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Die quantenmechanische Formulierung des Streuvorgangs

Wir betrachten im folgenden zunächst den einfachsten Fall einer elastischen Zweiteilchenstreuung unterscheidbarer Teilchen, d.h. wir nehmen an, es finden bei dem Stoß keine intrinsischen Anregungen der Stoßpartner statt. Vielmehr sollen nach dem Streuvorgang wieder dieselben Teilchen wie zu Beginn vorhanden sein. Der dazugehörige Hamiltonoperator ist dann durch (4.2.1) gegeben, und wir können das Streuproblem, wie in Abschnitt 4.2.1 beschrieben, auf die Streuung eines Quasiteilchens mit der reduzierten Masse $ \mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)$ an einem äußeren Potential zurückführen. Der dazugehörige Hamiltonoperator lautet

$\displaystyle \op{H}=\frac{\vec{\op{p}}^2}{2 \mu} + V(\vec{\op{r}})=:\op{H}_0 + \op{V}.$ (5.1.1)

Wir gehen, wie oben gesagt, davon aus, daß (in der Ortsdarstellung betrachtet) $ V(\vec{r})$ im Unendlichen schneller als $ \mathcal{O}(1/\vert\vec{r}\vert)$ abfällt. Dann dürfen wir annehmen, daß sich das Quasiteilchen zu einer Zeit $ t_{\i} \rightarrow -\infty$ sehr weit weg vom Streuzentrum befindet, d.h. daß sein Zustand $ \ket{\Phi_{\i},t}$ für $ t=t_i$5.1 in der Ortsdarstellung einer Wellenfunktion $ \Phi_{\i}(t_i,\vec{r})$ entspricht, welches nur außerhalb einer Kugel $ K_R$ merklich von 0 verschieden ist. Zugleich soll sein Impuls $ \vec{p}$ relativ scharf bestimmt sein, so daß sich das Teilchen auf das Streuzentrum zubewegt. Zufolge der Heisenbergschen Unschärferelation $ \Delta x_j \Delta p_j \geq \hbar/2$ ( $ j \in
\{1,2,3\}$) wird dieses Wellenpaket im Ortsraum eine relativ zur de Broglie-Wellenlänge $ 2 \pi \hbar/\vert\vec{p}\vert$ große Ausdehnung besitzen. Andererseits gehen wir davon aus, daß es auf einer makroskopischen Skala als wohl lokalisiert in großer Entfernung vom Streuzentrum $ \vec{r}=0$ befindlich angesehen werden kann. Wir sagen dazu im folgenden kurz, daß die räumliche Unschärfe mikroskopisch groß aber makroskopisch klein sei.

Bei der Konstruktion des Anfangszustandes stehen wir also vor einem etwas ungewöhnlichen Problem. Wir wollen nämlich ein Wellenpaket konstruieren, das anfangs (zur Zeit $ t_i$) in einem im obigen Sinne mikroskopisch großen, makroskopisch kleinen Raumgebiet konzentriert ist und sich sehr weit weg vom Ursprung des Koordinatensystems befindet, wo das Potential $ V(\vec{x})$ merklich von 0 verschieden ist. Es soll etwa bei $ t \simeq 0$ dort eintreffen. Da das Potential zu Beginn der Zeitentwicklung wegen des mangelnden Überlapps mit dem Wellenpaket kaum eine Rolle spielt, wird sich dann das Wellenpaket anfangs gemäß der freien Bewegung zeitlich entwickeln. Wir nennen ein solches Wellenpaket einen asymptotische freien Anfangszustand oder kurz in-Zustand. Im Impulsraum wird es also näherungsweise die asymptotische Gestalt

$\displaystyle \tilde{\psi}_i(\vec{p},t_i) = A_{\vec{p}_i}(\vec{p}) \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} E(\vec{p}) t_i \right )$   mit$\displaystyle \quad E(\vec{p})=\frac{\vec{p}^2}{2m}$ (5.1.2)

besitzen. Dabei ist $ A_{\vec{p}_i}$ eine scharf um $ \vec{p}=\vec{p}_i$ gepeakte Funktion.

