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Die assoziierten Laguerre-Polynome

Wenden wir uns nun wieder den Wasserstoffwellenfunktionen $ \chi_l$ zu, für die die assoziierten Laguerre-Polynome wichtig sind.

Um letztere einzuführen, betrachten wir die Laguerresche Differentialgleichung (4.2.27) in der Form

$\displaystyle \xi \mathrm{L}_k''(\xi)+(1-\xi) \mathrm{L}_k'(\xi)+k \mathrm{L}_k(\xi)=0$ (4.2.56)

und leiten diese $ j$-mal ($ j \leq k$) nach $ \xi$ ab. Mit Hilfe der Leibnizschen Produktformel entsteht dann die verallgemeinerte Laguerresche Differentialgleichung

$\displaystyle \xi \mathrm{L}_k^{(j+2)}(\xi)+j \mathrm{L}_k^{(j+1)}(\xi)+(1-\xi) \mathrm{L}_{k}^{(j+1)}(\xi) - j \mathrm{L}_k^{(j)} + k \mathrm{L}_k^{(j)}=0.$ (4.2.57)

Dabei bedeutet

$\displaystyle \mathrm{L}_{k}^{(j)}(\xi)=\frac{\dd^j}{\dd \xi^j} \mathrm{L}_k(\xi)$   für$\displaystyle \quad j \in \{0,1,\ldots,k\}$ (4.2.58)

die $ j$-te Ableitung des Laguerre-Polynoms $ \mathrm{L}_k$. Es ist offensichtlich ein Polynom $ (k-j)$-ten Grades.

Sortieren wir (4.2.56) noch ein wenig um und schreiben die Gleichung als Eigenwertgleichung, erhalten wir

$\displaystyle \left [\xi \frac{\dd^2}{\dd \xi^2} +(j+1-\xi) \frac{\dd}{\dd \xi} \right ] \mathrm{L}_k^{(j)}(\xi)=(j-k) \mathrm{L}_k^{(j)}(\xi)$ (4.2.59)

Setzen wir hier nun $ k=i+j$, folgt

$\displaystyle \left [\xi \frac{\dd^2}{\dd \xi^2} +(j+1-\xi) \frac{\dd}{\dd \xi} \right ] \mathrm{L}_{i+j}^{(j)}=-i \mathrm{L}_{i+j}^{(j)}(\xi).$ (4.2.60)

Für vorgegebenes $ j$ ist $ \mathrm{L}_{i+j}^{(j)}$ ein Polynom $ i$-ten Grades.

Für das folgende ist eine andere Form dieser Funktionen bequemer zu handhaben. Dazu definieren wir die assoziierten Laguerre-Polynome mittels ihrer Rodrigues-Formel

$\displaystyle \mathrm{L}_{i}^{j}(\xi)=\xi^{-j} (\exp \xi) \frac{\dd^k}{\dd \xi^k} \left [\exp(-\xi) \xi^{i+j} \right ].$ (4.2.61)

Wir beweisen nun die Gleichung

$\displaystyle \mathrm{L}_{i+j}^{(j)}(\xi)=(-1)^j \frac{(i+j)!}{i!} \mathrm{L}_{i}^{j}(\xi).$ (4.2.62)

Dazu wenden wir die Leibnizsche Produktformel auf (4.2.61) an:

\begin{displaymath}\begin{split}\mathrm{L}_i^j(\xi)&=\xi^{-j} \exp \xi \sum_{n=0...
... (-1)^n \binom{i}{n} \frac{(i+j)!}{(n+j)!} \xi^{n}. \end{split}\end{displaymath} (4.2.63)

Andererseits haben wir wegen (4.2.38)

\begin{displaymath}\begin{split}\mathrm{L}_{i+j}^{(j)}(\xi)&=\frac{\dd^j}{\dd \x...
...^{i} (-1)^n \binom{i}{n} \frac{(i+j)!}{(n+j)!} x^n. \end{split}\end{displaymath} (4.2.64)

Der Vergleich dieser Gleichung mit (4.2.63) beweist also (4.2.62). Dabei haben wir wiederholt die Beziehungen

$\displaystyle \binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}=\binom{a}{a-b}$   für$\displaystyle \quad a \in \N_0, \quad b \in \{0,1,2,\ldots,a\}$ (4.2.65)

angewandt.

