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Laguerre-Polynome

Die Laguerre-Polynome sind ein System orthogonaler Polynome im Hilbertraum
$ \mathrm{L}^2(\R_{\geq 0},\exp(-x))$, auf dem das Skalarprodukt für zwei Funktionen $ f,g: \; \R_{\geq 0} \rightarrow \C$ durch

$\displaystyle \braket{f}{g}_{\mathrm{L}} =\int_0^{\infty} \dd x \; \exp(-x) f^*(x) g(x)$ (4.2.26)

definiert ist.

Wir führen die Laguerre-Polynome als Lösungen der Laguerreschen Differentialgleichung

$\displaystyle -x y''-(1-x) y'=k y$ (4.2.27)

ein. Dies können wir als Eigenwertproblem des Differentialoperators

$\displaystyle \op{L} f(x) =-x \frac{\dd^2}{\dd x^2} f(x) -(1-x) \frac{\dd}{\dd ...
...= - \exp x \frac{\dd}{\dd x} \left [x \exp(-x) \frac{\dd}{\dd x} f(x) \right ].$ (4.2.28)

lesen. Wir weisen nach, daß dieser Operator bzgl. des Skalarprodukts (4.2.26) selbstadjungiert ist. Durch zweimalige partielle Integration folgt nämlich für $ f,g \in
\mathrm{C}_0^{\infty}(\R_{\geq 0})$

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{f}{\op{L} g}_L&=\int_0^{\infty} \dd x \;...
...ight \}^* g(x) = \braket{\op{L} f}{g}_{\mathrm{L}}. \end{split}\end{displaymath} (4.2.29)

Da der Raum $ C_0^{\infty}(\R_{\geq 0})$ der beliebig oft differenzierbaren Funktionen, die schneller fallen als jede Potenz, dicht in $ \mathrm{L}^2(\R_{\geq 0},\exp(-x))$ liegt, ist der Operator (4.2.28) tatsächlich selbstadjungiert.

Folglich sind die Eigenwerte dieses Operators reell und die dazugehörigen Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten zueinander orthogonal. Seien nämlich $ u_k$ diese Eigenfunktionen, so gilt wegen der Selbstadjungiertheit von $ \op{L}$

$\displaystyle \braket{u_k}{\op{L} u_k}=\braket{u_k}{k u_k}=k \Vert u_k\Vert^2=\braket{\op{L} u_k}{u_k} = \braket{k u_k}{u_k}=k^* \Vert u_k\Vert^2,$ (4.2.30)

so daß wegen $ \Vert u_k\Vert \neq 0$ auf $ k=k^*$ (d.h. $ k \in \R$) geschlossen werden darf. Weiter gilt

$\displaystyle \braket{u_k}{\op{L} u_l} = \braket{u_k}{l u_l}=l \braket{u_k}{u_l} = \braket{\op{L}u_k}{u_l} = \braket{k u_k}{u_l}=k \braket{u_k}{u_l}$ (4.2.31)

bzw.

$\displaystyle (k-l) \braket{u_k}{u_l}=0.$ (4.2.32)

Falls $ k \neq l$ ist, muß also $ \braket{u_k}{u_l}=0$ sein, d.h. $ u_k$ und $ u_l$ sind für $ k \neq l$ zueinander orthogonal.

Wir zeigen nun, daß die Eigenwerte von $ \op{L}$ durch die ganzen nichtnegativen Zahlen gegeben und die Eigenfunktionen Polynome sind. Setzen wir einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz

$\displaystyle y(x)=x^{\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$ (4.2.33)

in die Eigenwertgleichung (4.2.27) ein, folgt nach Sortieren der Potenzen von $ x$ durch Koeffizientenvergleich die Rekursionsformel

$\displaystyle a_{n+1}=\frac{n-k}{(n+1)^2} a_n.$ (4.2.34)

Bricht diese Reihe nicht ab, ergibt sich für $ n \gg k$:

$\displaystyle a_{n+1} \asy_{n \gg k} \frac{1}{n+1} a_n,$ (4.2.35)

so daß für $ x \rightarrow
\infty$ das asymptotische Verhalten durch

$\displaystyle y(x) \asy_{x \rightarrow \infty} \exp x$ (4.2.36)

gegeben ist. Damit wäre aber $ y \notin \mathrm{L}^2(\R_{\geq
0},\exp(-x))$, scheidet also als Eigenfunktion aus. Wir müssen demnach durch geeignete Wahl von $ k$ dafür sorgen, daß die Reihe abbricht, d.h. für

$\displaystyle k \in \N_0.$ (4.2.37)

Die dazugehörige Eigenfunktion $ u_k$ des Differentialoperators $ \op{L}$ ist dann ein Polynom vom Grade $ k$. Wir können es mit (4.2.34) explizit ausrechnen, wobei wir noch die Normierung durch Wahl von $ a_0$ festlegen müssen. In der Physik ist die Wahl $ a_0=k!$ üblich. Damit sind die Laguerre-Polynome durch

$\displaystyle \mathrm{L}_k(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{k}{n} \frac{k!}{n!} x^n$ (4.2.38)

gegeben.