Der nach dem Schrödingerbild zeitlich sich entwickelte exakte Streuzustand ist dann offenbar durch

$\displaystyle \ket{\psi,t}=\lim_{t_i \rightarrow -\infty} \int_{\R^3} \dd^3 \ve...
...ec{p},t_i) \exp \left [-\frac{\ii}{\hbar} (t-t_i) \op{H} \right ] \ket{\vec{p}}$ (5.1.3)

gegeben. Hierbei ist das größte mathematische Problem der Grenzübergang $ t_i \rightarrow -\infty$, der nicht ohne weiteres mit dem Integral vertauscht werden kann. Um dies zu bewerkstelligen, verwenden wir die allgemeine Formel

$\displaystyle \lim_{t_i \rightarrow -\infty} f(t_i)=\lim_{\eta \rightarrow 0^+}...
...int_{-\infty}^{0} \dd \tau f(\tau) \exp \left (\frac{\eta}{\hbar} \tau \right).$ (5.1.4)

Zu deren Beweis substituieren wir $ \tau'=\eta/\hbar \tau$. Dies führt in der Tat auf

$\displaystyle \int_{-\infty}^{0} \dd \tau' f \left (\frac{\hbar}{\eta} \tau' \r...
...htarrow 0^+}{\rightarrow} f(-\infty) \int_{-\infty}^0 \exp(\tau') = f(-\infty).$ (5.1.5)

Setzen wir (5.1.2) in (5.1.3) ein, können wir also unter Verwendung von (5.1.4)

$\displaystyle \ket{\psi,t}=\exp \left (-\frac{\ii}{\hbar} \op{H} t \right) \lim...
... [\frac{\ii}{\hbar}(\op{H}-E_{\vec{p}} - \ii \eta ) \tau \right ] \ket{\vec{p}}$ (5.1.6)

schreiben.

Führen wir die Integration bzgl. $ \tau$ aus und vertauschen im Sinne von Distributionen den Grenzübergang $ \eta \rightarrow 0^+$ mit der Integration über $ \vec{p}$, gelangen wir zu den stationären Streuzuständen

$\displaystyle \ket{\phi_{\vec{p}}^+} = \wlim_{\eta \rightarrow 0^+} \frac{\ii \eta}{E_{\vec{p}}-\op{H} + \ii \eta} \ket{\vec{p}}.$ (5.1.7)

Wir wollen zunächst zeigen, daß dies tatsächlich ein Eigenzustand des exakten Hamiltonoperators zum Eigenwert $ E_{\vec{p}}=\vec{p}^2/(2m)$ ist. Dazu verwenden wir, daß

$\displaystyle \op{H}_0 \ket{\vec{p}}=E_{\vec{p}} \ket{\vec{p}}$ (5.1.8)

und folglich

$\displaystyle \ii \eta \ket{\vec{p}}=(\op{H}_0-E_{\vec{p}}+\ii \eta) \ket{\vec{p}} = [(E_{\vec{p}} - \op{H} + \ii \eta) + \op{V}] \ket{\vec{p}}$ (5.1.9)

ist. Dies in (5.1.7) eingesetzt liefert

$\displaystyle \ket{\phi_{\vec{p}}^{+}} = \left ( \einsop + \frac{1}{(E_{\vec{p}}-\op{H}+\ii 0^+)} \op{V} \right) \ket{\vec{p}}.$ (5.1.10)

Wenden wir auf diese Gleichung den Operator $ E_{\vec{p}}-\op{H}+\ii 0^+$ an, erhalten wir

$\displaystyle (E_{\vec{p}}-\op{H}) \ket{\phi_{\vec{p}}^+} = (E_{\vec{p}}-\op{H}...
...\Rightarrow \op{H} \ket{\phi_{\vec{p}}^+} = E_{\vec{p}} \ket{\phi_{\vec{p}}^+},$ (5.1.11)

und das wollten wir zeigen.

