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Die Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall des freien Teilchens, um uns der Idee der Schrödingerschen Materiewellen zu nähern. Ausgangspunkt ist die Einsteinbeziehung für Lichtquanten $ E=\hbar \omega$ und $ \vec{p}=\hbar \vec{k}$, die de Broglie auf materielle Teilchen angewandt hatte.

Ein freies Teilchen zeichnet sich dadurch aus, daß keinerlei äußere Einflüsse auf es stattfinden. Das einzige, was wir über das Teilchen wissen müssen, um eine Wellengleichung aufzustellen, die es beschreiben soll, ist die sog. Dispersionsrelation, d.h. den Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz $ \omega$ und Wellenvektor $ \vec{k}$. Diese Beziehung können wir aber vermöge der klassischen Mechanik durch den Zusammenhang zwischen Energie und Impuls unter Zuhilfenahme der Einstein-de Broglie-Beziehung gewinnen. Für ein freies nichtrelativistisches Punktteilchen ist die Energie identisch mit der kinetischen Energie, und die ist durch die Beziehung

$\displaystyle E=\frac{\vec{p}^2}{2m}$ (1.2.1)

gegeben, wobei $ \vec{p}$ der Impuls des Teilchens und $ m$ seine Masse ist. Hier ist die Masse der einzige das Teilchen näher charakterisierende Parameter, ansonsten ist es als völlig unstrukturiert punktförmig abstrahiert. Setzen wir die Einstein-de Broglie-Beziehung ein, finden wir die gesuchte Dispersionsrelation:

$\displaystyle \hbar \omega=\frac{(\hbar \vec{k})^2}{2m} \Rightarrow \omega(\vec{k}) = \frac{\hbar \vec{k}^2}{2m}.$ (1.2.2)

Die einfachste Form einer Welle ist nun die aus der allgemeinen Wellenlehre bekannte ebene Welle, die durch eine Sinuswelle beschrieben wird. Aus rechentechnischen Gründen verwenden wir hier die Form der Exponentialfunktion und komplexe Zahlen. Wir werden sogleich sehen, daß die Schrödingersche Wellenfunktion ohnehin am bequemsten mit komplexwertigen Funktionen beschrieben wird. Wir setzen also an

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=A \exp(-\i \omega t + \i \vec{k} \vec{x}).$ (1.2.3)

Die Dispersionsbeziehung (1.2.2) muß nun durch eine Wellengleichung gegeben sein, also eine partielle Differentialgleichung, der $ \psi$ identisch genügen muß. Dazu leiten wir den Ansatz (1.2.3) einmal nach $ t$ und zweimal nach $ \vec{x}$ ab:

$\displaystyle \partial_t \psi(t,\vec{x})=-\i \omega \psi(t,\vec{x}), \; \Delta_{\vec{x}} \psi(t,\vec{x}) = -\vec{k}^2 \psi(t,\vec{x})$    mit $\displaystyle \Delta= \nabla \cdot \nabla=\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2.$ (1.2.4)

Vergleichen wir dies mit (1.2.2) sehen wir, daß die Wellenfunktion der Gleichung

$\displaystyle \ii \hbar \partial_{t} \psi = -\frac{\hbar^{2} \Delta}{2m} \psi$ (1.2.5)

zu genügen hat, damit die Dispersionsbeziehung identisch erfüllt wird. Dies ist schon die gesuchte Schrödingergleichung des freien Teilchens.

Erinnern wir uns jetzt der Bornschen Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude. Demnach sollte also

$\displaystyle W(t,\vec{x}) = \vert\psi(t,\vec{x})\vert^2$ (1.2.6)

die Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchen sein, also die Wahrscheinlichkeit pro Volumenelement, zur Zeit $ t$ ein Teilchen der Masse $ m$ am Ort $ \vec{x}$ zu finden. Setzen wir da unsere ebene Welle ein, finden wir für $ W$ eine Konstante. Damit aber unsere Welle eine Interpretation in dem Bornschen Wahrscheinlichkeitssinne überhaupt besitzen kann, muß die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen überhaupt irgendwo im Raum zu finden, auf $ 1$ normierbar sein. Das ist aber offenbar nicht der Fall, denn eine Konstante läßt sich gewiß nicht mit endlichem Resultat über den ganzen Raum integrieren.

Die ebene Welle entspricht auch ganz und gar nicht unserer Vorstellung von einem Teilchen, ist es doch zu dem einen Zeitpunkt $ t$ überall gleich wahrscheinlich, es zu finden, denn es ist für die ebene Welle ja $ W=\vert A\vert^2=$const. Unserer Teilchenvorstellung käme also ein Wellenpaket viel näher, d.h. eine Lösung der Schrödingergleichung, die auf einem relativ schmalen Gebiet eine große Amplitude besitzt, entsprechend einer hohen Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einer mehr oder weniger großen Umgebung1.6 eines Punktes. Weiter weg von diesem Punkt soll das Wellenpaket eine vernachlässigbare Amplitude besitzen.

