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Der Drehimpuls

Wir betrachten zunächst ausschließlich quantisierte ,,klassische`` Systeme in dem Sinne, daß wir die Heisenbergalgebra für kartesische Orts- und Impulskomponenten postulieren:

$\displaystyle \comm{\op{x}_i}{\op{p}_j}=\ii \hbar \delta_{ij} \einsop, \quad \comm{\op{x}_i}{\op{x}_j}=\comm{\op{p}_i}{\op{p}_j}=0.$ (4.1.1)

Weiter nehmen wir an, daß sich alle Observablen als Funktionen von $ \vec{\op{x}}$ und $ \vec{\op{p}}$ definieren lassen. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, daß dies nicht die allgemeinst mögliche Beschreibung von Teilcheneigenschaften in der nichtrelativistischen Quantentheorie dar. Wir können eine andere Basis für die Energieeigenfunktionen des harmonischen Oszillators bzw. allgemein für jeden Hamiltonoperator, für den das Potential nur vom Abstand $ r=\vert\vec{x}\vert$ abhängt, einführen, indem wir außer der Energie noch den Drehimpuls als Observable betrachten. Hier betrachten wir nur den sog. Bahndrehimpuls, der in Analogie zur klassischen Physik durch

$\displaystyle \vec{\op{L}}=\vec{\op{x}} \times \vec{\op{p}}$ (4.1.2)

definiert ist. Dabei treten übrigens keine Operatorordnungsprobleme auf, da im Kreuzprodukt nur Produkte von Orts- und Impulskomponenten in zueinander senkrechten Richtungen auftreten. In Komponentenschreibweise gilt

$\displaystyle \op{L}_a=\epsilon_{abc} \op{x}_b \op{p}_c,$ (4.1.3)

wobei $ \epsilon_{abc}$ das Levi-Civita-Symbol bezeichnet, welches vollständig antisymmetrisch unter
Vertauschungen der Indizes ist und damit durch $ \epsilon_{123}=1$ vollständig definiert ist. Als erstes zeigen wir, daß die Drehimpulskomponenten selbstadjungiert sind:

$\displaystyle \op{L}_a^{\dagger}=\epsilon_{abc} \op{p}_c \op{x}_b=\epsilon_{abc} \op{x}_b \op{p}_c = \op{L}_a,$ (4.1.4)

wobei wir verwendet haben, daß aufgrund der Antisymmetrie von $ \epsilon_{abc}$ nur Produkte aus Orts und Impulskomponenten mit unterschiedlichen Indizes auftreten, und diese kommutieren aufgrund von (4.1.1). Die Drehimpulskomponenten sind also auch in der Quantentheorie mögliche Observable eines Teilchens. Da die Drehimpulskomponenten allerdings nicht verstauchen, wie wir gleich sehen werden, sind sie nicht kompatibel, d.h. die Präparation eines Teilchens, so daß eine Komponente des Drehimpulses (gewöhnlich wählt man $ \op{L}_z$) bestimmt ist zieht gewöhnlich die Unbestimmtheit der beiden anderen Drehimpulskomponenten nach sich.

Wir erinnern uns von der klassischen Mechanik her, daß im Hamiltonformalismus die Drehimpulskomponente $ \op{L}_a$ gerade die Erzeugende einer infinitesimalen Drehung um die jeweilige Richtung $ \hat{e}_a$ im Sinne einer kanonischen Transformation sind. Die Poissonklammerbeziehungen entsprechen dabei den Kommutatorbeziehungen für die entsprechende Basis der zur Drehgruppe SO($ 3$) gehörigen Liealgebra so($ 3$). In der Tat ergibt sich aus der Heisenbergalgebra (4.1.1) sofort, daß auch im quantenmechanischen Falle

$\displaystyle \comm{\op{L}_a}{\op{L}_b}=\ii \hbar \epsilon_{abc} \op{L}_c$ (4.1.5)

gilt. Als nächstes weisen wir nach, daß alle drei Komponenten $ \vec{\op{L}}$ mit formalen Skalarprodukten von vektorartigen Operatoren wie $ \vec{\op{x}}$, $ \vec{\op{p}}$ und auch $ \vec{\op{L}}$ selbst vertauschen. Zunächst zeigen wir allgemeiner, daß $ \vec{\op{L}}$ infinitesimale Erzeugende von Drehungen sind, wenn sie auf die oben genannten ``Vektoroperatoren`` angewendet werden. In der Tat ist z.B.

$\displaystyle \comm{\op{L}_a}{\op{x}_j}= \epsilon_{abc} \comm{\op{x}_b \op{p}_c...
...\op{x}_b (-\ii \hbar \delta_{cj} \einsop) = -\ii \hbar \epsilon_{abj} \op{x}_b.$ (4.1.6)

Es ist also

$\displaystyle -\frac{\ii}{\hbar} \delta \vec{\alpha} \comm{\vec{\op{L}}}{\op{x}...
...jab} \delta \alpha_{a} \op{x}_{b}=-(\delta \vec{\alpha} \times \vec{\op{x}})_j.$ (4.1.7)

Wir können also davon ausgehen, daß eine Drehung um einen Drehwinkel $ \alpha=\vert\vec{\alpha}\vert$ um die Achse $ \vec{n}=\vec{\alpha}/\alpha$ durch die unitäre Drehmatrix

$\displaystyle \op{D}(\vec{\alpha}) = \exp \left (-\frac{\ii}{\hbar} \vec{\alpha} \vec{\op{L}} \right )$ (4.1.8)

gegeben ist. In der Tat ergibt sich (4.1.7) durch Entwicklung von $ \op{D}(\delta \vec{\alpha}) \op{x}_j \op{D}^{\dagger}(\delta
\vec{\alpha})$ bis zur linearen Ordnung in $ \delta \alpha$ als Änderung des Vektors $ \vec{\op{x}}$ unter dieser unitären Transformation.

