Basisunabhängige Formulierung der Quantentheorie

Wir wollen in diesem Abschnitt unsere eben gewonnenen Erfahrungen mit der einfachen Wellenlösung der Schrödingergleichung nutzen, um die Physik der Schrödingergleichung zu präzisieren und auf Teilchen in äußeren Potentialfeldern zu erweitern.

Zunächst bemerken wir, daß die oben mehr heuristisch gefundene Methode zur Gewinnung von Lösungen der freien Schrödingergleichung eine sehr einfache mathematische Erklärung besitzt. Betrachten wir einmal für einen Moment die Lösung dieser Gleichung als rein mathematische Aufgabe, d.h. wir fragen uns, welche Eigenschaften die Lösungen dieser Gleichung bestimmen. Die Schrödingergleichung besitzt die Gestalt:

$$\i \hbar \partial_t \psi(t,\vec{x})= -\frac{\hbar^2 \Delta_x}{2 m} \psi(t,\vec{x}).$$ (2.1.1)

Aufgrund der Linearität dieser Gleichung bietet sich ein Ansatz in Form einer Fouriertransformierten an:

$$\psi(t,\vec{x})=\int_{\R^4} \frac{\d \omega \; \d^3\vec{k}}{(2 \pi)^2}{\tilde{\psi}}(\omega,\vec{k}) \exp(-\i \omega t+ \i \vec{k} \vec{x}).$$ (2.1.2)

Diesen Ansatz in die Gleichung eingesetzt ergibt eine rein algebraische Gleichung

$$\left ( \omega-\frac{\hbar \vec{k}^2}{2m} \right) \tilde{\psi}(\omega,\vec{k})=0.$$ (2.1.3)

Damit muß aber $\tilde{\psi}$ zu einer Diracschen $\delta$ -Distribution proportional sein, die das Verschwinden der Klammer auf der rechten Seite sicherstellt:

$$\tilde{\psi}(\omega,\vec{k})=\sqrt{2 \pi}A(\vec{k}) \delta \left (\omega-\frac{\hbar \vec{k}^2}{2m} \right),$$ (2.1.4)

wobei $A$ eine beliebige Funktion des Wellenvektors $\vec{k}$ sein darf^2.1. Wir werden durch Resubstitution dieser allgemeinen Lösung in (2.1.2) wieder auf unser schon heuristisch gefundenes Resultat (1.2.7) geführt:

$$\psi(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \frac{\d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^{3/2}} A(\vec{k}) \exp \left(-\i \frac{\hbar \vec{k}^2}{2m} t +\i \vec{k} \vec{x} \right)$$ (2.1.5)

geführt. Wir erkennen, daß die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung eine willkürliche Funktion $A(\vec{k})$ enthält. Diese Funktion hatten wir oben als Gaußpaket gewählt, um ein Beispiel vor Augen zu haben. Hier wollen wir nun die physikalische Bedeutung dieser Funktion näher untersuchen.

Die Schrödingergleichung beschreibt offenbar, ganz unabhängig von der Interpretation der Wellenfunktion selber, einen dynamischen Prozeß in Raum und Zeit. Die Lösungen haben nämlich gemäß (2.1.5) Wellencharakter, beschreiben also einen Bewegungsvorgang. Hier haben wir es mit freien Wellen zu tun, also solchen, die keine Quelle besitzen. Wie wir aus der Elektrodynamik oder der Vorstellung von Wasserwellen her wissen, besitzen solche Gleichungen stets die Freiheit der Wahl der Anfangsbedingungen. Die spezifische Situation der Wellenerscheinung wird durch diese Anfangsbedingungen determiniert, und diese Anfangsbedingungen sind durch die Erregung der Wellen zu einem früheren Zeitpunkt bestimmt. Damit beschreibt die Schrödingergleichung einen kausalen Vorgang: Aus der ,,Wellenerregung`` am Anfang der Ausbreitung derselben läßt sich der gesamte Vorgang nach Beendigung der Erregung vollständig aus der Bewegungsgleichung (hier also der Schrödingergleichung) berechnen.

Kehren wir wieder zur mathematischen Analyse der Schrödingergleichung zurück. Die Freiheit der Wahl der Anfangsbedingung ist bei unserem Zugang zur Beschreibung der Lösung durch eine Fouriertransformation (2.1.5) in der Willkür der Wahl der Wellenzahlverteilungsfunktion $A(\vec{k})$ versteckt. Diesem Mangel können wir aber sofort abhelfen, denn für $t=0$ gilt gemäß (2.1.5)^2.2:

$$\begin{split}\psi(0,\vec{x}) &= \int_{\R^3} \frac{\d^3 \vec{k... ...)^{3/2}} \psi(0,\vec{y}) \exp(-\i \vec{k} \vec{y}). \end{split}$$ (2.1.6)

Nun können wir aber auch ohne Umweg über den Wellenzahlbereich der Fouriertransformation die Zeitentwicklung angeben, indem wir dieses Resultat in (2.1.5) einsetzen:

$$\psi(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \frac{\d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^{3/2}} \i... ...xp \left[ -\i \frac{\hbar \vec{k}^2}{2m}t +\i \vec{k}(\vec{x}-\vec{y}) \right].$$ (2.1.7)

Könnten wir nun die Integration nach $\vec{k}$ mit der nach $\vec{y}$ vertauschen, könnten wir schreiben

$$\psi(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \d^3 \vec{y} \; U(t,\vec{x},\vec{y}) \psi(0,\vec{y}).$$ (2.1.8)