Mit Hilfe der Leibnizschen Produktformel

$\displaystyle \frac{\dd^n}{\dd x^n} [f(x) g(x)]=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \le...
...d^k f(x)}{\dd x^k} \right ] \left [\frac{\dd^{n-k} g(x)}{\dd x^{n-k}} \right ],$ (4.2.39)

findet man weiter

$\displaystyle \frac{\dd^k}{\dd x^k} \left[x^k \exp(-x) \right]=\exp(-x) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \binom{k}{n} \frac{k!}{n!} x^n,$ (4.2.40)

so daß die Rodrigues-Formel für die Laguerre-Polynome

$\displaystyle \mathrm{L}_k(x) = (\exp x) \frac{\dd^k}{\dd x^k} \left [x^k \exp(-x) \right ]$ (4.2.41)

lautet.

Mit ihrer Hilfe folgt für die Normierung der Laguerrepolynome

$\displaystyle \braket{\mathrm{L}_k}{\mathrm{L}_k}_{\mathrm{L}} = \int_0^{\infty...
...\exp x \left \{ \frac{\dd^k}{\dd x^k} \left [x^k \exp(-x) \right ] \right \}^2.$ (4.2.42)

Wir können dieses Integral $ k$-mal partiell integrieren. Denken wir uns jeweils die dabei auftretenden Ableitungen nach der Leibnizschen Produktregel ausgeführt, sehen wir, daß insgesamt jeweils ein Ausdruck der Form $ P(x) \exp(-x)$ übrigbleibt, wobei $ P(x)$ ein Polynom mit $ P(0)=0$ ist. Die vom Integral freien Terme verschwinden also jedesmal, so daß insgesamt

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{\mathrm{L}_k}{\mathrm{L}_k} &=\int_{0}^{...
...xp(-x) (-1)^k \frac{\dd^k}{\dd x^k} \mathrm{L}_k(x) \end{split}\end{displaymath} (4.2.43)

entsteht. Die Ableitung des Laguerrepolynoms ergibt sich leicht aus der expliziten Darstellung (4.2.38), wobei wir nur den Term für $ n=k$ berücksichtigen müssen:

$\displaystyle \frac{\dd^k}{\dd x^k} \mathrm{L}_k(x)=(-1)^k k!$ (4.2.44)

Dies liefert insgesamt

$\displaystyle \braket{\mathrm{L}_k}{\mathrm{L}_k} = k! \int_0^{\infty} \dd x \; x^k \exp(-x)=(k!)^2.$ (4.2.45)

Dabei haben wir das Integral mit Hilfe der partiellen Integration ausgewertet. Es gilt nämlich

$\displaystyle I_k:=\int_0^{\infty} x^k \exp(-x)=\int_0^{\infty} k x^{k-1} \exp(-x)=k I_{k-1}.$ (4.2.46)

Zusammen mit

$\displaystyle I_{0}=\int_0^{\infty} \exp(-x)=-\left. \exp(-x) \vphantom{\frac{1}{1}} \right \vert _0^{\infty} =1$ (4.2.47)

liefert dies vermittels vollständiger Induktion in der Tat

$\displaystyle I_k=k!$ (4.2.48)

Damit bilden wegen (4.2.45) die Funktionen

$\displaystyle \widetilde{\mathrm{L}}(x)=\frac{1}{k!} \mathrm{L}_k(x)$ (4.2.49)

ein VONS auf $ \mathrm{L}^2(\R_{\geq 0},\exp(-x))$. Oft werden auch diese Polynome als die Laguerre-Polynome definiert4.5.

Eine Rekursionsformel für die Laguerrepolynome erhalten wir mit Hilfe der Rodriguesformel (4.2.41), indem wir eine Ableitung mittels Produktregel ausführen:

\begin{displaymath}\begin{split}L_{k+1}(x)&=\exp x \frac{\dd^{k+1}}{\dd x^{k+1}}...
...x)-\exp x \frac{\dd^k}{\dd x^k} [x^{k+1} \exp(-x)]. \end{split}\end{displaymath} (4.2.50)

Im letzten Term auf der rechten Seite verwenden wir die Leibnizsche Produktformel

$\displaystyle \frac{\dd^k}{\dd x^k} [x^{k+1} \exp(-x)]=\frac{\dd^k}{\dd x^k} [x...
...{\dd^k}{\dd x^k} [x^k \exp(-x)]+k \frac{\dd^{k-1}}{\dd x^{k-1}} [x^k \exp(-x)].$ (4.2.51)

Dies in (4.2.50) eingesetzt ergibt

$\displaystyle L_{k+1}=(k+1-x) L_k(x) - k \exp x \frac{\dd^{k-1}}{\dd x^{k-1}} [x^k \exp(-x)].$ (4.2.52)

Für den zweiten Term auf der rechten Seite verwenden wir (4.2.50) für $ L_k$:

\begin{displaymath}\begin{split}&L_k(x)=k L_{k-1}(x)-\exp x \frac{\dd^{k-1}}{\dd...
...{\dd x^{k-1}} [x^k \exp(-x)] = L_k(x)-k L_{k-1}(x). \end{split}\end{displaymath} (4.2.53)

Dies wiederum in (4.2.52) substituiert liefert schlielich die gesuchte Rekursionsformel

$\displaystyle L_{k+1}(x)=(2k+1-x) L_k(x)-k^2 L_{k-1}(x),$ (4.2.54)

die sich mit den ,,Startpolynomen``

$\displaystyle L_0(x)=1, \quad L_1(x)=1-x$ (4.2.55)

zur numerischen Berechnung der Laguerrepolynome eignet.




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