Damit folgt aus (5.1.6) die formale Lösung des Streuproblems

$\displaystyle \ket{\psi,t}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} \; A_{\vec{p}_i}(\vec{p}) \exp \left (-\frac{\ii}{\hbar} E_{\vec{p}} t \right) \ket{\phi_{\vec{p}}^+}.$ (5.1.12)

Die Herleitung zeigt, daß die $ \ket{\phi_{\vec{p}}^+}$ diejenigen stationären Zustände bzgl. des exakten Hamiltonoperators sind, für die der Streuzustand (5.1.12) sich für $ t
\rightarrow -\infty$ sich asymptotisch wie ein Wellenpaket freier Teilchen mit dem Impuls $ \vec{p}_i$ bewegt.

Um nun den Streuvorgang zu charakterisieren, müssen wir diesen Zustand für große Zeiten $ t \rightarrow \infty$ untersuchen. Aus der physikalischen Situation erwarten wir, daß es sich dabei um die Superposition aus dem ursprünglichen mit Impuls $ \vec{p}_i$ einlaufenden Wellenpaket und einer kugelwellenartigen auslaufenden Streuwellenfront handeln muß. Um dies genauer zu untersuchen, stellen wir zunächst die Lippmann-Schwinger-Gleichung [LS50] für die stationären Streuzustände $ \ket{\phi_{\vec{p}}^{+}}$ auf. Dazu gehen wir zu (5.1.7) zurück und addieren zunächst $ (E_{\vec{p}}-\op{H}_0) \ket{\vec{p}}=0$

$\displaystyle \ket{\phi_{\vec{p}}^+} = \frac{1}{E_{\vec{p}}-\op{H}+\ii 0^+} \left ( \ii 0^+ + E_{\vec{p}}-\op{H}_0 \right) \ket{\vec{p}}.$ (5.1.13)

Dies lösen wir nach $ \ket{\vec{p}}$ auf

$\displaystyle \ket{\vec{p}}=\frac{1}{E_{\vec{p}} - \op{H}_0+\ii 0^+} \underbrac...
...\frac{1}{E_{\vec{p}}-\op{H}_0 + \ii 0^+} \op{V} \right) \ket{\phi_{\vec{p}}^+}.$ (5.1.14)

Die rechte Seite ausmultipliziert und die Formel etwas umgestellt liefert die besagte
Lippmann-Schwinger-Gleichung

$\displaystyle \ket{\phi_{\vec{p}}^+}=\ket{\vec{p}} + \frac{1}{E_{\vec{p}}-\op{H}_0 + \ii 0^+} \op{V} \ket{\phi_{\vec{p}}^{+}}.$ (5.1.15)

Für die folgenden Betrachtungen über die asymptotischen Eigenschaften der zeitabhängigen Lösung (5.1.12) ist es am zweckmäßigsten, in die Ortsdarstellung überzugehen. Dazu multiplizieren wir die Lippmann-Schwinger-Gleichung (5.1.15) von links mit mit $ \bra{\vec{x}}$ und schieben im zweiten Term auf der rechten Seite an geeigneter Stelle eine Eins in der Form $ \einsop=\int_{\R^3} \dd^3 \pvec{x}
\ketbra{\pvec{x}}{\pvec{x}}$ ein:

$\displaystyle \phi_{\vec{p}}^+(\vec{x})=\braket{\vec{x}}{\phi_{\vec{p}}^{+}} = ...
...{\vec{p}}-\op{H}_0 + \ii 0^+}}{\pvec{x}} V(\pvec{x}) \phi_{\vec{p}}^+(\vec{x}),$ (5.1.16)

wobei wir die Ortsdarstellung der Impulseigenfunktion mit

$\displaystyle u_{\vec{p}}(\vec{x})=\braket{\vec{x}}{\vec{p}}= \left ( \frac{1}{...
...hbar} \right )^{3/2} \exp \left(\frac{\ii}{\hbar} \vec{p} \cdot \vec{x} \right)$ (5.1.17)

bezeichnet haben.