Nun hat die Schrödingergleichung (1.2.5) die sehr angenehme Eigenschaft, daß sie linear ist, d.h. für sie gilt das Superpositionsprinzip. Das bedeutet, daß zu zwei Lösungen $ \psi_1$ und $ \psi_2$ der Schrödingergleichung auch jede Linearkombination der Gestalt $ c_1\psi_1+c_2\psi_2$ eine Lösung derselben ergibt, wobei $ c_1$ und $ c_2$ beliebige komplexe Konstanten sind. Das kann man mit beliebig vielen Lösungen so machen und sogar mit kontinuierlich vielen. Auf diese Weise werden wir sehr natürlich auf die Fourierdarstellung der Wellenfunktion geführt, d.h. wir machen den Ansatz:

$\displaystyle \psi(t,x)=\int \frac{\d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^{3/2}} A(\vec{k}) \exp[-\i \omega(\vec{k})t +\i \vec{k} \vec{x}].$ (1.2.7)

Dabei ist der Faktor $ 1/(2\pi)^{(3/2)}$ nur aus Bequemlichkeitsgründen eingeführt. Damit dieser Ansatz die Schrödingergleichung erfüllt, gehen wir davon aus, daß das Integral absolut konvergiert und wir Integration und Differentiation vertauschen können. Unter diesen Bedingungen die Schrödingergleichung auf (1.2.7) angewandt ergibt sofort wieder die schon oben benutzte Dispersionsrelation:

$\displaystyle \omega(\vec{k})=\frac{\hbar \vec{k}^2}{2m}.$ (1.2.8)

Diese Dispersionsrelation in (1.2.7) eingesetzt gewährleistet allein schon die Erfüllung der Schrödingergleichung, und zwar für beliebige Spektralfunktionen $ A$! Das bedeutet wir können für $ A$ irgendeine Funktion einsetzen, die absolut über $ \vec{k}\in\R^3$ integrierbar ist.

Um unsere Forderung nach einem Wellenpaket zu erfüllen, setzen wir die einfachst mögliche Form ein, nämlich eine Gaußverteilung. Wegen der allgemein großen Bedeutung von Gaußverteilungen in der Physik wollen wir hier die Fouriertransformation (1.2.7) ausführlich vorrechnen.

Es sei also die Spektralverteilung gegeben zu

$\displaystyle A(\vec{k})=N \exp \left [ -\frac{(\vec{k}-\vec{k}_0)^2}{4 \alpha} \right ].$ (1.2.9)

Wir finden folglich für die Schrödingersche Wellenfunktion gemäß (1.2.7 und (1.2.8):

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=N \int \frac{\d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^{3/2}} \exp \l...
...0)^2}{4 \alpha} - \i \frac{\hbar \vec{k}^2}{2 m} t + \i \vec{k} \vec{x}\right].$ (1.2.10)

Wir bemerken als erstes, daß sich in diesem Fall die Wellenfunktion in Form eines Produktes aus Wellenfunktionen für jede der drei Raumrichtungen schreiben läßt, d.h. es ist
$ \psi(t,\vec{x})=\psi_1(t,x_1)\psi_2(t,x_2)\psi_3(t,x_3)$ mit

$\displaystyle \psi_1(t,x_1)=N' \int \frac{\d k_1}{(2 \pi)^{1/2}}\exp \left[-\frac{(k_1-k_{01})^2}{4 \alpha} - \i \frac{\hbar k_1^2}{2 m} t + \i k_1 x_1 \right].$ (1.2.11)

Zur Ausführung dieses Integrals berechnen wir zunächst

$\displaystyle I=\int \frac{\d k_1}{(2 \pi)^{1/2}} \exp (-A k_1^2 + 2 A B k_1 +C)$ (1.2.12)

Zunächst führen wir im Argument der Exponentialfunktion eine quadratische Ergänzung und eine Substitution $ k_1'=k_1-B$ aus. Dann folgt

$\displaystyle I=\exp(C+A B^2) \int \frac{\d k_1'}{(2 \pi)^{1/2}} \exp(-A k_1'{}^2).$ (1.2.13)

Verbleibt das letzte Integral zu berechnen. Dazu bemerken wir, daß dieses Integral für $ A$ mit positivem Realteil existiert. Für reelle $ A$ ist das Integral positiv, und wir können schreiben

\begin{displaymath}\begin{split}I=&\exp(C+A B^2) \sqrt{\int \d k_1 \int \d k_2 \...
...i}\exp(-A K^2)} = \sqrt{\frac{\pi}{A}}\exp(C+AB^2). \end{split}\end{displaymath} (1.2.14)

Damit haben wir das Integral vollständig berechnet. Es sind nur noch die Werte für die Parameter $ A$, $ B$ und $ C$ einzusetzen. Die Ausdrücke werden etwas länger, so daß wir hier nur das Ergebnis für die Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben wollen:

$\displaystyle w_1(t,x_1)=\frac{\vert N'\vert^2 \sqrt{4 \alpha m}}{\sqrt{m^2+4 \...
...^2 t^2} \left [ \left(x_1-\frac{k_{01} \hbar}{m} t \right)^2 \right] \right \}.$ (1.2.15)

Die Normierungskonstante $ N'$ ist so zu bestimmen, daß

$\displaystyle \int \d x_1 w_1(t,x_1)=1$ (1.2.16)

wird, entsprechend der Forderung, daß das Teilchen mit Wahrscheinlichkeit $ 1$ an einem Ort mit der $ 1$-Komponente $ x_1 \in
\R$ gefunden wird. Unter Verwendung des Integrals (1.2.14) ergibt sich

$\displaystyle \vert N'\vert=\sqrt[4]{\frac{m}{2 \pi}}$ (1.2.17)

Wir bemerken, daß die Normierungskonstante zeitunabhängig ist. Weiter ist klar, daß bisher keinerlei Hinweise aus irgendeiner Forderung aufgetreten sind, wie der Phasenfaktor (also eine komplexe Zahl vom Betrag $ 1$) von $ N$ bzw. $ N'$ bestimmt werden soll.

Bevor wir in der allgemeinen Entwicklung der Quantentheorie fortfahren, die diese Beobachtungen klären wird, wollen wir kurz die Implikationen betrachten, die unser spezielles Resultat ergeben hat. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $ w(t,\vec{x})$, die sich durch Multiplikation von drei Faktoren der Form $ w_1$ ausdrückt, ist wieder ein Gaußsches Wellenpaket. Das verwundert weiter nicht, denn Gaußsche Glockenkurven sind invariant unter Fouriertransformationen. Physikalisch interessant sind aber die Parameter dieses Gaußschen Pakets.

Wir erinnern kurz an die Bedeutung dieser Parameter. Die allgemeine Form einer Gaußverteilung ist

$\displaystyle w_G(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} \exp \left[-\frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma} \right].$ (1.2.18)

Der Erwartungswert für $ x$ ist

$\displaystyle \erw{x}=\int \d x x w_G(x)=x_0.$ (1.2.19)

Das rechnet man übrigens am geschicktesten durch Ableiten des Normierungsintegrals nach $ x_0$ aus. Das ergibt natürlich wegen des von $ x_0$ unabhängigen Wertes 0. Die Ableitung ist aber $ \erw{x-x_0}/\sigma=0$. Genauso findet man die Varianz, also die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Der Trick mit der Ableitung ergibt

$\displaystyle \erw{\frac{\sigma-(x-x_0)^2}{\sigma^2}}=0 \rightarrow \Delta x^2=\erw{(x-x_0)^2}=\sigma.$ (1.2.20)

Wenden wir das auf (1.2.15) an, ergibt sich

$\displaystyle \erw{\vec{x}}= \frac{\hbar \vec{k}_0}{m}t,$ (1.2.21)

d.h. der Erwartungswert des Ortes des Teilchens ergibt die freie Bewegung eines Newtonschen Massepunktes mit dem Impuls $ \hbar
\vec{k}_0$. Die Ortsunschärfe wächst allerdings mit der Zeit, gemäß

$\displaystyle \Delta x^2=\frac{m^2 + 4 \alpha^2 \hbar^2 t^2}{4 \alpha m^2}.$ (1.2.22)

Zur Zeit $ t=0$ beträgt die Ortsunschärfe

$\displaystyle \Delta x^2\vert _{t=0}=\frac{1}{4 \alpha}.$ (1.2.23)

Für unsere Anfangsverteilung für den Impuls war sie hingegen:

$\displaystyle \Delta p^2=\hbar^2 \Delta k^2=\alpha.$ (1.2.24)

Es gilt also

$\displaystyle \Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2}.$ (1.2.25)

Wir werden im nächsten Abschnitt zeigen, daß dies die unterste überhaupt mögliche Grenze für den Ausdruck $ \Delta x \Delta p$ ist (Heisenbergsche Unschärferelation), und daß dies genau für die Gaußverteilung, die wir als Anfangsbedingung für die Schrödingergleichung angegeben hatten, zutrifft. In gewissem Sinne ist unser Gaußsches Wellenpaket das Beispiel, das größtmögliche Annäherung an ein klassisches Teilchen bietet, die im Rahmen der Quantentheorie möglich ist. Da der Impuls für das freie Teilchen eine Erhaltungsgröße ist, ändert sich auch dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht mit der Zeit, und die anfängliche Impulsunschärfe bleibt erhalten. Entsprechend dieser Impulsunschärfe wird jedoch die Ortsunschärfe mit der Zeit immer größer, d.h. die anfängliche ,,Minimalität'' der Orts-Impulsunschärfe relation geht mit der Zeit verloren, und zwar desto schneller, je größer die Impulsunschärfe anfänglich war.




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