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Kohäherente und gequetschte Zustände

Die Kohärenten Zustände des harmonischen Oszillators wurden von Schrödinger gefunden als er nach solchen Zuständen suchte, für die das quantenmechanische Verhalten des Oszillators möglichst genau der klassischen Bewegung eines Teilchens in einem $ x^2$-Potential entspricht.

Vergegenwärtigen wir uns die Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation in Abschnitt 2.6 für Ort und Impuls, so liegt ein Zustand $ \ket{\psi_0}$ mit minimalem Orts-Impulsunschärfeprodukt, also ein Zustand, für den

$\displaystyle \Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2}$ (3.5.56)

gilt, genau dann vor, wenn es ein $ \lambda \in \R$ gibt, so daß

$\displaystyle [(\op{x}-x_0)+\ii \lambda (\op{p}-p_0)] \ket{\psi_0}=0.$ (3.5.57)

Dabei sind $ x_0$ und $ p_0$ die beliebig vorgebbaren Erwartungswerte der Observablen $ x$ und $ p$. Man kann diese Forderung auch als Eigenwertgleichung in der Form

$\displaystyle (\op{x}+\ii \lambda \op{p}) \ket{\psi_0} = (x_0+\ii \lambda p_0) \ket{\psi_0}$ (3.5.58)

schreiben. In der Ortsdarstellung lautet diese Gleichung

$\displaystyle \left (x+\ii \hbar \lambda \frac{\dd}{\dd x} \right ) \psi_0(x)=(x_0+\ii \lambda p_0) \psi_0(x).$ (3.5.59)

Die normierte Lösung ist bis auf einen irrelevanten Phasenfaktor ein Gaußsches Wellenpaket der Form

$\displaystyle \psi_0(x)=\frac{1}{(\pi \hbar \lambda)^{1/4}} \exp \left [ -\frac{(x-x_0)^2}{2 \hbar \lambda}+\frac{\ii}{\hbar} p_0 x \right ].$ (3.5.60)

Das bedeutet, daß wir $ \lambda \in \R_{>0}$, d.h. die Ortsunschärfe $ \Delta x=\sqrt{\hbar \lambda/2}$, beliebig vorgeben können. Einen solchen Zustand bezeichnet man im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator als ,,gequetschten Zustand`` (im Englischen squeezed state). Die Impulsunschärfe ergibt sich tatsächlich zu $ \Delta p=\hbar/(2 \Delta x)=\sqrt{\hbar/(2\lambda)}$.

Wählen wir nun einen solchen gequetschten Zustand als Anfangszustand einer Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für den harmonischen Oszillator, erhalten wir die Wellenfunktion für spätere Zeiten mit Hilfe des Propagators (3.5.50):

$\displaystyle \Psi(t,x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x' U(t;x,x') \psi_0(x'),$ (3.5.61)

und das ist wieder ein Gaußsches Wellenpaket. Wir können die Erwartungswerte für Ort und Impuls sowie deren Standardabweichungen einfacher berechnen, wenn wir uns des Heisenbergbildes bedienen. Im Heisenbergbild ist gemäß (3.5.3) und (3.5.5) nämlich

\begin{displaymath}\begin{split}\erw{x(t)}&=\braket{\psi_0}{\op{x}_H(t) \psi_0}=...
...t)}=-m x_0 \omega \sin(\omega t)+p_0 \cos(\omega t) \end{split}\end{displaymath} (3.5.62)

und nach einiger Rechnung

\begin{displaymath}\begin{split}\Delta x^2 &=\frac{\hbar \lambda}{2} \cos^2(\ome...
...mega t) + \frac{\hbar}{2 \lambda} \cos^2(\omega t). \end{split}\end{displaymath} (3.5.63)

Die Erwartungswerte von Ort und Impuls bewegen sich also genau wie die entsprechenden Größen eines klassischen Teilchens, und die Orts- und Impulsunschärfen bleiben im Gegensatz zum Fall des freien Teilchens beschränkt.

