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Freie Teilchen

Wie wir schon in Abschnitt 1.2 gesehen haben, läßt sich der Fall des freien Teilchens, d.h. $ V(x)=0$, einfacher mit Hilfe von Impulseigenzuständen behandeln. Für unsere Simulationen wollen wir ein Gaußsches Wellenpaket der Art (1.2.11) für $ x
\ll 0$ als Anfangszustand konstruieren, müssen aber für den Fall mit Potential mit Energieeigenzuständen arbeiten. Wir wollen dabei im Unterraum mit nur nach $ x \rightarrow
\infty$ hin auslaufenden Wellen operieren. Die entsprechende auf $ \delta(E-E')$ ,,normierte'' Energieeigenfunktion ist nach den obigen allgemeinen Betrachtungen also durch

$\displaystyle \psi_E(x)=\sqrt{\frac{m}{2 \pi \hbar k}} \exp(\ii k x)$   mit$\displaystyle \quad k=\frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}$ (3.2.1)

gegeben.

Wir verwenden nun folgende Näherung. Im Impulsraum (geschrieben mit Wellenzahlen $ k=p/\hbar$) lautet das Anfangswellenpaket, das wir allerdings nicht um $ x=0$ herum plazieren wollen, sondern bei $ x_0 \ll
0$ gemäß (1.2.9):

$\displaystyle \tilde{\psi}_0(k)=\frac{1}{(2 \pi \alpha)^{1/4}} \exp \left [-\frac{(k-k_0)^2}{4 \alpha} -\ii k x_0 \right ].$ (3.2.2)

Für unsere Rechnungen verwenden wir stattdessen den folgenden Anfangszustand in der Energiedarstellung

$\displaystyle c_E=\sqrt{\frac{m}{\hbar k}}[\tilde{\phi}_0(k)+\tilde{\phi}_0(-k)]$   mit$\displaystyle \quad k=\frac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}.$ (3.2.3)

Zur Berechnung der zeitabhängigen Lösung integrieren wir diese Anfangswellenfunktion gemäß
(3.1.39). Da hier keine gebundenen Zustände existieren, ist

$\displaystyle \Psi(x,t)=\int_{0}^{\infty} \dd E \, c_E \, \psi_E(x) \exp \left (-\frac{\ii E t}{\hbar} \right).$ (3.2.4)

Dies ist für nicht zu breite Impulsverteilungen (also nicht zu große $ \alpha$) eine sehr guter Näherung für das Gaußsche Wellenpaket, wie das unten gezeigte Movie auch zeigt.

Zur Herstellung der Movies wird dieses Integral mit einer einfachen adaptiven Trapez-Simpson-Quadratur numerisch ausgewertet. Dabei ist es wegen der Singularität des Anfangszustandes (3.2.3) bei $ E=0$ allerdings von Vorteil, nach $ k$ zu integrieren. Es ist

$\displaystyle \Psi(x,t)=\int_{0}^{\infty} \dd k \, \frac{\hbar^2 k}{m} \, c_E \...
...(x) \exp \left (-\frac{\ii E t}{\hbar} \right), \quad E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$ (3.2.5)

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Das Wellenpaket bleibt gemäß (1.2.11) Gauß-förming verbreitert sich aber gemäß 1.2.22 aufgrund der nichtlinearen Dispersionsrelation $ \omega=\hbar k^2/(2m)$ der Schrödingerwellen mit der Zeit, d.h. der Ort eines anfänglich gut lokalisierten Teilchens wird mit der Zeit immer unbestimmter, und zwar desto schneller, je genauer das Teilchen anfangs lokalisiert war, denn desto breiter ist das Anfangswellenpaket im Impulsraum.




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