi_E''(x)=[U(x)-\epsilon] \psi_E(x)$ (3.1.10)

schreiben. Wir wollen nun die Form der Wellenfunktion für $ x
\rightarrow \pm \infty$ herausfinden.

Für $ x \rightarrow -\infty$ lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung (3.1.10) aufgrund der Annahmen über das asymptotische Verhalten des Potentials (3.1.2)

$\displaystyle \psi_E''(x) \asy_{x \rightarrow -\infty} -\epsilon \psi(x).$ (3.1.11)

Diese lineare Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen $ \exp(\pm \ii \sqrt{\epsilon} x)$, so daß die allgemeine Lösung eine Superposition dieser beiden Lösungen sein muß:

$\displaystyle \psi_E(x) \asy_{x \rightarrow -\infty} A_1 \exp(+\ii \sqrt{\epsilon} x) + B_1 \exp(-\ii \sqrt{\epsilon} x).$ (3.1.12)

Wir müssen nun noch genauer über die möglichen Energieeigenwerte nachdenken. Falls nämlich $ \epsilon>0$, so ist $ \psi_E$ für $ x \rightarrow -\infty$ in jedem Falle ein ungebundener Zustand, d.h. $ \epsilon$ liegt im kontinuierlichen Spektrum, und es gibt keine weiteren Einschränkungen an $ \epsilon$ vom asymptotischen Verhalten im Unendlichen, und dann sind allgemeine $ A_1$ und $ B_1$ in (3.1.12) erlaubt. Falls aber $ \epsilon \leq 0$, so ist genauer $ \sqrt{\epsilon}=\ii \sqrt{\vert\epsilon\vert}$ zu schreiben, und damit die Wellenfunktion für $ x \rightarrow
\infty$ nicht exponentiell (bzw. für $ \epsilon=0$ linear) anwächst, muß notwendig $ A_1=0$ sein, d.h. wir haben genauer

$\displaystyle \psi_E(x) \asy_{x \rightarrow -\infty} \begin{cases}A_1 \exp(\ii ...
...ppa_1=\sqrt{\vert\epsilon\vert}$,}& \text{falls $\epsilon \leq 0$.} \end{cases}$ (3.1.13)

Für $ x \rightarrow +\infty$ ergibt sich

$\displaystyle \psi_E''(x) \asy_{x \rightarrow +\infty} (U_0-\epsilon) \psi(x),$ (3.1.14)

und wir können exakt analoge Überlegungen wie eben anstellen. Es ergibt sich dann schließlich

$\displaystyle \psi_E(x) \asy_{x \rightarrow +\infty} \begin{cases}A_2 \exp(\ii ...
...appa_2=\sqrt{U_0-\epsilon}$,}& \text{falls $\epsilon \leq U_0$.} \\ \end{cases}$ (3.1.15)

Nun können wir die verschiedenen möglichen Fälle für $ \epsilon$ im Hinblick auf das Verhalten der Wellenfunktionen analysieren

Abbildung: Potential und qualitatives Energieeigenwertspektrum zum zugehörigen Schrödingerschen Energieeigenwertproblem.
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{potential}




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