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Die Wasserstoffradialwellenfunktionen

Nun sind wir bestens gewappnet, um die Radialgleichung des Wasserstoffproblems (4.2.25) zu lösen. Dazu betrachten wir zunächst das asymptotische Verhalten für $ \xi \rightarrow
0^+$. Dann kann man alle Terme außer dem Zentrifugalterm in (4.2.25) vernachlässigen:

$\displaystyle \left(\frac{\dd^2}{\dd \xi^2} - \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \chi_l(\xi) \asy_{\xi \rightarrow 0^+} 0.$ (4.2.74)

Diese Gleichung hat offenbar zwei linear unabhängige Lösungen der Gestalt $ \chi_l(\xi)=A \chi^{\lambda}$ mit $ \lambda=-l$ oder $ \lambda=l+1$. Die erstere scheidet wegen der Randbedingung (4.2.22) für die Radialwellenfunktion aus, d.h. wir haben

$\displaystyle \chi_l(\xi) \asy_{\xi \rightarrow 0^+} A \xi^{l+1}.$ (4.2.75)

Für $ \xi \rightarrow \infty$ können wir in (4.2.25) sowohl das Coulomb- als auch das Zentrifugalpotential vernachlässigen, d.h. es gilt

$\displaystyle \frac{\dd^2}{\dd \xi^2} \chi_l(\xi) \asy_{\xi \rightarrow \infty} \frac{1}{4} \chi_l(\xi).$ (4.2.76)

Die beiden linear unabhängigen Lösungen dieser Gleichung lauten $ \chi_l(\xi)= A \exp(\pm \xi/2)$, von denen nur die mit dem negativen Vorzeichen im Exponenten akzeptabel ist, da die Radialwellenfunktion für gebundene Zustände normierbar sein soll, d.h.

$\displaystyle \chi_l(\xi) \asy_{\xi \rightarrow \infty} A \exp \left(-\frac{\xi}{2} \right).$ (4.2.77)

Aus dem asymptotischen Verhalten (4.2.75) und (4.2.77) an den Randbereichen des Definitionsbereiches bzw. den singulären Punkten der Differentialgleichung (4.2.25) für $ \xi$ ergibt sich der folgende Ansatz für die Radialwellenfunktion:

$\displaystyle \chi_l(\xi)=A \xi^{l+1} \exp \left (-\frac{\xi}{2} \right) L(\xi),$ (4.2.78)

wobei $ L$ eine analytische Funktion mit $ L(0) \neq 0$ sein muß. Setzt man diesen Ansatz in (4.2.25) ein, erhält man nach einigen Umformungen

$\displaystyle \xi \frac{\dd^2}{\dd \xi^2} L(\xi) + (2l+2-\xi) \frac{\dd}{\dd \xi} L(\xi) =\left(l+1-n \right) L(\xi)=0.$ (4.2.79)

Dies ist eine modifizierte Laguerrsche Differentialgleichung der Form (4.2.60) mit $ j=2l+1 \in \N$ und $ i=n-l-1$. Die in Abschnitt 4.2.3 behandelten assoziierten Laguerre-Polynome (4.2.61) sind Lösungen, falls $ n-l-1 \in
\N_0$ liegt.

Wegen (4.2.25) bedeutet das, daß die Energieeigenwerte durch

$\displaystyle E_n=-\frac{Z^2 \alpha^2 \mu c^2}{2} \frac{1}{n^2}$   mit$\displaystyle \quad n \in \N$ (4.2.80)

und die dazugehörigen Eigenfunktionen durch

$\displaystyle L(\xi)=\mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}(\xi)$ (4.2.81)

gegeben sind. Analog wie wir es bei den Laguerre-Polyonomen in (4.2.33)-(4.2.36) gezeigt haben, ergibt auch eine Untersuchung des asymptotischen Verhaltens von (4.2.79) für Werte $ n-l-1 \neq \N_0$, daß $ L(\xi) \asy_{\xi \rightarrow \infty} \exp \xi$ ist. Diese Lösungen scheiden aus, weil dann (4.2.78) keine auf $ \R^+$ quadratintegrable Funktion ist. Damit ergibt also (4.2.80) sämtliche negativen Energieeigenwerte.

Sammeln wir unsere Ansätze (4.2.17), (4.2.78) und das Ergebnis (4.2.81) für die Radialfunktion zusammen, erhalten wir schließlich die dazugehörigen Eigenfunktionen zu vorgegebener Drehimpulsquantenzahl $ l \in \N_0$, Magnetquantenzahl $ m \in \{-l,-l+1,\ldots,l-1,l\}$ und Hauptquantenzahl $ n \in
\{l+1,l+2,\ldots \}$

$\displaystyle u_{nlm}(r,\vartheta,\varphi)=\frac{N_{nlm}}{r} (2kr)^{l+1} \mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}(2kr) \exp(-k r) \mathrm{Y}_{lm}(\vartheta,\varphi).$ (4.2.82)

Dabei ist $ k$ in (4.2.23) angegeben.