Analog zum Vorgehen in (4.1.6) zeigt man, daß

$\displaystyle \comm{\op{L}_a}{\op{p}_j}=-\ii \hbar \epsilon_{jab} \op{p}_b, \qu...
...{\op{L}_b}=-\ii \hbar \epsilon_{bac} \op{L}_c=\ii \hbar \epsilon_{abc} \op{L}_c$ (4.1.9)

gelten. Die letztere Formel zeigt insbesondere, daß die Drehimpulskomponenten in der Tat eine Basis der Liealgebra der Drehgruppe so($ 3$) bilden.

Nun zeigen wir, daß für irgendeinen Vektoroperator $ \vec{\op{V}}$, für den definitionsgemäß die Kommutatorrelationen

$\displaystyle \comm{\op{L}_a}{\op{V}_j}=-\ii \hbar \epsilon_{jab} \op{V}_b$ (4.1.10)

gelten, der Operator $ \vec{\op{V}}^2$ mit allen drei Drehimpulskomponenten kommutiert:

$\displaystyle \delta_{jk} \comm{\op{L}_a}{\op{V}_j \op{V}_k} = \delta_{jk} \op{...
...}_b \op{V}_k = -\ii \hbar \epsilon_{jab} (\op{V}_j \op{V}_b+ \op{V}_b \op{V}_j)$ (4.1.11)

Da der Operator in der Klammer (unabhängig davon, ob $ \op{V}_j$ und $ \op{V}_b$ vertauschen oder nicht!) symmetrisch unter Vertauschung der Indizes $ j$ und $ b$ ist, während das Levi-Civita-Symbol dabei das Vorzeichen wechselt, ist in der Tat

$\displaystyle \comm{\op{L}_a}{\vec{\op{V}}^2}=0.$ (4.1.12)

Insbesondere folgt für $ \vec{\op{V}}=\vec{\op{L}}$

$\displaystyle \comm{\op{L}_a}{\vec{\op{L}}^2}=0.$ (4.1.13)

Haben wir also einen Hamiltonoperator der Form

$\displaystyle \op{H}=\frac{\vec{\op{p}}^2}{2m}+V(\op{r})$ (4.1.14)

vorliegen, wobei $ \op{r}=\sqrt{\vec{\op{x}}^2}$ ist, so vertauscht $ \op{H}$ mit $ \op{\vec{L}}$. Wir können also simultane Eigenvektoren von $ \op{H}$, $ \vec{\op{L}}^2$ und $ \op{L}_3$ als Basis verwenden. Alternativ können wir statt $ \op{H}$ auch $ \op{r}$ oder $ \op{p}=\sqrt{\vec{\op{p}}^2}$ wählen. Eine natürliche Wahl für die Ortsdarstellung sind in diesem Zusammenhang freilich Kugelkoordinaten $ (r,\vartheta,\varphi)$. Darauf kommen wir unten noch im Detail zurück.

Zur Lösung des Eigenwertproblems fragen wir zunächst nach den simultanen Eigenvektoren für $ \op{L}^2:=\vec{\op{L}}^2$ und $ \op{L}_3$. Wir gehen zunächst wieder algebraisch vor. Nehmen wir an, diese Operatoren hätten Eigenwerte $ \alpha$ und $ \mu$. Nun ist $ \op{L}^2$ ein positiv semidefiniter Operator, so daß $ \alpha \geq 0$ sein muß, denn es ist wegen der Selbstadjungiertheit der Drehimpulskomponenten $ \op{L}_j$ für jeden Vektor $ \ket{\psi}$

$\displaystyle \matrixe{\psi}{\op{L}^2}{\psi}=\sum_{j=1}^3 \matrixe{\psi}{\op{L}_j^2}{\psi} = \sum_{j=1}^3 \braket{\op{L}_j \psi}{\op{L}_j \psi} \geq 0.$ (4.1.15)

Aus der letzteren Form folgt auch sofort, daß

$\displaystyle \matrixe{\psi}{\op{L}_{3}^2}{\psi} \leq \matrixe{\psi}{\op{L}^2}{\psi}$ (4.1.16)

ist. Setzt man hierin den simultanen Eigenvektor für $ \op{L}^2$ und $ \op{L}$ ein, folgt

$\displaystyle \alpha \geq \mu^2 \geq 0$ (4.1.17)

Es ist also zu gegebenem $ \alpha$ der Eigenwert von $ \op{J}_3$ sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt:

$\displaystyle -\sqrt{\alpha} \leq \mu \leq \sqrt{\alpha}$ (4.1.18)

