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Schwerpunkts- und Relativkoordinaten

Wir betrachten die gemeinsame Bewegung eines Elektrons und eines Atomkerns mit der Kernladungszahl $ Z$, die wir hier beide zu spinlosen geladenen Punktteilchen vereinfachen. Für die Wechselwirkung nehmen wir ein einfaches Coulombpotential an, vernachlässigen also auch die Retardierung der Wechselwirkung, welche allerdings auch ein relativistischer Effekt ist. Wir kommen auf die Rechtfertigung dieser Annahme weiter unten noch kurz zurück. Bezeichnen wir die Observablen des Elektrons mit dem Index $ 1$, die des Kerns mit Index $ 2$, so ergibt sich der Hamiltonoperator

$\displaystyle \op{H}_{12}=\frac{\vec{\op{p}}_1^2}{2m_1} + \frac{\vec{\op{p}}_2^2}{2m_2} + V(\vert\vec{\op{x}}_1 - \vec{\op{x}}_2\vert).$ (4.2.1)

Für unser Coulombproblem ist

$\displaystyle V(\vert\vec{\op{x}}_1-\vec{\op{x}}_2\vert)=-\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 \vert\vec{\op{x}}_1-\vec{\op{x}}_2\vert},$ (4.2.2)

wobei wir uns der SI-Einheiten für die elektromagnetischen Größen bedient haben. Es ist klar, daß die Orts- und Impulsoperatoren für die verschiedenen Teilchen miteinander vertauschen. Insgesamt haben wir also die folgende Operatorenalgebra vorliegen

$\displaystyle \comm{\op{x}_{ij}}{\op{x}_{i'j'}}=\comm{\op{p}_{ij}}{\op{p}_{i'j'}}=0, \quad \comm{\op{x}_{ij}}{\op{p}_{i'j'}}=\ii \hbar \delta_{ii'} \delta_{jj'}.$ (4.2.3)

Dabei bezieht sich der erste Index $ i,i' \in \{1,2\}$ auf das Teilchen, während der zweite $ j,j' \in \{1,2,3\}$ die Orts- bzw. Impulskomponenten durchnumeriert.

In Analogie zum klassischen Fall erwarten wir, daß der Gesamt- bzw. Schwerpunktsimpuls

$\displaystyle \vec{\op{P}}=\vec{\op{p}}_1 + \vec{\op{p}}_2$ (4.2.4)

mit $ \op{H}$ kommutiert, also eine Erhaltungsgröße ist. Um dies zu zeigen, führen wir als übrige unabhängige Variablen noch Schwerpunkts- und Relativkoordinaten sowie den Relativimpuls ein:

$\displaystyle \vec{\op{X}} = \frac{m_1 \vec{\op{x}}_1 + m_2 \vec{\op{x}}_2}{M},...
...{\op{x}_2}, \quad \vec{\op{p}}=\frac{m_2 \vec{\op{p}}_1-m_1 \vec{\op{p}}_2}{M}.$ (4.2.5)

Dabei ist $ M=m_1+m_2$. Die Einteilchenimpulsoperatoren ergeben sich umgekehrt nach einigen einfachen algebraischen Umformungen zu

$\displaystyle \vec{\op{p}}_1=\frac{m_1}{M} \vec{\op{P}} + \vec{\op{p}}, \quad \vec{\op{p}}_2=\frac{m_2}{M} \vec{\op{P}} - \vec{\op{p}}.$ (4.2.6)

Dies in den Hamiltonoperator (4.2.1) eingesetzt führt schließlich auf

$\displaystyle \op{H}_{12}=\frac{1}{2M} \vec{\op{P}}^2 + \frac{1}{2 \mu} \vec{\op{p}}^2 + V(\op{r})$   mit$\displaystyle \quad \mu=\frac{m_1 m_2}{M}, \quad \op{r}=\vert\vec{\op{x}}\vert.$ (4.2.7)

