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Energieeigenfunktionen in der Impulsdarstellung

Jetzt berechnen wir noch die Impulsdarstellung der Energieeigenfunktionen. Gemäß (2.4.12) haben wir

$\displaystyle \tilde{\psi}_{n}(p)=\int \frac{\dd x}{(2 \pi \hbar)^{1/2}} \psi_{n}(x) \exp \left (-\ii \frac{p x}{\hbar} \right )$ (3.5.51)

zu bestimmen3.4. Setzen wir hierin (3.5.30) ein und substituieren im Fourierintegral $ x=a \xi$, ergibt sich

$\displaystyle \tilde{\psi}_n(p)=\left (\frac{a^2}{\pi} \right )^{1/4} \sqrt{\fr...
...d \xi \, \mathrm{H}_n(\xi) \exp \left [-\xi^2/2-\ii a \xi \, p / \hbar\right ].$ (3.5.52)

Das Integral bestimmen wir nun mit Hilfe der erzeugenden Funktion (3.5.38), indem wir (3.5.40) verwenden. Demnach ist das Integral durch den $ n$-ten Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von

\begin{displaymath}\begin{split}\tilde{F}(p,z) &= \int \dd \xi \, \exp \left [-\...
...2 \frac{a p}{\hbar} (-\ii z) - (-\ii z)^2 \right ]. \end{split}\end{displaymath} (3.5.53)

nach $ z$ eindeutig bestimmt. Der zweite Exponentialfaktor ist aber gerade wieder durch die erzeugende Funktion der Hermitepolynome gegeben:

$\displaystyle \tilde{F}(p,z)=\sqrt{2 \pi} \exp \left (-\frac{a^2 p^2}{2 \hbar^2} \right ) F \left (\frac{a p}{\hbar},-\ii z \right ).$ (3.5.54)

Wenden wir hier wieder (3.5.38) an, ergibt sich schließlich

$\displaystyle \tilde{\psi}_n(p)=\left (\frac{a^2}{\pi \hbar^2} \right )^{1/4} \...
...\exp \left (-\frac{\tilde{\xi}^2}{2} \right ) \right ]_{\tilde{\xi}=a p/\hbar}.$ (3.5.55)

Bis auf Skalierungsfaktoren und Phasen stimmen also die Eigenfunktionen in der Impulsdarstellung mit denen in der Ortsdarstellung überein. Der Grund dafür ist die Tatsache, daß der Hamiltonoperator, abgesehen von Skalierungsfaktoren, symmetrisch unter Vertauschungen von Ort und Impuls ist.




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