In Analogie zu den ,,Leiteroperatoren`` beim Harmonischen Oszillator führen wir die zueinander adjungierten Operatoren

$\displaystyle \op{L}_{\pm}=\op{L}_1 \pm \ii \op{L}_{2}$ (4.1.19)

ein. Aus den Kommutatorrelation (4.1.9) folgt

$\displaystyle \comm{\op{L_3}}{\op{L}_{\pm}}=\ii \hbar (\op{L}_2 \mp \ii \op{L}_1) = \pm \hbar \op{L}_{\pm}.$ (4.1.20)

Daraus ergibt sich

$\displaystyle \op{L}_3 \op{L}_{\pm} \ket{\alpha,\mu}=\left (\comm{\op{L}_3}{\op...
...op{L}_3 \right) \ket{\alpha,\mu} (\mu \pm \hbar) \op{L}_{\pm} \ket{\alpha,\mu}.$ (4.1.21)

Dies bedeutet, daß $ \op{L}_{\pm} \ket{\alpha,\mu}$ entweder Eigenvektor von $ \op{L}_3$ zum Eigenwert $ \mu \pm \hbar$ oder der Nullvektor ist. Sei nun $ \mu_{\text{max}}=l \hbar$ der maximale Eigenwert von $ \op{J}_3$ zu vorgegebenem $ \alpha$. Dann muß gelten

$\displaystyle \op{L}_+ \ket{\alpha,l \hbar}=0,$ (4.1.22)

denn andernfalls wäre $ (l+1)\hbar$ Eigenwert von $ \op{L}_3$, und das kann nach Voraussetzung nicht der Fall sein. Andererseits muß es auch eine natürliche Zahl $ k$ geben, so daß

$\displaystyle \op{L}_-^k \ket{\alpha,l\hbar} \neq 0, \quad \op{L}_-^{k+1} \ket{\alpha,l\hbar}=0.$ (4.1.23)

Damit ist der minimale Eigenwert von $ \op{L}_3$ also $ \mu_{\text{min}}=(l-k)\hbar$.

Stellen wir nun einen Zusammenhang zwischen den Leiteroperatoren (4.1.19) und $ \op{L}^2$ her:

$\displaystyle \op{L}_- \op{L}_+=(\op{L}_1-\ii \op{L}_2)(\op{L}_1+\ii \op{L}_2) ...
...+\op{L}_2^2 + \ii \comm{\op{L}_1}{\op{L}_2}=\op{L}^2-\op{L}_3^2-\hbar \op{L}_3.$ (4.1.24)

Wegen (4.1.22) ist also

$\displaystyle 0=\op{L}_- \op{L}_+ \ket{\alpha,l \hbar} = [\alpha-(l^2+l) \hbar^2] \ket{\alpha,l \hbar}.$ (4.1.25)

Da $ \ket{\alpha,l\hbar} \neq 0$, muß also

$\displaystyle \alpha=l(l+1) \hbar^2$ (4.1.26)

sein.

Weiter gilt aber auch

$\displaystyle \op{L}_+ \op{L}_-=\op{L}_1^2+\op{L}_2^2-\ii \comm{\op{L}_1}{\op{L_2}} = \op{L}^2 - \op{L}_3^2+\hbar \op{L}_3.$ (4.1.27)

Wegen (4.1.23) ist

$\displaystyle 0=\op{L}_+ \op{L}_- \ket{\alpha,(l-k)\hbar}=[l(l+1)-(l-k)(l-k-1)]\hbar^2 \ket{\alpha,(l-k)\hbar}.$ (4.1.28)

Also ist

$\displaystyle (2l-k)(k+1)=0 \; \Rightarrow l=\frac{k}{2},$ (4.1.29)

d.h. es muß $ l \in \{0,1/2,1,3/2,\ldots \}$ mit $ k \in \N$ sein, und es ist für vorgegebenes $ l$ der kleinste Eigenwert von $ \op{L}_z$

$\displaystyle \mu_{\text{min}}=(l-k) \hbar=-l \hbar.$ (4.1.30)

Wir stellen also fest, daß sich allein aufgrund der Vertauschungsrelationen der $ \vec{\op{L}}$ untereinander (also der Drehliealgebra so($ 3$)) die Eigenwerte von $ \op{L}^2$ die Werte $ l(l+1)\hbar^2$ mit $ l \in \{0,1/2,1,3/2,\ldots \}$ ergeben. Für jeden Eigenraum von $ \op{L}^2$ sind dann die simultanen Eigenwerte von $ \op{L}_3$ durch $ m\hbar$ mit $ m \in \{-l,-l+1,\ldots,l-1,l\}$ gegeben. Wie allgemein üblich bezeichnen wir die simultanen Eigenvektoren für $ \op{r}$, $ \op{L}^2$ und $ \op{L}_3$ im folgenden $ \ket{r,l,m}$. Es ist allerdings stets zu beachten, daß die dazugehörigen Eigenwerte beziehentlich $ r$, $ l(l+1)\hbar^2$ und $ m\hbar$ sind.

