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Energieeigenzustände

Wir betrachten ein Teilchen, das sich in einem äußeren harmonischen Potential entlang der $ x$-Achse bewegen möge. Der Hamiltonoperator besitzt die Gestalt

$\displaystyle \op{H}=\frac{\op{p}^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2} \op{x}^2.$ (3.5.1)

Wir stellen uns die Aufgabe, ein vollständiges Orthonormalsystem von Energieeigenvektoren zu finden. Dazu lassen wir uns zunächst von den Bewegungsgleichungen im Heisenbergbild leiten. Aus den Kommutatorrelationen (4.1.1) ergeben sich die Bewegungsgleichungen

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\dd \op{x}}{\dd t}&=\frac{1}{\ii \hbar} \c...
...i \hbar} \comm{\op{p}}{\op{H}} =-m \omega^2 \op{x}. \end{split}\end{displaymath} (3.5.2)

Die Lösung dieser Bewegungsgleichungen finden wir am einfachsten, indem wir den nicht-selbstadjungierten Operator

$\displaystyle \op{a}=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \op{x}+\frac{\ii}{\sqrt{2 m \hbar \omega}} \op{p}$ (3.5.3)

einführen. Dann lassen sich die Bewegungsgleichungen zu

$\displaystyle \frac{\dd \op{a}}{\dd t}=-\ii \omega \op{a}$ (3.5.4)

zusammenfassen. Die Lösungen dieser Gleichungen lassen sich sofort hinschreiben,

$\displaystyle \op{a}{(t)}=\op{a}_0 \exp(-\ii \omega t).$ (3.5.5)

Wir sind nun aber nicht weiter an der Zeitentwicklung der Operatoren interessiert, sondern wollen das Eigenwertproblem für $ \op{H}$ lösen. Die Struktur des Hamiltonoperators legt die Berechnung des selbstadjungierten Operators

$\displaystyle \op{a}^{\dagger} \op{a}=\frac{m \omega}{2 \hbar} \op{x}^2+\frac{1}{2 m \omega \hbar} \op{p}^2 - \frac{1}{2}$ (3.5.6)

nahe, wobei wir das Operatorprodukt einfach ausmultipliziert und die Vertauschungsrelationen (4.1.1) verwendet haben. Der Vergleich mit (3.5.1) ergibt

$\displaystyle \op{H}=\frac{\hbar \omega}{2} \left (2 \op{a}^{\dagger} \op{a}+1 \right ).$ (3.5.7)

Wir können also das Eigenwertproblem für $ \op{H}$ lösen, indem wir das für den hermiteschen Operator

$\displaystyle \op{N} = \op{a}^{\dagger} \op{a}$ (3.5.8)

betrachten.

Die Kommutatorrelationen des Operators $ \op{a}$ und $ \op{a}^{\dagger}$ untereinander berechnet man sofort mit Hilfe der Kommutatorrelationen (4.1.1):

$\displaystyle \comm{\op{a}}{\op{a}}=\comm{\op{a}^{\dagger}}{\op{a}^{\dagger}}=0, \quad \comm{\op{a}}{\op{a}^{\dagger}}=\einsop.$ (3.5.9)

Schließlich sind im folgenden noch die Kommutatoren

$\displaystyle \comm{\op{a}}{\op{N}}=\op{a}, \quad \comm{\op{a}^{\dagger}}{\op{N}}= -\op{a}^{\dagger}$ (3.5.10)

nützlich.

Sei nun $ \ket{n}$ irgendein Eigenvektor von $ \op{N}$ zum Eigenwert $ n$. Dann gilt

$\displaystyle \op{N}\op{a} \ket{n}= \{ \comm{\op{N}}{\op{a}} + \op{a} \op{N} \} = (n-1) \op{a} \ket{n},$ (3.5.11)

d.h. $ \op{a} \ket{n}$ ist also entweder ein Eigenvektor von $ \op{N}$ zum Eigenwert $ n-1$ oder der Nullvektor.