Weiter finden wir

$\displaystyle \Delta x(t) \Delta p(t)=\frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{1+6(\lambda m...
...mega)^4 - [(\lambda m \omega)^2-1]^2 \cos(4 \omega t)}{8 (\lambda m \omega)^2}}$ (3.5.64)

Das Unschärfeprodukt oszilliert also periodisch im Intervall

$\displaystyle \frac{\hbar}{2} \leq \Delta x(t) \Delta p(t) \leq \frac{1+(\lambda m \omega)^2}{2 \lambda m \omega} \frac{\hbar}{2}.$ (3.5.65)

Das Unschärfeprodukt bleibt demnach für die spezielle Wahl

$\displaystyle \lambda=\frac{1}{m \omega}$ (3.5.66)

zeitlich konstant und minimal. Solche Zustände bezeichnet man als kohärente Zustände. Sie entsprechen in dem Sinne am besten einem klassischen Teilchen in einem harmonischen Oszillatorpotential als sie zeitlich konstante Orts- und Impulsunschärfen besitzten, wobei das Orts-Impulsunschärfeprodukt minimal ist. Genauer läßt sich ein solches Teilchen offenbar nicht für alle Zeiten zugleich im Phasenraum lokalisieren.

Ein Blick auf (3.5.58) zeigt im Vergleich mit (3.5.3), daß die kohärenten Zustände Eigenzustände des Vernichtungsoperators sind. Wir können offenbar Lösungen mit beliebigen Eigenwerten $ \alpha \in \C$ finden, da wir ja immer noch beliebige Erwartungswerte für Ort und Impuls (also $ x_0$ und $ p_0$) vorgeben können. Ein kohärenter Zustand ist also durch

$\displaystyle \op{a} \ket{\Phi(\alpha)} = \alpha \ket{\Phi(\alpha)}$ (3.5.67)

bestimmt.

Nun wollen wir die kohärenten Zustände nach Energieeigenzuständen entwickeln. Statt die explizite Form des kohäherenten Zustandes in der Ortsdarstellung (3.5.60) mit $ \lambda$ aus (3.5.66) zu verwenden, ist es bequemer, von dem Ansatz

$\displaystyle \ket{\Phi(\alpha)}=\sum_{n=0}^{\infty} c_n \ket{n}$ (3.5.68)

auszugehen. Aus (3.5.17) ergibt sich für die Eigenwertgleichung (3.5.67)

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sqrt{n} \ket{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha c_n \ket{n}.$ (3.5.69)

Numerieren wir die Summe auf der linken Seite um, finden wir die Rekursionsformel

$\displaystyle c_{n+1} \sqrt{n+1}=\alpha c_n.$ (3.5.70)

Offensichtlich ist also

$\displaystyle c_n=\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} c_0,$ (3.5.71)

wobei $ c_0$ frei wählbar ist. Wir werden diese Konstante sogleich verwenden, um den kohäherenten Zustand zu normieren. Jedenfalls gilt nun

$\displaystyle \ket{\Phi(\alpha)}=c_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} \ket{n}.$ (3.5.72)

Die Norm ist offenbar

$\displaystyle \braket{\Phi(\alpha)}{\Phi(\alpha)} = \vert c_0\vert^2 \sum_{n=0}...
...ty} \frac{\vert\alpha\vert^{2n}}{n!}=\vert c_0\vert^2 \exp(\vert\alpha\vert^2).$ (3.5.73)

Für auf $ 1$ normierte kohärente Zustände gilt also (bis auf einen irrelevanten Phasenfaktor)

$\displaystyle c_0=\exp \left(-\frac{\vert\alpha\vert^2}{2} \right ).$ (3.5.74)

Wir zeigen noch, daß $ \ket{\Phi(\alpha)}$ durch eine unitäre Transformation aus den Grundzustand $ \ket{0}$ hervorgeht. Mit (3.5.16) können wir (3.5.72) nämlich in der Form

$\displaystyle \ket{\Phi(\alpha)}=c_0 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha \op{a}^{\dagger})^n}{n!} \ket{0}=c_0 \exp( \alpha \op{a}^{\dagger}) \ket {0}$ (3.5.75)

schreiben. Da $ \op{a} \ket{0}=0$ ist, ist demnach

$\displaystyle \ket{\Phi(\alpha)}=c_0 \exp(\alpha \op{a}^{\dagger}) \exp(-\alpha^* \op{a}) \ket{0}.$ (3.5.76)

