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Überlagerung gebundener Zustände

Um eine Vorstellung über die Natur von Wellenpaketen zu erhalten, die sich aus der Überlagerung gebundener Zustände ergeben, simulieren wir schließlich noch einen anfang (ebenfalls näherungsweise Gaußförmig gewähltes) auf das Innere des Topfes konzentriertes Wellenpaket, das sich ausschließlich aus den gebundenen Zuständen zusammensetzt. Wie man aus Abb. 3.4 sieht, gibt es im gegebenen Falle $ n_g=7$ gebundene Zustände mit positiver und $ n_u=6$ mit negativer Parität. Das Wellenpaket besitzt also die folgende Gestalt

$\displaystyle \Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{n_g} c_n^{(+)} \psi_n^{(+)}(x) \exp \left(-...
...u} c_n^{(-)} \psi_n^{(-)}(x) \exp \left(-\frac{\ii E_n^{(-)} t}{\hbar} \right).$ (3.4.25)

Die Koeffizienten $ c_n^{\pm}$ wurden als die entsprechenden ,,verallgemeinerten Fourierkoeffizienten'' eines Gaußschen Wellenpakets $ \psi_0(x)$ bestimmt:

$\displaystyle c_n^{\pm} = \int_{-\infty}^{\infty} \dd x [\psi_n^{\pm}(x)]^* \psi_0(x).$ (3.4.26)

Freilich ist dann (3.4.25) für $ t=0$ nicht genau das Gaußpaket $ \psi_0$, da zu dessen exakter Entwicklung nach Energieeigenzuständen auch die ungebundenen Zustände beitragen würden. Wir wollen hier aber gerade den Fall eines ausschließlich aus gebundenen Zuständen zusammengesetzten Wellenpaketes studieren. Freilich haben wir das Wellenpaket (3.4.25) wieder auf $ 1$ normiert.

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Wie wir sehen, verhält sich ein solches Wellenpaket wie eine stehende Welle, die auch im Bereich $ \vert x\vert>b$ nicht strikt verschwindet, wohin ein klassisches Teilchen mit einer Energie $ E<0$ aufgrund des Energieerhaltungssatzes nicht gelangen könnte. Dies ist wieder der bereits oben bei der Diskussion der Potentialstufe erwähnte quantenmechanische Tunneleffekt.




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