Weiter ist $ \op{N}$ ein ,,positiv semidefiniter Operator``, d.h. für jeden Vektor $ \ket{\psi}$ gilt

$\displaystyle \matrixe{\psi}{\op{N}}{\psi}=\braket{\op{a} \psi}{\op{a} \psi} \geq 0.$ (3.5.12)

Setzen wir hierin insbesondere $ \ket{\psi}=\ket{n}$, folgt, daß $ n \geq 0$ sein muß. Wenden wir also $ \op{a}^k$ auf $ \ket{n}$ an, muß für ein $ k \in \N$ gelten $ n-k=0$, weil es andernfalls Eigenvektoren mit beliebig kleinen Eigenwerten von $ \op{N}$ gäbe, was aber eben wegen (3.5.12) nicht möglich ist. Existiert also überhaupt ein simultaner Eigenvektor von $ \op{N}$, dann muß es (wenigstens) einen mit $ n=0$ geben, und für diesen muß gelten

$\displaystyle \op{a} \ket{0}=0.$ (3.5.13)

Weiter gilt aber auch

$\displaystyle \op{N} \op{a}^{\dagger} \ket{n}=\{ \comm{\op{N}}{\op{a}^{\dagger}} +\op{a}^{\dagger} \op{N} \} \ket{n}=(n+1) \op{a}^{\dagger} \ket{n},$ (3.5.14)

und das beweist, daß $ \op{a}^{\dagger} \ket{n}$ ein simultaner Eigenvektor von $ \op{N}_i$ zum Eigenwert $ n+1$ sein muß, und also das Spektrum von $ \op{N}$ gerade $ N$ ist, vorausgesetzt, es existiert zumindest ein Eigenvektor mit der Eigenschaft (3.5.13) 3.3.

Nehmen wir an, $ \ket{0}$ sei auf $ 1$ normiert, ergeben sich gemäß (3.5.14) weiter die auf $ 1$ normierten simultanen Eigenvektoren von $ \op{N}$ durch fortgesetzte Anwendung von $ \op{a}^{\dagger}$ aus $ \ket{0}$ und nachfolgende Normierung. Zur Bestimmung des Normierungsfaktors, nehmen wir nun also an, die $ \ket{n}$ seien auf $ 1$ normiert. Dann folgt

$\displaystyle \braket{\op{a}^{\dagger} n}{\op{a}^{\dagger} n} = \matrixe{n}{\op{N} + \comm{\op{a}}{\op{a}^{\dagger}}}{n} = (n+1) \ket{n+1}.$ (3.5.15)

durch Rekursion erhalten wir also schließlich

$\displaystyle \ket{n}=\sqrt{\frac{1}{n!}} (\op{a}^{\dagger})^{n} \ket{0},$ (3.5.16)

wobei wir die Normierungskonstanten willkürlich reell gewählt haben, da Phasenfaktoren ohnehin irrelevant sind. Mit Hilfe der Kommutatorrelation (3.5.9) finden wir

$\displaystyle \op{a} \ket{n}=\sqrt{\frac{1}{n!}} \left \{ \comm{\op{a}}{\op{a}^...
...qrt{\frac{1}{n!}} (\einsop+\op{N}) \sqrt{(n-1)!} \ket{n-1}= \sqrt{n} \ket{n-1}.$ (3.5.17)

Wir stellen weiter fest, daß damit auch das Eigenwertproblem für $ \op{H}$ gelöst ist, denn gemäß (3.5.7) ist $ \ket{n}$ ein Eigenvektor von $ \op{H}$

$\displaystyle \op{H} \ket{n}=E_n \ket{n}$ (3.5.18)

zum Eigenwert

$\displaystyle E_n=\frac{\hbar \omega}{2} (2n+1), \quad n \in \N.$ (3.5.19)

Es ist klar, daß der Zustand $ \ket{0}$ der Grundzustand, d.h. der Zustand der niedrigstmöglichen Energie des Teilchens ist.