Wir können also die simultanen Eigenvektoren von $ \op{L}^2$ und $ \op{L}_3$ mit Hilfe des ,,Absteigeoperators`` $ \op{L}_-$ aus dem durch

$\displaystyle \op{L}_3 \ket{l,m=l}=\hbar l \ket{l,m=l}, \quad \op{L}_+ \ket{l,m=l}=0$ (4.1.31)

charakterisierten Eigenvektor zum größten Eigenwert von $ \op{L}_3$ für die durch $ l$ bestimmte Darstellung der Drehgruppe erzeugen. Es fehlt nur noch die (bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor festgelegte) Normierung. Nehmen wir also an, die simultanen Eigenvektoren $ \ket{l,m}$ seien normiert,

$\displaystyle \braket{l',m'}{l,m}=\delta_{ll'} \delta_{mm'}.$ (4.1.32)

Dann gilt

$\displaystyle \braket{\op{L}_- l,m}{\op{L_-} l,m}=\matrixe{l,m}{\op{L}_+ \op{L}_-}{l,m} = \hbar^2 [l(l+1)-m(m-1)]=\hbar^2(l+m)(l-m+1),$ (4.1.33)

wobei wir im letzten Schritt (4.1.27) verwendet haben. Bis auf einen Phasenfaktor ist also

$\displaystyle \op{L}_- \ket{l,m}=\hbar \sqrt{(l+m)(l-m+1)} \ket{l,m-1},$ (4.1.34)

was im übrigen auf das korrekte Resultat

$\displaystyle \op{L}_- \ket{l,m=-l}=0$ (4.1.35)

führt. Wir wählen die relative Phase zwischen $ \ket{lm}$ und $ \ket{l,m-1}$, so daß (4.1.34) ohne weitere Phasenfaktoren gilt. Auf ähnliche Weise folgt dann

$\displaystyle \op{L}_+\ket{l,m}=\hbar \exp(\ii \alpha_{lm}) \sqrt{(l-m)(l+m+1)} \ket{l,m+1}.$ (4.1.36)

Den Phasenfaktor können wir nun aufgrund von (4.1.24) und der Festlegung (4.1.34) eindeutig bestimmen. Dazu wenden wir auf (4.1.36) $ \op{L}_-$ an. Dann folgt

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$\displaystyle \op{L}_{-} \op{L_+} \ket{l,m} \stac...
... (l-m)(l+m+1) \ket{l,m} = \hbar^2 \exp(\ii \alpha_{lm}) (l-m)(l+m+1) \ket{l,m},$ (4.1.37)

d.h. $ \exp(\ii \alpha_{lm})=1$ und folglich

$\displaystyle \op{L}_+\ket{l,m}=\hbar \sqrt{(l-m)(l+m+1)} \ket{l,m+1}.$ (4.1.38)

Nun wollen wir noch zeigen, daß für den Bahndrehimpuls nur ganzzahlige Werte für $ l$ (und damit auch $ m$) auftreten können. Dies rührt von der durch Orts- und Impulsoperatoren zusammengesetzten Form (4.1.2) dieses speziellen Drehimpulsoperators her. Daß in der Natur auch halbzahlige Drehimpulseigenzustände vorkommen, ist ein spezifisch quantentheoretisches Phänomen, das mit der Möglichkeit eines instrinsischen Drehimpulses (Spin) der Teilchen zu tun hat. Wir folgen dem Beweis für die Ganzzahligkeit der Bahndrehimpulsdarstellungen [KW71].

Dazu führen wir wie bei der Behandlung des harmonischen Oszillators ,,Leiteroperatoren``

$\displaystyle \op{a}_j=\sqrt{\frac{C}{2 \hbar}} \op{x}_j + \frac{\ii}{\sqrt{2C \hbar}} \op{p}_j, \quad j \in \{1,2\}$ (4.1.39)

ein. Dabei ist $ C>0$ eine beliebige Konstante von der Dimension Masse $ \times$ Frequenz. Aus den Kommutatorrelationen für die Orts- und Impulsoperatoren (4.1.1) folgt dann durch einfaches Nachrechnen

$\displaystyle \comm{\op{a}_j}{\op{a}_j^{\dagger}}=\einsop, \quad \comm{\op{a}_1...
...}_2}=\comm{\op{a}_1^{\dagger}}{\op{a}_2}=\comm{\op{a}_2^{\dagger}}{\op{a}_1}=0.$ (4.1.40)

Wie beim eindimensionalen harmonischen Oszillator in Abschnitt 3.5 gezeigt, besitzen die selbstadjungierten Operatoren

$\displaystyle \op{N}_j=\op{a}_j^{\dagger} \op{a}_j, \quad j \in \{1,2\}$ (4.1.41)

die ganzzahligen Eigenwerte 0, $ 1$, $ 2,\ldots$. Weiter ist wegen (4.1.40)

$\displaystyle \comm{\op{N}_1}{\op{N}_2}=0.$ (4.1.42)

Nun führen wir noch einen dritten Leiteroperator ein, nämlich

$\displaystyle \op{B}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\op{a}_1+\ii \op{a}_2), \quad \op{N}_3=\op{B}^{\dagger} \op{B}.$ (4.1.43)

Dieser Operator erfüllt die Kommutatorregeln eines Leiteroperators,

$\displaystyle \comm{\op{B}}{\op{B}^{\dagger}}=\einsop.$ (4.1.44)