Weiter läßt sich aus den Kommutatorrelationen (4.2.3) sofort nachrechnen, daß

$\displaystyle \comm{\op{P}_j}{\op{p}_k}=\comm{\op{P}_j}{\op{x}_j}=0,$ (4.2.8)

Als vollständigen Satz kommutierender Observabler können wir also die drei Schwerpunktsimpulskomponenten $ \vec{\op{P}}$, den Hamiltonoperator der Relativbewegung

$\displaystyle \op{H}=\frac{1}{2 \mu} \vec{\op{p}}^2+V(\op{r})$ (4.2.9)

das Relativbahndrehimpulsbetragsquadrat $ \vec{\op{L}}^2=(\vec{\op{x}}
\times \vec{\op{p}})^2$ und dessen $ z$-Komponente $ \op{L}_z$ verwenden. Da weiter diese drei auf die Relativbewegung bezogenen Observablen auch mit dem Hamiltonoperator der freien Schwerpunktsbewegung, also

T$\displaystyle _{\text{cm}}=\frac{1}{2M} \vec{\op{P}}^2,$ (4.2.10)

kann man die Energieeigenfunktionen separieren gemäß

$\displaystyle \ket{\vec{P},E,l,m}=\ket{\vec{P}} \otimes \ket{E,l,m}.$ (4.2.11)

Das Eigenwertproblem für $ \vec{P}$ entspricht einfach der Impulseigenbasis, welche gleichzeitig die Energieeigenbasis des freien Teilchens bildet, also der Schwerpunktsbewegung des Zweiteilchensystems als ganzem.

Die Relativbewegung entspricht der Bewegung eines Teilchen mit der reduzierten Masse $ \mu$ im Zentralpotential $ V(\op{r})$. Wir betrachten nun den Fall ,,wasserstoffartiger`` Systeme, wo dieses Potential durch ein attraktives Coulombpotential gegeben ist:

$\displaystyle V(\op{r})=-\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 \op{r}},$ (4.2.12)

wobei wir uns einen Kern der Ladungszahl $ Z$ vorstellen, um den sich ein Elektron bewegt. Bequemer als die hier verwendeten SI-Einheiten ist die Einführung der dimensionslosen Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante, die durch

$\displaystyle \alpha=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c} \simeq \frac{1}{137.036}$ (4.2.13)

gegeben ist4.4. Auf die physikalische Bedeutung dieser dimensionslosen Konstanten kommen wir später noch zu sprechen.

Es bleibt uns also, das simultane Eigenwertproblem für drei Observablen der Relativbewegung zu lösen, dessen Hamiltonoperator

$\displaystyle \op{H}=\frac{1}{2 \mu} \vec{p}^{\,2} -\frac{Z \alpha \hbar c}{\op{r}}$ (4.2.14)

lautet. Es ist nun am bequemsten, in der Ortsdarstellung weiterzuarbeiten. Die natürliche Wahl sind weiter aufgrund der Rotationssymmetrie Kugelkoordinaten. Wir suchen also die simultanen Eigenfunktionen der Operatoren $ \op{H}_{\text{rel}}$, $ \vec{\op{L}}^2$ und $ \op{L}_z$. Dazu schreiben wir zunächst die zeitunabhängige Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten an

$\displaystyle \op{H} \psi(\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \Delta \psi(\vec{x}) - \frac{Z \alpha \hbar c}{r} \psi(\vec{x})=E \psi(\vec{x}).$ (4.2.15)

Drücken wir den Laplaceoperator nun in Kugelkoordinaten aus und vergleichen mit (4.1.51), können wir diese Gleichung in die Form

\begin{displaymath}\begin{split}\op{H} \psi(r,\vartheta,\varphi) &= -\frac{\hbar...
...phi) \\ \stackrel{!}{=} E \psi(r,\vartheta,\varphi) \end{split}\end{displaymath} (4.2.16)

bringen. Das simultane Eigenwertproblem für $ \vec{\op{L}^2}:=\op{L}^2$ und $ \op{L}_z$ haben wir in Abschnitt 4.1 gelöst. Demnach muß sich die simultane Eigenfunktion für $ \op{H}$, $ \op{L}^2$ und $ \op{L}_z$ in der Form