Wegen $ \comm{\op{a}^{\dagger}}{\op{A}}=\einsop$ können wir offenbar die im Anhang hergeleitete Formel (B.0.8) anwenden:

$\displaystyle \exp(\alpha \op{a}^{\dagger}-\alpha^* \op{a})=\exp(\alpha \op{a}^...
...\op{a}) \, \underbrace{\exp \left(-\frac{\vert\alpha\vert^2}{2} \right)}_{c_0}.$ (3.5.77)

Damit folgt

$\displaystyle \ket{\Phi(\alpha)}=\exp(\alpha \op{a}^{\dagger}-\alpha^* \op{a}) \ket{0}.$ (3.5.78)

Offensichtlich ist der Operator

$\displaystyle \op{U}(\alpha)=\exp(\alpha \op{a}^{\dagger}-\alpha^* \op{a})$ (3.5.79)

unitär, und das wollten wir zeigen.

Wir können nun auch recht einfach die Zeitentwicklung der Wellenfunktion angeben, wenn wir zur Zeit $ t=0$ den kohärenten Zustand $ \ket{\Psi(0)}=\ket{\Phi(\alpha)}$ vorgeben. Im Schrödingerbild ist nämlich

\begin{displaymath}\begin{split}\ket{\Psi(t)} &=\exp \left(-\frac{\ii}{\hbar} \o...
...\exp \left(-\frac{\ii \omega t}{2} \right )\ket{0}. \end{split}\end{displaymath} (3.5.80)

Nun beschreiben die Exponentialoperatoren aber genau die inverse Zeitentwicklung3.5 der Observablenoperatoren im Heisenbergbild, und wir können daher sofort mit Hilfe von (3.5.5) schreiben

$\displaystyle \ket{\Psi(t)}=\exp \left (-\frac{\ii \omega t}{2} \right ) \op{U}...
...\left (-\frac{\ii \omega t}{2} \right ) \ket{\Phi[\alpha \exp(-\ii \omega t)]}.$ (3.5.81)

Ein Vergleich von (3.5.58) mit (3.5.67) für den speziellen Fall eines kohärenten Zustands, d.h. für $ \lambda=1/(m \omega)$ cf. (3.5.66) zeigt den Zusammenhang zwischen den zeitabhängigen Erwartungswerten von Ort und Impuls und $ \alpha$:

$\displaystyle \erw{x(t)}=\sqrt{\frac{2 \hbar}{m \omega}} \re[\alpha \exp(-\ii \...
... t)], \quad \erw{p(t)}=\sqrt{2 \hbar m \omega} \im[\alpha \exp(-\ii \omega t)].$ (3.5.82)

Aufspalten in Real- und Imaginärteil führt in der Tat wieder auf (3.5.62). Die Ortsdarstellung ist dann unter Verwendung von (3.5.66) unmittelbar mit Hilfe von (3.5.60) zu

$\displaystyle \Psi(t,x)=\left (\frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp \l...
...\erw{x(t)}]^2+ \frac{\ii}{\hbar} x \erw{p(t)} -\frac{\ii \omega t}{2} \right \}$ (3.5.83)

bestimmt.

Wir berechnen weiter die Wahrscheinlichkeit, bei einer Energiemessung gerade den Wert
$ E_n=\hbar \omega/2 (2n+1)$ zu finden. Diese lesen wir sofort aus (3.5.72) ab:

$\displaystyle P(n)=\exp (-\vert\alpha\vert^2) \frac{(\vert\alpha\vert^{2})^{n}}{n!}.$ (3.5.84)

Dies ist eine Poissonverteilung mit Erwartungswert

$\displaystyle \erw{N}=\vert\alpha\vert^2 \Rightarrow \erw{H}=\frac{\hbar \omega}{2}(2\vert\alpha\vert^2+1).$ (3.5.85)




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