Unter Verwendung der Definitionen (4.1.39) zeigt man durch unmittelbares Nachrechnen, daß

$\displaystyle \op{L}_z=\op{x}_1 \op{p}_2-\op{x}_2 \op{p}_1=\hbar (\op{N}_1+\op{N}_2-2 \op{N}_3)$   und$\displaystyle \quad \comm{\op{N}_1+\op{N}_2}{\op{N}_3}=0.$ (4.1.45)

Wegen (4.1.42) besitzt $ \op{N}_1+\op{N}_2$ wie die $ \op{N}_1$ und $ \op{N}_2$ die Eigenwerte $ 0,1,2,\ldots$, denn es gibt eine vollständige gemeinsame Basis von Eigenvektoren zu $ \op{N}_1$ und $ \op{N}_2$. Nun kommutiert zwar $ \op{N}_3$ nicht einzeln mit $ \op{N}_1$ und $ \op{N}_2$, aber gemäß (4.1.44) mit $ \op{N}_1+\op{N}_2$, so daß es also auch eine gemeinsame vollständige Basis von Eigenvektoren zu $ \op{N}_1+\op{N}_2$ und $ \op{N}_3$ gibt. Dies ist dann aber gemäß auch eine Eigenbasis zu $ \op{L}_z/\hbar$, und auch dieser Operator besitzt demnach nur Eigenwerte $ \in \{0,1,\ldots \}$. Dies bedeutet, daß $ \op{L}_z$ nur Eigenwerte $ \hbar m$ mit $ m \in
\{0,1,2,\ldots \}$ und nicht mit halbzahligen $ m$ besitzen kann. Da nun für die irreduzible Darstellung eines beliebigen Satzes von Drehimpulsoperatoren zur Bahndrehimpulsbetragsquantenzahl $ l$ die Werte $ m \in \{-l,-l+1,\ldots,l-1,l\}$ liegen, kann also für den speziellen Fall des Bahndrehimpulses $ l$ nicht halbzahlig sein, da ggf. $ m$ nur halbzahlige Werte annehmen könnte. Folglich kann es keine irreduzible Darstellung des Bahndrehimpulses mit halbzahligem $ l$ geben und folglich muß also $ l$ ganzzahlig sein.

Als nächstes bestimmen wir die Bahndrehimpulseigenzustände $ \ket{l,m}$ in der Ortsdarstellung. Dazu bietet sich eine Formulierung in Kugelkoordinaten $ (r,\vartheta,\varphi)$ an. Verwenden wir wieder den Impulsoperator in Ortsdarstellung (2.4.4), ergibt sich für den Bahndrehimpulsoperator, angewandt auf eine beliebige Wellenfunktion $ \psi(\vec{x})=\braket{\vec{x}}{\psi}$ und benutzen die bekannte Darstellung des Gradienten in Kugelkoordinaten

\begin{displaymath}\begin{split}\vec{\op{L}} &=\vec{x} \times \frac{\hbar}{\ii} ...
...tial \vartheta} \right ) \psi(r,\vartheta,\varphi). \end{split}\end{displaymath} (4.1.46)

Damit folgt für die kartesischen Komponenten 4.1

\begin{displaymath}\begin{split}\op{L}_1 \psi&=\vec{e}_1 \vec{\op{L}}\psi=\frac{...
...{\hbar}{\ii} \frac{\partial}{\partial \varphi}\psi. \end{split}\end{displaymath} (4.1.47)

Die Leiteroperatoren (4.1.19) sind also durch

$\displaystyle \op{L}_{\pm} \psi=\hbar \exp(\pm \ii \varphi) \left (\ii \cot \va...
...artial}{\partial \varphi} \pm \frac{\partial}{\partial \vartheta} \right ) \psi$ (4.1.48)

gegeben.

Zur Berechnung von $ \op{L}^2$ empfiehlt sich zunächst die Rückkehr zu kartesischen Koordinaten:

$\displaystyle \op{L}^2 \psi=-\hbar^2 \left ( \vec{x} \times \frac{\partial}{\pa...
... \right) \left ( \vec{x} \times \frac{\partial}{\partial \vec{x}} \right) \psi.$ (4.1.49)

Schreibt man dies mit Hilfe der Levi-Civita-Symbole um, erhält man schließlich

$\displaystyle \op{L}^2 \psi=-\hbar^2 \left [r^2 \Delta \psi-\vec{x} \frac{\part...
...c{x}} \left ( \vec{x} \frac{\partial \psi}{\partial \vec{x}} \right ) \right ].$ (4.1.50)

Anwendung des Laplace- und Gradientenoperators in Kugelkoordinaten liefert dann schließlich

$\displaystyle \op{L}^2 \psi=-\hbar^2 \left [\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\par...
...\frac{1}{\sin^2 \vartheta} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \varphi^2} \right ].$ (4.1.51)

Wir können uns nun der Bestimmung der Eigenfunktionen von $ \op{L}^2$ und $ \op{L}_3$ zuwenden. Wir müssen dazu, Dank unserer algebraischen Betrachtungen, allerdings nicht das simultane Eigenwertproblem für $ \op{L}_3$ und $ \op{L}^2$ mit Hilfe der Differentialoperatoren (4.1.47) und (4.1.51) lösen, wie es in den meisten Lehrbüchern der Quantentheorie durchgeführt wird.

