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Potentialtopf

Wir betrachten nun den endlich tiefen Potentialtopf, d.h.

$\displaystyle V(x)=\begin{cases}-V_0 & \text{f\uml {u}r $\vert x\vert<b$}, \\ 0 & \text{f\uml {u}r $\vert x\vert \geq b$} \end{cases}$ (3.4.1)

mit $ V_0>0$ (vgl. Abb. 3.3).

Abbildung 3.3: Der Potentialtopf.
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{topf}

Dies ist insofern ein interessantes Problem als wir erwarten dürfen, daß es neben den Streuzuständen mit Energieeigenwerten $ E>0$ auch gebundene Zustände mit $ E<0$ gibt.

Das Problem, die Energieeigenzustände und dazugehörigen Energieeigenwerte zu finden, erleichtert sich erheblich durch die Symmetrie des Problems unter Raumspiegelungen. Der Raumspiegelungs- oder Paritätsoperator wirkt auf Wellenfunktionen vermöge

$\displaystyle \op{P} \psi(x)=\psi(-x).$ (3.4.2)

Da offenbar $ \op{P}^2=\einsop$ gilt, sind mögliche Eigenwerte von $ \op{P}=\pm 1$. Da sich weiter der Hamiltonoperator unter Raumspiegelungen offenbar nicht ändert, also $ \op{P}^{-1} \op{H}
\op{P}=\op{H}$ gilt, können wir $ \op{P}$ simultan zu $ \op{H}$ diagonalisieren. Wir können also die gesuchten Eigenzustände von $ \op{H}$ gleich als gerade bzw. ungerade Funktionen ansetzen: $ \psi_E^{(\pm)}(-x)=\pm \psi_E(x)$.

Der Vorteil bei der Lösung des vorliegenden Problems besteht darin, daß wir uns nur um die Stetigkeitsbedingungen an der Stelle $ x=b$ zu kümmern brauchen. Wegen der Spiegelungssymmetrie erfüllen dann die Wellenfunktionen automatisch auch die Stetigkeitsbedingungen bei $ x=-b$.



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