$\displaystyle \psi_{Elm}(r,\vartheta,\varphi) = \frac{1}{r} R_{El}(r) \mathrm{Y}_{lm}(\vartheta,\varphi)$ (4.2.17)

schreiben lassen. Dabei sind die $ \mathrm{Y}_{lm}$ die in Abschnitt 4.1 ausführlich besprochenen Kugelflächenfunktionen (s. auch [CH10]). Wegen

$\displaystyle \op{L}^2 \psi_{E l}(r,\vartheta,\varphi)= \hbar^2 l(l+1) \psi_{El}(r,\vartheta,\varphi)$ (4.2.18)

ergibt sich für die Radialwellenfunktion die Gleichung

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2 \mu} R_{El}''(r) + \left [\frac{l(l+1) \hbar^2}{2 \mu r^2} -\frac{Z \alpha \hbar c}{r} \right ] R_{El}(r) = E R_{El}(r).$ (4.2.19)

Diese Gleichung ist offenbar die Schrödingergleichung für die eindimensionale Bewegung im effektiven Potential

$\displaystyle V_{\text{eff}}(r) = \frac{l(l+1)\hbar^2}{2 \mu r^2} -\frac{Z \alpha \hbar c}{r}.$ (4.2.20)

Allerdings ist hierbei zu beachten, daß $ r$ auf $ r \geq 0$ eingeschränkt ist, und wir müssen daher zunächst Randbedingungen für die Radialwellenfunktion bei $ r=0$ finden. Dabei gilt es sicherzustellen, daß der Differentialoperator auf der linken Seite von (4.2.19) selbstadjungiert ist bzgl. des entsprechenden Skalarproduktes. Letzteres ergibt sich daraus, daß die Gesamtwellenfunktion (4.2.17) im $ \mathrm{L}^2(\R^3)$ liegt. Das Skalarprodukt für die Radialwellenfunktionen ist also

$\displaystyle \braket{R_1}{R_2}=\int_0^{\infty} \dd r R_1^*(r) R_2(r).$ (4.2.21)

damit der Differentialoperator $ (\dd/\dd r)^2$ selbstadjungiert ist, muß offenbar für alle Radialwellenfunktionen die Randbedingung

$\displaystyle R(0)=0$ (4.2.22)

gefordert werden.

Wir wollen nun die verbliebene Radialgleichung (4.2.19) lösen und beschränken uns in diesem Kapitel auf die gebundenen Zustände. Da das effektive Potential (4.2.20) für $ r
\rightarrow 0^+$ nach $ +\infty$ divergiert und für $ r \rightarrow
\infty$ gegen 0 strebt, erwarten wir gebundene Zustände für $ E \leq 0$ (vgl. Abb. 4.1).

Abbildung: Das effektive Radialpotential (4.2.20) für das Coulombproblem.
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{coulomb-veff}
Wir suchen also Lösungen für $ E<0$. Dazu führen wir zunächst die Wellenzahl

$\displaystyle k=\sqrt{\frac{-2 \mu E}{\hbar^2}}$ (4.2.23)

und die dimensionslose Radialkoordinate

$\displaystyle \xi=2 k r$ (4.2.24)

ein. Setzen wir dann $ R_{El}(r)=\chi_l(\xi)$ ergibt sich nach einigen einfachen Umformungen die Radialgleichung

$\displaystyle \left (\frac{\dd^2}{\dd \xi^2} - \frac{1}{4} + \frac{n}{\xi} - \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right ) \chi_l(\xi)=0$   mit$\displaystyle \quad n=Z \alpha \sqrt{-\frac{\mu c^2}{2 E}}.$ (4.2.25)

Um diese Gleichung zu lösen, befassen wir uns zunächst mit den Laguerre-Polynomen, die eng mit den Wellenfunktionen $ \chi_l$ zusammenhängen, wie wir gleich sehen werden.




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