Nun können wir die simultanen Eigenvektoren $ \ket{l,m}$ in der Ortsdarstellung gewinnen, indem wir gemäß (4.1.31) zunächst den Zustand $ \ket{l,l}$ und dann durch sukzessive Anwendung von (4.1.34) die übrigen berechnen. Es ist klar, daß die entsprechenden Wellenfunktionen die Gestalt

$\displaystyle \psi_{lm}(r):=\braket{\vec{x}}{r,l,m}=R_{lm}(r) Y_{lm}(\vartheta,\varphi)$ (4.1.52)

besitzen werden. Durch die Bestimmung der simultanen Eigenvektoren von $ \op{L}^2$ und $ \op{L}_3$ werden die Kugelflächenfunktionen $ Y_{lm}$ bestimmt, die sich wieder in eine reine Funktion von $ \vartheta$ und eine von $ \varphi$ faktorisieren. Die Drehimpulsoperatoren wirken nur auf $ \vartheta$ und $ \varphi$, nicht auf $ r$, so daß wir im folgenden den Faktor $ R_{lm}$ außer acht lassen können. Dieser bestimmt sich dann durch Festlegung einer weiteren zu $ \op{L}^2$ und $ \op{L}_3$ Observablen, z.B. der Energie in einem Zentralkraftproblem.

Beginnen wir also mit der Bestimmung der Kugelflächenfunktionen zu vorgegebenem
$ l \in \N=\{0,1,2,3,\ldots \}$. Betrachten wir zunächst das Eigenwertproblem von $ \op{L}_3$ zum Eigenwert $ m\hbar$:

$\displaystyle \op{L}_3 Y_{lm}=\frac{\hbar}{\ii} \frac{\partial}{\partial \varphi} Y_{lm} \stackrel{!}{=} \hbar m Y_{lm}.$ (4.1.53)

Die eindeutige Lösung dieser Differentialgleichung ist

$\displaystyle Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=\Theta_{lm}(\vartheta) \exp(\ii m \varphi).$ (4.1.54)

Wir können uns nun von der Ganzzahligkeit des Operators $ \op{L}_3$ auch in der Ortsdarstellung überzeugen. Wenn nämlich $ \op{L}_3$ selbstadjungiert sein sollen, müssen dessen Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal aufeinander sein. Für $ m=0$ ist die Eigenfunktion gemäß (4.1.54) $ \Phi_{m=0}(\varphi)=$const, und das ist eine $ L^2([0,2\pi])$-Funktion, so daß tatsächlich 0 ein Eigenwert von $ \op{L}_3$ ist. Sei weiter $ m \neq 0$. Aus der Orthogonalitätsbedingung für Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten folgt

$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \dd \varphi \exp(\ii m \varphi)=-\frac{\ii}{m} [\exp(2 \pi m \ii)-1] \stackrel{!}{=} 0,$ (4.1.55)

und daraus folgt $ m \in \N$.

Zur Bestimmung der $ \Theta_{lm}$ verwenden wir zunächst die zweite Gleichung in (4.1.31) und die Darstellung des Leiteroperators $ \op{L}_+$ in der Ortsdarstellung gemäß (4.1.48), um die $ Y_{ll}$ zu bestimmen:

$\displaystyle \op{L}_{+} Y_{ll}=\hbar \exp(\ii \varphi) \left (\ii \cot \varthe...
...vartheta} \right ) \Theta_{ll}(\vartheta) \exp(\ii l \varphi) \stackrel{!}{=}0.$ (4.1.56)

Ausführung der Ableitungen führt auf die Differentialgleichung

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd \vartheta} \Theta_{ll}=l \cot \vartheta \Theta_{ll}.$ (4.1.57)

Durch ,,Trennung`` der Variablen findet sich sofort die eindeutige Lösung

$\displaystyle \Theta_{ll}(\vartheta)=c_{ll} \sin^l \vartheta.$ (4.1.58)

Zur Bestimmung der Normierungskonstanten bemerken wir, daß das Skalarprodukt in der Ortsdarstellung, ausgedrückt in Kugelkoordinaten

$\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_2}=\int \dd^3 \vec{x} \psi_1^{*}(\vec{x}) \p...
...r^2 \sin \vartheta \, \psi_1^*(r,\vartheta,\varphi) \psi_2(r,\vartheta,\varphi)$ (4.1.59)

lautet. Es ist daher bequem, die Kugelflächenfunktionen gemäß

$\displaystyle \int_0^{\vartheta} \dd \vartheta \int_0^{2 \pi} \dd \varphi \sin \vartheta \left \vert Y_{lm}(\vartheta,\varphi) \right \vert^2=1$ (4.1.60)

zu normieren. Für $ Y_{ll}$ bedeutet das

$\displaystyle 2 \pi \vert c_{ll}\vert^2 \int_0^{\vartheta} \dd \vartheta \sin^{2l+1} \vartheta \stackrel{!}{=}1.$ (4.1.61)

Zur Berechnung des Integrals substituieren wir $ u=\cos \vartheta$, $ \dd
u=-\sin \vartheta \dd \vartheta$:

$\displaystyle J_l=\int_0^{\vartheta} \dd \vartheta \sin^{2l+1} \vartheta=\int_{-1}^{1} \dd u (1-u^2)^l.$ (4.1.62)

Dafür können wir für $ l \geq 1$ eine Rekursionsformel herleiten:

$\displaystyle J_l=\int_{-1}^{1} \dd u [(1-u^2)^{l-1}+\frac{u}{2l} \frac{\dd}{\dd u}(1-u^2)^{l} = J_{l-1} -\frac{1}{2l} J_l.$ (4.1.63)

Dies ergibt schließlich zusammen mit $ J_0=2$

$\displaystyle J_l=\frac{2l}{2l+1} J_{l-1}=2 \frac{(2l)!!}{(2l+1)!!},$ (4.1.64)

wobei die Doppelfakultäten durch

$\displaystyle (2l)!!=2\cdot 4 \cdot 6 \cdots (2l), \quad (2l+1)!!=1 \cdot 3 \cdot 6 \cdots (2l+1)$ (4.1.65)

definiert sind. Sie lassen sich wie folgt durch gewöhnliche Fakultäten ausdrücken:

$\displaystyle (2l)!!=2^l l!, \quad (2l+1)!!=\frac{(2l+1)!}{(2l)!!}=\frac{(2l+1)!}{2^l l!}.$ (4.1.66)

Schließlich erhalten wir also (bis auf einen unerheblichen Phasenfaktor)4.2

\begin{displaymath}\begin{split}c_{ll}&=\sqrt{\frac{(2l+1)!}{4 \pi}} \frac{(-1)^...
...l}{2^l l!} \sin^l \vartheta \exp(\ii \, l \varphi). \end{split}\end{displaymath} (4.1.67)

Für das folgende ist es bequem, die Variablensubstitution $ u=\cos \vartheta$ zu verwenden. Der für uns relevante Operator $ \op{L}_-$ läßt sich dann in der Gestalt

$\displaystyle \op{L}_{-} \psi = \hbar \exp(-\ii \varphi) \left (\ii \frac{u}{\s...
...ial}{\partial \varphi} + \sqrt{1-u^2} \frac{\partial}{\partial u} \right ) \psi$ (4.1.68)

schreiben. Insbesondere gilt für $ Y_{lm}$ gemäß (4.1.53)

\begin{displaymath}\begin{split}\op{L}_{-} Y_{lm}(\vartheta,\varphi)&=\op{L}_{-}...
...u^2}} U_{lm}(u) + \sqrt{1-u^2} U_{lm}'(u) \right ], \end{split}\end{displaymath} (4.1.69)

wobei wir $ \Theta_{lm}(\vartheta)=U_{lm}(\cos \vartheta)$ gesetzt haben. Dies läßt sich nun zu

$\displaystyle \op{L}_{-} Y_{lm}(\vartheta,\varphi) = \hbar \exp[\ii(m-1)\varphi...
...1-u^2}^{\, m-1}} \frac{\dd}{\dd u} \left [\sqrt{1-u^2}^{\,m} U_{lm}(u) \right].$ (4.1.70)

Gemäß (4.1.34) folgt daraus

$\displaystyle \sqrt{(l+m)(l-m+1)} U_{l,(m-1)}(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}^{\,m-1}} \frac{\dd}{\dd u} \left [\sqrt{1-u^2}^{\, m} U_{lm}(u) \right].$ (4.1.71)

Wegen (4.1.58) ist

$\displaystyle U_{ll}(u)=c_{ll} \sqrt{1-u^2}^{\,l}$ (4.1.72)

Daraus ergibt sich durch Iteration sofort die Formel

$\displaystyle U_{lm}(u)= \frac{(-1)^l}{2^l l!} \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l...
...{(l-m)!}} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}^{\,m}} \frac{\dd^{l-m}}{\dd u^{l-m}} (1-u^2)^l,$ (4.1.73)

die man formal auch sofort mit der Rekursionsformel (4.1.71) durch vollständige Induktion beweist: In der Tat ist die Formel für $ m=l$ korrekt. Nehmen wir nun an, sie gelte für irgendein $ -l \leq m
\leq l$. Dann ist wegen (4.1.71)

\begin{displaymath}\begin{split}U_{l,m-1}(u)= &\frac{1}{\sqrt{(l+m)(l-m+1)}} \fr...
...,m-1}} \frac{\dd^{l-m+1}}{\dd u^{l-m+1}} (1-u^2)^l, \end{split}\end{displaymath} (4.1.74)

und das entspricht gerade (4.1.73) für $ m \rightarrow m-1$. Für $ m>l$ ist (4.1.73) definitionsgemäß 0, da man das Inverse von Fakultäten negativer ganzzahliger Argumente zu 0 definiert. Für $ m<-l$ verschwindet die $ l-m>2l$-te Ableitung des Polynoms vom Grade $ 2l$.

