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Der Propagator des harmonischen Oszillators

Zur Illustration der nun entwickelten Methoden wollen wir nun den Propagator des eindimsionalen harmonischen Oszillators gewinnen. Dazu gehen wir von (2.11.7) aus, wonach der Propagator in der Ortsdarstellung durch

$\displaystyle U(t;x,x')=\matrixe{x}{\exp \left(-\frac{\ii}{\hbar} t \op{H} \right)}{x'}$ (3.5.44)

gegeben ist, wobei wir den Anfangszeitpunkt der Einfachheit halber $ t_0=0$ gesetzt haben. Wegen der Vollständigkeit der Energieeigenzustände folgt

\begin{displaymath}\begin{split}U(t;x,x') &= \sum_{n=0}^{\infty} \matrixe{x}{\ex...
...it} \quad \xi=\frac{x}{a}, \quad \xi'=\frac{x'}{a}. \end{split}\end{displaymath} (3.5.45)

Dabei haben wir im letzten Schritt (3.5.19) und (3.5.30) angewandt. Um die Summe explizit auszuführen, substituieren wir die Integraldarstellung der Hermite-Polynome (3.5.35)

\begin{displaymath}\begin{split}U(t;x,x')= & \sqrt{\frac{\alpha}{\pi^3}} \frac{1...
...v)^n}{n!} \exp(-u^2-v^2+2 \ii \xi u + 2 \ii \xi' v) \end{split}\end{displaymath} (3.5.46)

mit $ \alpha=\exp(-\ii \omega t)$. Die Summe stellt gerade die Exponentialreihe dar, so daß wir für sie sofort

$\displaystyle U(t;x,x')= \sqrt{\frac{\alpha}{\pi^3}} \frac{1}{a} \exp \left (\f...
...t) \int \dd u \int \dd v \exp(-u^2-v^2+2 \ii \xi u + 2 \ii \xi' v-2 \alpha u v)$ (3.5.47)

erhalten. Die beiden Gaußintegrale lassen sich nacheinander ausführen, und das Ergebnis lautet

$\displaystyle U(t;x,x')=\frac{1}{\sqrt{\pi} a} \sqrt{\frac{\alpha}{1-\alpha^2}}...
... \frac{1+\alpha^2}{1-\alpha^2} + \frac{2 \alpha}{1-\alpha^2} \xi \xi' \right ).$ (3.5.48)

Wegen

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\alpha}{1-\alpha^2}=\frac{1}{1/\alpha-\alp...
...\alpha} =-\ii \frac{\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)} \end{split}\end{displaymath} (3.5.49)

ergibt sich daraus

$\displaystyle U(t;x,x')=\sqrt{\frac{1}{2 \pi \ii \sin(\omega t)}} \frac{1}{a} \...
...rac{\ii}{2a^2 \sin(\omega t)} [(x^2+{x'}^2) \cos(\omega t)- 2 x x' ] \right \}.$ (3.5.50)




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