Nun müssen wir noch die Existenz und Eindeutigkeit des Grundzustands nachweisen sowie zeigen, daß durch (3.5.16) wieder normierbare Hilbertraumvektoren entstehen. Dies läßt sich am einfachsten in der Ortsdarstellung bewerkstelligen. Betrachten wir also die Wellenfunktionen

$\displaystyle \psi_{n}(x)=\braket{x}{n}.$ (3.5.20)

Erinnern wir uns, daß die Orts- und Impulsoperatoren in der Ortsdarstellung durch (2.4.4) gegeben sind, folgt für die Grundzustandswellenfunktion

$\displaystyle \op{a} \psi_{0}(x)=\left (\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \frac{\partial}{\partial x} + \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x \right ) \psi_{0}(x)=0.$ (3.5.21)

Setzen wir zur Abkürzung

$\displaystyle a^2=\frac{\hbar}{m \omega},$ (3.5.22)

schreibt sich diese Gleichung als

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \psi_{0}=-\frac{x}{a^2} \psi_{0}.$ (3.5.23)

Die Lösung ergibt sich sofort eindeutig zu

$\displaystyle \psi_{0}(x)=\mathscr{N} \exp \left (-\frac{x^2}{2 a^2} \right ).$ (3.5.24)

Die Normierung ist (bis auf einen unerheblichen Phasenfaktor) durch

$\displaystyle \braket{0}{0}=\int \dd x \left \vert \psi_{0}(x) \right \vert^2 =...
...l{!}{=}1 \; \Rightarrow \; \mathcal{N}=\left ( \frac{1}{\pi a^2} \right )^{1/4}$ (3.5.25)

gegeben.

Wir erhalten also schließlichlich

$\displaystyle \psi_{0}(x)=\left ( \frac{1}{\pi a^2} \right )^{1/4} \exp \left (-\frac{x^2}{2 a^2} \right ).$ (3.5.26)

Es existiert also genau eine quadratintegrable Wellenfunktion zum simultanen Eigenwertproblem von $ \op{N}$ mit den Eigenwerten $ n=0$. Mittels (3.5.16) sehen wir, daß dann auch alle übrigen Eigenfunktionen quadratintegrabel sind, denn sie ergeben sich als Produkt aus der Gaußfunktion (3.5.26) mit einem Polynom, das sich durch fortgesetzte Anwendung des Differentialoperators $ \op{a}^{\dagger}$ bestimmen läßt:

$\displaystyle \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{n!}} (\op{a}^{\dagger})^n \psi_0(x) = ...
...frac{1}{2^n n!}} \left (\frac{x}{a} - a \frac{\dd}{\dd x} \right )^n \psi_0(x).$ (3.5.27)

Führen wir die dimensionslose Variable

$\displaystyle \xi=\frac{x}{a}$ (3.5.28)

ein, können wir gem. (3.5.26) schreiben

$\displaystyle \psi_n(x)=\left ( \frac{1}{\pi a^2} \right )^{1/4} \sqrt{\frac{1}...
...i} \right )^n \exp \left (-\frac{\xi^2}{2} \right ) \right ]_{\xi=\frac{x}{a}}.$ (3.5.29)

Offensichtlich ist

$\displaystyle \psi_n(x)=\left ( \frac{1}{\pi a^2} \right )^{1/4} \sqrt{\frac{1}...
...athrm{H}_n(\xi) \exp \left (-\frac{\xi^2}{2} \right ) \right]_{\xi=\frac{x}{a}}$ (3.5.30)

Dabei sind

$\displaystyle \mathrm{H}_n(\xi):=\exp \left ( \frac{\xi^2}{2} \right ) \left (\xi-\frac{\dd}{\dd \xi} \right )^n \exp \left (-\frac{\xi^2}{2} \right )$ (3.5.31)

die sog. Hermiteschen Polynome.

Es läßt sich durch Anwendung von (3.5.31) leicht zeigen, daß sie der Rekursionsformel

$\displaystyle \mathrm{H}_{n+1}(\xi)=2 \xi \mathrm{H}_n(\xi)-\mathrm{H}_n'(\xi)$ (3.5.32)

genügen, aus der durch vollständige Induktion sofort die alternative Darstellung

$\displaystyle \mathrm{H}_n(\xi)=(-1)^n \exp(\xi^2) \frac{\dd^n}{\dd \xi^n} \exp(-\xi^2),$ (3.5.33)

die Rodrigues-Formel, folgt. Eine nützliche Darstellung als Integral entsteht, indem man die Gaußfunktion in der folgenden Fourierdarstellung schreibt

$\displaystyle \exp(-\xi^2)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int \dd u \exp(-u^2+2 \ii u \xi)$ (3.5.34)

und in die Rodrigues-Formel einsetzt:

$\displaystyle \mathrm{H}_n(\xi)=\frac{\exp(\xi^2)}{\sqrt{\pi}} \int \dd u (-2 \ii u)^n \exp(-u^2+2 \ii u \xi).$ (3.5.35)

Aus dem Vorstehenden ergibt sich dann weiter unmittelbar, daß die $ \psi_n$ ein orthonormiertes Funktionensystem bilden, daß also

$\displaystyle \int \dd x \psi_{n'}^*(x) \psi_{n}(x)=\delta_{n' n}$ (3.5.36)

gilt. Substuieren wir hierin $ x=a \xi$, folgt für die Hermitepolynome die Orthogonalitätsbedingung

$\displaystyle \int \dd \xi \exp(-\xi^2) \mathrm{H}_{n'}(\xi) \mathrm{H}_{n}(\xi)=2^n n! \sqrt{\pi} \delta_{n' n}.$ (3.5.37)

Andere nützliche Beziehungen ergeben sich aus der ``erzeugenden Funktion`` der Hermitepolynome. Sie ist definiert als

$\displaystyle F(\xi,z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \mathrm{H}_n(\xi) z^n.$ (3.5.38)

Verwenden wir (3.5.33) und setzen einstweilen $ z=-(y-\xi)$, ergibt sich aufgrund der Taylorentwicklung

$\displaystyle F(\xi,z)=\exp(\xi^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left [\fra...
...}{\dd \xi^n} \exp(-\xi^2) \right] (y-\xi)^n=\exp(\xi^2-y^2) =\exp(2 \xi z-z^2).$ (3.5.39)

Es ist also

$\displaystyle \exp(2 \xi z-z^2)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \mathrm{H}_n(\xi) z^n.$ (3.5.40)

Differenzieren wir diese Gleichung nach $ z$, finden wir

$\displaystyle 2(\xi-z) \exp(2 \xi z-z^2)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} \...
...H}_n(\xi) z^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \mathrm{H}_{n+1}(\xi) z^n.$ (3.5.41)

Multiplizieren wir andererseits (3.5.40) mit $ 2(\xi-z)$ und vergleichen die Koeffizienten von $ z^n$, finden wir die Rekursionsformel

$\displaystyle \mathrm{H}_1(\xi)=2 \xi \mathrm{H}_0(\xi), \quad \mathrm{H}_{n+1}(\xi)=2 \xi \mathrm{H}_n(\xi)-2 n \mathrm{H}_{n-1}(\xi),$ (3.5.42)

die sich (zusammen mit der Startbedingung $ H_0(\xi) \equiv 1$) gut zur numerischen Berechnung der Hermitepolynome eignet.

\includegraphics[width=0.7\linewidth]{harm-osc-en-eig} Die Energieeigenfunktionen des eindimensionalen Harmonischen Oszillators zu den Eigenwerten $ E_n=\hbar \omega (n+1/2)$ für $ n=0,1,2,10$. Besonders bemerkenswert ist die Tatsache, daß in dieser Situation, die einem Teilchen mit scharf bestimmter Energie entsprechen, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für beliebig große Ortskomponenten $ x$ nicht verschwindet. In der klassischen Situation verbietet der Energiesatz, daß sich das Teilchen außerhalb der durch die Energie vorgegebenen Umkehrpunkte $ \pm x_0$ bewegt, die durch $ E=m \omega ^2 x_0^2/2$ bestimmt sind. Diese Eigenschaft, daß Teilchen mit scharf bestimmter Energie sich in Regionen aufhalten können, in die sie sich gemäß der klassischen Mechanik aufgrund des Energiesatzes nicht gelangen können, bezeichnet man als Tunneleffekt.
Auf dieselbe Weise erhalten wir durch Ableiten von (3.5.40) nach $ \xi$ die Ableitung der Hermitepolynome

$\displaystyle \mathrm{H}_n'(\xi)= \begin{cases}0 & \text{f\uml {u}r $n=0$,} \\ 2 n \mathrm{H}_{n-1}(\xi) & \text{f\uml {u}r $n \geq 1$}. \end{cases}$ (3.5.43)




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