Die Kugelflächenfunktionen sind nunmehr also vollständig bestimmt:

$\displaystyle Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=U_{lm}(\cos \vartheta) \exp(\ii m \varphi).$ (4.1.75)

Die entsprechenden Orthonormalitätseigenschaften sind

$\displaystyle \braket{l_1m_1}{l_2 m_2}=\int_{0}^{\pi} \dd \vartheta \int_0^{2 \...
...\varphi) Y_{l_{2}m_{2}}(\vartheta,\varphi) = \delta_{l_1 l_2} \delta_{m_1 m_2}.$ (4.1.76)

Daraus folgt für $ m_1=m_2=m$4.3:

$\displaystyle \int_{-1}^{1} \dd u U_{l_1m}(u) U_{l_2m}(u)=\frac{1}{2 \pi} \delta_{l_1 l_2}.$ (4.1.77)

Für $ m=-l$ können wir (4.1.73) sofort auswerten, da dann gilt

$\displaystyle \frac{\dd^{2l}}{\dd u^{2l}}(1-u^2)^l=\frac{\dd^{2l}}{\dd u^{2l}}(-u^2)^l = (-1)^l (2l)!$ (4.1.78)

Mit (4.1.73) folgt daraus

$\displaystyle U_{l,-l}(u)=\frac{1}{2^l l!} \sqrt{\frac{(2l+1)!}{4 \pi}} \sqrt{1-u^2}^{\,l} = (-1)^l U_{ll}(u).$ (4.1.79)

Nun können wir gemäß (4.1.38) die Funktionen $ Y_{lm}$ auch durch fortgesetzte Anwendung von $ \op{L}_+$ aus $ Y_{l,-l}$ erhalten. Aus (4.1.48) folgt

$\displaystyle \op{L}_+ Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=-\hbar \exp[\ii(m+1)\varphi] \...
...^{\,m+1} \frac{\dd}{\dd u} \left [\frac{U_{lm}(u)}{\sqrt{1-u^2}^{\,m}} \right].$ (4.1.80)

Das heißt mit (4.1.38) folgt

$\displaystyle U_{l,m+1}(u)=-\sqrt{\frac{1}{(l-m)(l+m+1)}} \sqrt{1-u^2}^{\,m+1} \frac{\dd}{\dd u} \left [\frac{U_{lm}(u)}{\sqrt{1-u^2}^{\,m}} \right].$ (4.1.81)

Durch Iteration dieser Gleichung beginnend mit $ m=-l$ erhält man unter Verwendung von (4.1.79) den allgemeinen Zusammenhang

$\displaystyle U_{l,-m}(u)=(-1)^m U_{lm}(u)$ (4.1.82)

oder wegen (4.1.75)

$\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta,\varphi)=(-1)^m Y_{lm}^*(\vartheta,\varphi).$ (4.1.83)

Verwenden wir (4.1.73), folgt aus (4.1.82) sofort die alternative Darstellung der $ U_{lm}$, die man freilich auch direkt aus (4.1.80) durch Iteration, beginnend mit $ l=-m$ findet,

$\displaystyle U_{lm}(u)=(-1)^m U_{l,-m}(u)=\frac{(-1)^{l+m}}{2^l l!} \sqrt{\fra...
...ac{(l-m)!}{(l+m)!}} \sqrt{1-u^2}^{\,m} \frac{\dd^{l+m}}{\dd u^{l+m}} (1-u^2)^l.$ (4.1.84)

Weiter ergibt sich der folgende Zusammenhang unserer Kugelflächenfunktionen mit den Legendre-Polynomen. Für $ m=0$ ist

$\displaystyle U_{l,m=0}(u)=\frac{(-1)^l}{2^l l!} \sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi}} \frac{\dd^l}{\dd u^l}(1-u^2)^l:=\sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi}} P_l(u).$ (4.1.85)

Dabei sind die Legendreschen Polynome durch

$\displaystyle P_l(u)=\frac{1}{2^l l!} \frac{\dd^l}{\dd u^l}(u^2-1)^l$ (4.1.86)

definiert. Aus der Orthonormiertheit der Kugelflächenfunktionen folgt sofort, daß die $ P_l$ ein Orthonormalsystem des Hilbertraums $ L^2([-1,1])$ bilden. Da die Kugelflächenfunktionen orthonormiert sind, gilt entsprechend für die Legendrepolynome

$\displaystyle \int_{-1}^{1} \dd u P_{l_1}(u) P_{l_2}(u)=\frac{2}{2l_1+1} \delta_{l_1 l_2}.$ (4.1.87)

Die zugeordneten Legendre-Funktionen ergeben sich dann für $ 0
\leq m \leq l$ durch Differentiation der Legendrepolynome gemäß (4.1.84) zu

$\displaystyle P_{lm}(x)=(-1)^m \sqrt{1-x^2}^{\,m} \frac{\dd^m}{\dd x^m} P_l(x),$ (4.1.88)

und für negative $ m$ aus der Beziehung

$\displaystyle P_{l,-m}(x)=(-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_{lm}(x).$ (4.1.89)

Für die $ U_{lm}$ gilt dann allgemein

$\displaystyle U_{lm}(u)=\sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_{lm}(u).$ (4.1.90)

Aus (4.1.77) ergibt sich dann die (4.1.87) Orthogonalitätsbeziehung

$\displaystyle \int_{-1}^{1} \dd x P_{l_1 m}(x) P_{l_2 m}(x)=\frac{2}{2l_1+1} \frac{(l_1+m)!}{(l_1-m)!} \delta_{l_1 l_2}.$ (4.1.91)




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