Nun zeigen wir mit Hilfe von (4.2.61), daß die assoziierten Laguerre-Polynome $ \mathrm{L}_i^{j}$ zu festem $ j$ ein Orthogonalsystem auf dem Hilbertraum $ \mathrm{L}^2(\R,\xi^j
\exp(-\xi))$ bilden. Das Skalarprodukt auf diesem Raum ist durch

$\displaystyle \braket{f}{g}_{\mathrm{L},j}:=\int_0^{\infty} \dd \xi \; \xi^j \exp(-\xi) f^*(\xi) g(\xi)$ (4.2.66)

definiert. Zum Nachweis der Orthogonalität zeigen wir, daß der Differentialoperator auf der linken Seite von (4.2.60) auf diesem Hilbertraum selbstadjungiert ist. Dazu schreiben wir ihn in der Form

$\displaystyle \mathcal{L}_j f(\xi):=\left [\xi \frac{\dd^2}{\dd \xi^2}+(j+1-\xi...
...ac{\dd}{\dd \xi} \left[\xi^{j+1} \exp(-\xi) \frac{\dd}{\dd \xi} f(\xi) \right].$ (4.2.67)

Die Selbstadjungiertheit ergibt sich mittels zweimaliger partieller Integration vermöge

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{f}{\mathcal{L}_j g}_{\mathrm{L},j} &= \i...
...}_j f(\xi)]^* g(\xi) = \braket{\mathcal{L}_j f}{g}. \end{split}\end{displaymath} (4.2.68)

Damit gilt

$\displaystyle \braket{\mathrm{L}_i^j}{\mathrm{L}_{i'}^{j}}_{\mathrm{L},j} = N_{ij} \delta_{ii'},$ (4.2.69)

denn $ \mathrm{L}_i^{j}$ ist Eigenfunktion des selbstadjungierten Differentialoperators $ \mathcal{L}_j$.

Zur Berechnung des Normierungsintegrals $ N_{ij}$ verwenden wir die Rodriguesformel (4.2.61) und integrieren $ i$-mal partiell

\begin{displaymath}\begin{split}N_{ij}&=\braket{\mathrm{L}_i^j}{\mathrm{L}_i^j}_...
...^{i+j} \frac{\dd^i}{\dd \xi^i} \mathrm{L}_i^j(\xi). \end{split}\end{displaymath} (4.2.70)

Mit (4.2.63) erhalten wir unter Verwendung von (4.2.46-4.2.48)

$\displaystyle N_{ij}=\int_0^{\infty} \dd \xi \exp(-\xi) \xi^{i+j} i!=i!(i+j)!$ (4.2.71)

Ein Orthonormalsystem von Polynomen auf $ \mathrm{L}^2(\R_{>0},\xi^j \exp(-\xi))$ ist demnach durch

$\displaystyle \tilde{\mathrm{L}}_{i}^{j}(\xi)=\sqrt{\frac{1}{i!(i+j)!}} \mathrm{L}_{i}^{j}(\xi)$ (4.2.72)

gegeben.

Eine für die numerische Rechnung geeignete Rekursionsformel läßt sich auf exakt die gleiche Weise herleiten wie die entsprechende Formel für die Laguerre-Polynome (4.2.54). Das Resultat lautet

\begin{displaymath}\begin{split}\mathrm{L}_{i+1}^j(\xi)&=(2i+j+1-x) \mathrm{L}_i...
...{L}_0^j(\xi)&=1, \quad \mathrm{L}_1^j(\xi)=j+1-\xi. \end{split}\end{displaymath} (4.2.73)

Dabei haben wir die ,,Startpolynome`` $ \mathrm{L}_0^j$ und $ \mathrm{L}_1^j$ durch Anwendung der Rodriguesformel (4.2.61) berechnet.

Es ist klar, daß $ \mathrm{L}_i^0(\xi)=\mathrm{L}_i(\xi)$ ist und alle Formeln für $ j=0$ in die entsprechenden Formeln für die Laguerre-Polynome übergehen.




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