Als nächstes rechnen wir den Integralkern

$\displaystyle G_{0,\vec{p}}^{+}(\vec{x}-\pvec{x})= \matrixe{\vec{x}}{\frac{1}{E_{\vec{p}}-\op{H}_0 + \ii 0^+}}{\pvec{x}}$ (5.1.18)

auf der rechten Seite aus. Wenden wir den Operator $ E_{\vec{p}}-\op{H}_0+\ii 0^+$ in der Ortsdaratellung an, erhalten wir

$\displaystyle \left (\frac{\hbar^2}{2 \mu} \Delta_{\vec{x}} + \frac{\vec{p}^2}{...
...} \right) G_{0,\vec{p}}^{+}(\vec{x}-\pvec{x}) = \delta^{(3)}(\vec{x}-\pvec{x}),$ (5.1.19)

d.h. $ G_{0,\vec{p}}^{+}$ ist bis auf Faktoren eine Green-Funktion der Helmholtz-Gleichung.

Schieben wir nun eine Eins in der Form $ \einsop=\int_{\R^3} \dd^3
\pvec{p} \ketbra{\pvec{p}}{\pvec{p}}$ in (5.1.18) ein, erhalten wir

$\displaystyle G_{0,\vec{p}}^{+}(\vec{x}-\pvec{x})=\int_{\R^3} \dd^3 \pvec{p} \m...
...}{\frac{1}{E_{\vec{p}}-\op{H}_0 + \ii 0^+}}{\pvec{p}} u_{\pvec{p}}^*(\pvec{x}).$ (5.1.20)

Wegen $ \op{H}_0=\vec{\op{p}}^2/(2 \mu)$ ist dies

$\displaystyle G_{0,\vec{p}}^+(\vec{x}-\pvec{x}) = \int_{\R^3} \frac{\dd^3 \pvec...
...p} \cdot (\vec{x}-\pvec{x}) \right] \frac{1}{E_{\vec{p}}-E_{\pvec{p}}+\ii 0^+}.$ (5.1.21)

Um dieses Fourier-Integral zu berechnen, ist es bequem, die Substitutionen $ \vec{p}=\hbar \vec{k}$ und $ \pvec{p}=\hbar \pvec{k}$ vorzunehmen. Weiter führen wir die Abkürzung $ \vec{r}=\vec{x}-\pvec{x}$ ein. Zur Integration führen wir Kugelkoordinaten mit der Richtung von $ \vec{r}$ als Polarachse und $ u=\cos \vartheta$ ein. Dann wird der Integrand unabhängig vom Azimuthwinkel $ \varphi$, und wir erhalten

$\displaystyle G_{0,\vec{p}}^+(\vec{r})=\frac{2 \mu}{(2 \pi \hbar)^2} \int_0^{\i...
...k' \; k'{}^2 \int_{-1}^{1} \dd u \, \frac{\exp(\ii k'r u)}{k^2-k'{}^2+\ii 0^+}.$ (5.1.22)

Das Integral über $ u$ läßt sich unmittelbar ausführen. Da der entstehende Integrand eine gerade Funktion in $ k'$ wird, können wir zu einer Integration über $ k' \in \R$ übergehen und im Summanden $ \propto
\exp(-\ii k' r)$ das Vorzeichen der Integrationsvariable wechseln. Damit erhalten wir

$\displaystyle G_{0,\pvec{p}}^+(\vec{r})=-\frac{2m}{(2 \pi \hbar)^2 \ii r} \int_{-\infty}^{\infty} \dd k' \; \frac{k'}{k'{}^2-k^2-\ii 0^+} \exp(\ii k' r).$ (5.1.23)

Wegen der Exponentialfunktion können wir uns den Integrationsweg in der oberen komplexen $ k'$-Ebene durch einen unendlich großen Halbkreis geschlossen denken und den Residuensatz anwenden. Der Integrand besitzt die beiden Pole erster Ordnung $ k'=\pm (k+\ii 0^+)$, von denen nur derjenige mit dem oberen Vorzeichen in der oberen Halbebene liegt und folglich allein zum Residuensatz beiträgt. Wir erhalten also schließlich

$\displaystyle G_{0,\pvec{p}}^+(\vec{r})=-\frac{\mu}{2 \pi \hbar^2 r} \exp \left (\frac{\ii p r}{\hbar} \right),$ (5.1.24)

wobei wir wieder $ k=p/\hbar$ gesetzt haben. Wir erhalten also eine auslaufende Kugelwelle, wenn wir die Zeitabhängigkeit des Wellenpakets (5.1.12) berücksichtigen, wie es der physikalischen Bedeutung der Streuwelle entspricht. Die Lippmann-Schwinger-Gleichung der stationären Streulösung (5.1.16) nimmt also nunmehr die Form