Nun hängt der Energieeigenwert $ E_n$ nur von der Hauptquantenzahl $ n$ und nicht von der Drehimpulsquantenzahl $ l$ ab. Dies deutet auf eine dynamische Symmetrie des Coulombproblems hin, die über die reine Rotationssymmetrie eines Zentralkraftproblems hinausgeht, worauf wir hier aber nicht genauer eingehen wollen (s. z.B. [Pau26]).

Zu jedem Energieeigenwert $ E_n$, also vorgegebenem $ n \in \N$, kann also $ l \in \{0,1,\ldots n-1 \}$ sein, und zu jedem dieser $ l$ gibt es die $ 2l+1$ Zustände zu $ m \in \{\pm l,\pm(l-1),\ldots,0\}$. Wir haben also zu jedem Energieeigenwert $ E_n$ insgesamt

$\displaystyle \sum_{l=0}^{n-1} (2l+1)=n^2$ (4.2.83)

zueinander orthogonale Eigenlösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung (4.2.15). Man sagt, der Eigenwert $ E_n$ sei $ n^2$-fach entartet.

Da der Hamiltonoperator (4.2.15) selbstadjungiert auf $ \mathrm{L}^2(\R^3)$ ist, sind die Wellenfunktionen zu verschiedenen Quantenzahlen $ n$, $ l$ und $ m$ zueinander orthogonal, d.h. es gilt nach Normierung

$\displaystyle \braket{u_{nlm}}{u_{n'l'm'}} = \int_0^{\infty} \dd r \int_{S_2} \...
... u_{nlm}^*(\vec{r}) u_{n'l'm'}(\vec{r})=\delta_{nn'} \delta_{ll'} \delta_{mm'}.$ (4.2.84)

Dabei bezeichnen $ S_2$ die Einheitssphäre im $ \R^3$ und $ \dd \Omega=\dd
\vartheta \, \dd \varphi \, \sin \vartheta$ deren Flächenelement in Kugelkoordinaten.

Da die Kugelflächenfunktionen auf $ \mathrm{L}^2(S_2)$ per constructionem ein Orthonormalsystem bilden (vgl. Abschnitt 4.1), ergibt sich das Normierungsintegral von (4.2.84) zu

$\displaystyle \braket{u_{nlm}}{u_{nlm}}=\vert N_{nlm}\vert^2 \int_0^{\infty} \d...
... \exp(-2 kr) \left [\mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}(2kr) \right ]^2 \stackrel{!}{=}1.$ (4.2.85)

Substituieren wir wieder $ \xi=2 k r$, entsteht

$\displaystyle \braket{u_{nlm}}{u_{nlm}} = \vert N_{nlm}\vert^2 \frac{1}{2 k} \i...
...xi \; \xi^{2(l+1)} \exp(-\xi) \left [\mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}(\xi) \right ]^2.$ (4.2.86)

Zur Auswertung des Integrals schreiben wir

$\displaystyle \vert N_{nlm}\vert^2 \frac{1}{2k} \int_0^{\infty}\dd \xi \; \xi^{...
...ket{\mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}}{\xi \mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}}_{\mathrm{L},2l+1}$ (4.2.87)

mit dem Skalarprodukt (4.2.66), bzgl. dessen die $ \mathrm{L}_i^{2l+1}$ orthogonal sind. Die Rekursionsformel (4.2.73) liefert

$\displaystyle \xi \mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}(\xi)=2 n \mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}(\xi) - (n-l-1)(n+l) \mathrm{L}_{n-l-2}^{2l+1}(\xi)-\mathrm{L}_{n-l}^{2l+1}(\xi),$ (4.2.88)

und unter Ausnutzung der Orthogonalität der assoziierten Laguerrepolynome finden wir schließlich mit (4.2.71)

\begin{displaymath}\begin{split}& \vert N_{nlm}\vert^2 \frac{1}{2k} 2n \braket{\...
...row \\ & N_{nlm}=\sqrt{\frac{k}{n (n-l-1)!(n+l)!}}. \end{split}\end{displaymath} (4.2.89)

Dies in (4.2.82) eingesetzt ergibt nach einigen Umformungen schließlich für die normierten Energieeigenfunktionen

$\displaystyle u_{nlm}(r,\vartheta,\varphi)=\sqrt{\frac{4k^3}{n(n+l)!(n-l-1)!}} (2 k r)^l \mathrm{L}_{n-l-1}^{2l+1}(2 k r) \mathrm{Y}_{lm}(\vartheta,\varphi).$ (4.2.90)

Das Schrödinger-Coulomb-Eigenwertproblem besitzt noch Lösungen für $ E
\in \R_{\geq 0}$. Dies entspricht der Streuung eines Teilchens an einem Coulombpotential. Wir gehen auf diese Lösungen im nächsten Abschnitt ein.




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