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Ungebundene Energieeigenzustände

Wir betrachten nun Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung zu positiven Energieeigenwerten. Auch hier empfiehlt es sich, zur einfacheren Erfüllung der Stetigkeitsbedingungen, zunächst gerade und ungerade Lösungen aufzusuchen. Wie wir sehen werden, existieren jeweils beide Lösungen für alle Energieeigenwerte $ E>0$, was aufgrund unserer Diskussion des allgemeinen Falles zu erwarten war: Die Energieeigenwerte $ E>0$ bilden das kontinuierliche Spektrum des Hamiltonoperators, und diese Eigenwerte sind zweifach entartet. Nur halbseitig ins Unendliche laufende Wellen gibt es im gegebenen Falle nicht, da die asymptotischen Werte des Potentials gleich sind.

Zugleich haben wir mit den beiden Lösungen zu gerader und ungerader Parität auch das vollständige (verallgemeinerte) Orthonormalsystem gefunden, wenn wir gemäß den oben entwickelten Vorschriften für die Normierung der ungebundenen Energieeigenzustände vorgehen. Es ist nämlich klar, daß Wellenfunktionen unterschiedlicher Parität stets orthogonal zueinander sind. Wir werden allerdings wie schon bei der Potentialstufe für unsere Simulationen lediglich die nach rechts laufenden Lösungen benötigen, die wir für jedes $ E>0$ durch Linearkombination aus den Eigenzuständen mit definiter Parität erhalten werden.

Für gerade Parität besitzen die Lösungen offenbar die Form

$\displaystyle \psi_E^{(+)}(x)=\begin{cases}A_2 \cos(k_2 x) & \text{f\uml {u}r $...
...xp(-\ii k_1 \vert x\vert) & \text{f\uml {u}r $\vert x\vert \geq b$} \end{cases}$ (3.4.18)

mit $ k_1=\sqrt{-\epsilon}$, $ k_2=\sqrt{U_0+\epsilon}$. Die Forderung, daß die Wellenfunktion und ihre Ableitung bei $ x=b$ stetig zu sein haben, ergibt für die Koeffizienten

$\displaystyle \begin{pmatrix}A_1 \\ B_1 \end{pmatrix} = \exp(\mp \ii k_1 b) \frac{k_1 \cos(k_2 b) \pm \ii k_2 \sin(k_2 b)}{2 k_1} A_2.$ (3.4.19)

Für ungerade Parität haben wir

$\displaystyle \psi_E^{(-)}(x)=\begin{cases}A_2' \sin(k_2 x) & \text{f\uml {u}r ...
..._1 \vert x\vert) \right ] & \text{f\uml {u}r $\vert x\vert \geq b$} \end{cases}$ (3.4.20)

mit

$\displaystyle \begin{pmatrix}A_1' \\ B_1' \end{pmatrix} = \exp(\mp \ii k_1 b) \frac{k_1 \sin(k_2 b) \mp \ii k_2 \cos(k_2 b)}{2 k_1} A_2'.$ (3.4.21)

Die Lösung, die nach rechts laufenden Wellen entspricht, d.h. diejenigen Eigenfunktionen, die
$ \propto \exp(+\ii k_1 x)$ für $ x
> b$ sind, ergibt sich daraus sofort durch die Linearkombination

$\displaystyle \psi^{(R)}(x)=\left [ \frac{1}{B_1} \psi_E^{(+)}(x) - \frac{1}{B_1'} \psi_E^{(-)}(x) \right ] A_R.$ (3.4.22)

Setzen wir die Lösungen gemäß Gln. (3.4.18-3.4.21) ein, ergibt sich aus der Normierungsvorschrift (3.1.37) für den im Bereich $ x<-b$ nach rechts laufenden Anteil der Welle:

$\displaystyle A_R=\sqrt{\frac{m}{8 \pi k_1 \hbar^2}}.$ (3.4.23)

Betrachten wir zunächst das asymptotische Verhalten der ungebundenen Lösungen, indem wir die wie bei der Schwelle definierten Reflexions- und Transmissionskoeffizienten bestimmen. Dazu müssen wir nur die Koeffizienten für die entsprechenden Wellenanteile aus den eben hergeleiteten Gleichungen einsetzen. Nach ein wenig Algebra findet man

\begin{displaymath}\begin{split}R=\frac{(k1^2-k_2^2)^2 \sin^2(2 b k_2)}{4 k_1^2 ...
...2^2 \cos^2(2 b k_2)+(k_1^2+k_2^2) \sin^2(2 b k_2)}. \end{split}\end{displaymath} (3.4.24)

Es gilt natürlich wieder $ T+R = 1$, wie es sein muß.
Abbildung 3.5: Transmissions- und Reflexionskoeffizienten beim Potentialtopf.
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{reflection-transmission-coeffs-pot}

Hier tritt ein gegenüber der Schwelle neues interessantes Phänomen auf: Der Reflexionskoeffizient verschwindet offenbar für diejenigen Energieeigenwerte, für die $ 2 b k_2 = n \pi$ mit $ n \in \N$ ist. Entsprechend gilt für diese Energieeigenwerte $ T=1$, d.h. die Welle für diese speziellen Energieeigenwerte wird vollständig transmittiert. Dies ist eine typisches Resonanzphänomen (vgl. Abb. 3.5).




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