Das bedeutet, daß $\psi(t,\vec{x})$ sich durch eine lineare Abbildung aus der willkürlich vorzugebenden Anfangsbedingung $\psi(0,\vec{y})$ berechnen läßt. Nun zeigt aber der Grenzfall $t \rightarrow 0$ schon, daß $U$ keine gewöhnliche Funktion sein kann. Denn dann muß sich ja auf der rechten Seite $\psi(0,\vec{x})$ ergeben, und zwar für alle Funktionen $\psi(0,\vec{x})$ , die nach $\vec{x}$ quadratintegrierbar sind (und die folglich auf $1$ gemäß der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation normiert werden können), denn mehr brauchen wir physikalisch von dem Anfangszustand $\psi(0,\vec{x})$ nicht zu fordern. Das bedeutet aber, daß in diesem Grenzfall

$$\wlim_{t \rightarrow 0^+} U(t,\vec{x},\vec{y})=\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$$ (2.1.9)

gilt, wobei $\delta$ die Diracsche $\delta$ -Distribution ist. Wir haben der Genauigkeit halber auf der linken Seite den schwachen Limes (weak limit) geschrieben um zu kennzeichnen, daß die Limesbildung im Sinne der Distributionentheorie zu verstehen ist, d.h. erst nach Integration von $U(t,\vec{x},\vec{y}) \phi(\vec{y})$ mit $\phi$ aus einem geeigneten Testfunktionenraum über $\vec{y}$ kann ein gewöhnlicher Limes gebildet werden.

Es ist somit zu erwarten, daß auch für $t>0$ der Propagator $U(t,\vec{x},\vec{y})$ eine Distribution sein wird. Wir können nun aber durch Regularisierung dieser Distribution ihre konkrete Gestalt ausrechnen. Dazu nutzen wir die Tatsache, daß die hier auftretenden Distributionen als Grenzwerte komplexer Funktionen dargestellt werden können. Betrachten wir nämlich den durch naives Vertauschen der beiden Integrationen in (2.1.8) Ausdruck, erkennen wir, daß wir durch die Ersetzung $t \rightarrow t-\i \epsilon$ mit $\epsilon>0$ , wieder auf ein wohldefiniertes Gaußintegral zurückgeführt werden:

$$U(t,\vec{x},\vec{y})=\wlim_{\epsilon \rightarrow +0} \int_{\R^3} ... ...frac{\hbar \vec{k}^2}{2m}(\epsilon+\i t) + \i \vec{k}(\vec{x}-\vec{y}) \right].$$ (2.1.10)

Wir wenden wieder unsere Formel (1.2.14) an, und finden sofort

$$U(t,\vec{x},\vec{y}) = \left(\frac{m}{2 \pi \i \hbar t} \right)^{3/2} \exp \left[ \frac{\i m(\vec{x}-\vec{y})^2}{2 \hbar t} \right],$$ (2.1.11)

wobei die Problematik, auf welchem Riemannblatt die Wurzel für $\epsilon \rightarrow 0$ zu nehmen ist, hier irrelevant ist, weil sich die verschiedenen Möglichkeiten nur um einen von $t$ , $\vec{x}$ und $\vec{y}$ unabhängigen Faktor vom Betrag $1$ unterscheiden, und ein solcher ,,Phasenfaktor`` ist, wie wir im vorigen Abschnitt schon gesehen haben, unerheblich für den physikalischen Gehalt der Wellenfunktion.

Jetzt können wir aber die allgemeine mathematische Struktur, die hinter der Schrödingergleichung steckt, klar erkennen: Da die Gleichung linear ist, bilden alle Lösungen zusammen einen komplexen linearen Raum (Vektorraum mit $C$ als Skalarkörper). Damit die Bornsche Interpretation der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsamplitude sinnvoll ist, muß eine physikalisch sinnvolle Wellenfunktion weiter quadratintegrierbar sein, d.h. eine physikalische Wellenfunktion $\psi(t,\vec{x})$ muß nicht nur der Schrödingergleichung genügen, sondern es muß auch das Normierungsintegral $\int_{\R^3} \d^3\vec{x} \; \psi^*(t,\vec{x})\psi(t,x)$ existieren. Diese Funktionen^2.3 bilden einen Funktionenraum, den man als Hilbertschen Funktionenraum L$^2$ bezeichnet. Die Norm einer in diesem Raum gelegenen Funktion ist gerade durch das Normierungsintegral gegeben.

Allerdings besitzt dieser Raum noch eine viel weitergehende Struktur. Seien dazu $\psi$ und $\phi$ beides $\mathrm{L}^2$ -Funktionen. Dann existiert das Integral

$$\braket{\psi}{\phi}=\int_{\R^3} \d^3 \vec{x} \; \psi^*(\vec{x}) \phi(\vec{x}),$$ (2.1.12)

und die Klammer $\braket{\psi}{\phi}$ besitzt alle Eigenschaften einer positiv definiten Sesquilinearform, die den Funktionenraum zu einem Hilbertraum macht, also einem Vektorraum mit Skalarprodukt.

Wir erwähnen hier ohne Beweis, daß dieser Raum auch vollständig ist, d.h. jede Funktionenfolge, die bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm eine Cauchyfolge ist, besitzt einen in $\mathrm{L}^2$ gelegenen Grenzwert.

An diesem Resultat erkennen wir, daß die Aufgabe, die Dynamik eines Teilchens zu beschreiben, durch einen linearen Operator, der auf dem Raum der quadratintegrierbaren Ortsfunktionen wirkt, gegeben ist, den wir in Form des Integrals (2.1.8) geschrieben haben.

In den folgenden Abschnitten fassen wir die nunmehr grob skizzierte mathematische Struktur der Quantentheorie etwas ausführlicher zusammen. Wir stellen dazu der Einfachheit halber diese Struktur in Form von Grundpostulaten an die Spitze unserer Betrachtungen.