$\displaystyle \phi_{\vec{p}}^+(\vec{x})=u_{\vec{p}}(\vec{x}) - \frac{2 \mu}{\hb...
...t)}{4 \pi \vert\vec{x}-\pvec{x}\vert} V(\pvec{x}) \phi_{\vec{p}}^{+}(\pvec{x}).$ (5.1.25)

an. Wir interessieren uns für das asymptotische Verhalten dieser Lösung weit außerhalb der Reichweite $ \R$ des Potentials, also für $ x=\vert\vec{x}\vert \gg R$. Dann können wir im Nenner des Integranden $ \vert\vec{x}-\pvec{x}\vert \simeq x=\vert\vec{x}\vert$ und im Exponenten $ \vert\vec{x}-\pvec{x}\vert \simeq x-\pvec{x} \cdot \vec{x}/x$ setzen. Dies liefert

$\displaystyle \phi_{\vec{p}}^{+}(\vec{x}) \asy_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{...
...f_{\vec{p}}(\hat{\vec{x}})}{x} \exp \left(\frac{\ii}{\hbar} p x \right) \right]$ (5.1.26)

mit der Streuamplitude

$\displaystyle f_{\vec{p}}(\hat{\vec{x}})=-4 \pi^2 \mu \hbar \int_{\R^3} \dd^3 \...
...c{x}) = -4 \pi^2 \mu \hbar \matrixe{p \hat{\vec{x}}}{\op{V}}{\phi_{\vec{p}}^+}.$ (5.1.27)

Dabei ist $ \hat{\vec{x}}=\vec{x}/x$ der Einheitsradiusvektor.

Gehen wir nun mit der asymptotischen Entwicklung des stationären Streuzustandes (5.1.26) in die Ortsdarstellung des Wellenpakets (5.1.12) ein, so erhalten wir

$\displaystyle \psi(t,\vec{x}) \asy_{x \rightarrow \infty} \int_{\R^3} \frac{\dd...
...{\vec{p}}(\hat{\vec{x}})}{x} \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} p x \right) \right].$ (5.1.28)

Dem ersten Summanden in der Klammer entspricht nun in der Tat das freie einlaufende Wellenpaket

$\displaystyle \psi_{\text{ein}}(t,\vec{x}) = \int_{\R^3} \frac{\dd^3 \vec{p}}{(...
...}) \exp \left [\frac{\ii}{\hbar} (\vec{p} \cdot \vec{x}-E_{\vec{p}} t) \right].$ (5.1.29)

Dabei setzen wir voraus, daß $ A_{\vec{p}_i}$ eine um den einlaufenden Impuls $ \vec{p}_i$ scharf gepeakte Funktion sein soll, so daß wir den Exponenten des Integranden in niedrigster Ordnung um $ \vec{p}_i$ entwickeln können:

$\displaystyle \vec{p} \cdot \vec{x} - E_{\vec{p}} t=\vec{p}_i \cdot \vec{x} - E_i t +\pvec{p} (\cdot \vec{x}-\vec{v}_i t)$   mit$\displaystyle \quad \vec{v}_i = \partial_{\vec{p}_i} E_{\vec{p}_i}=\frac{\vec{p}_i}{\mu}.$ (5.1.30)

Dies in (5.1.29) eingesetzt liefert

$\displaystyle \psi_{\text{ein}} \simeq \exp \left [\frac{\ii}{\hbar} (\vec{p}_i \cdot \vec{x}) \right] \Phi_0(\vec{x}-\vec{v}_i t)$ (5.1.31)

mit der Einhüllenden des freien Wellenpakets

$\displaystyle \Phi_0(\vec{x})=\int_{\R^3} \frac{\dd^3 \pvec{p}}{(2 \pi \hbar)^{...
...c{p}_i+\pvec{p}) \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} \vec{x} \cdot \pvec{p} \right ).$ (5.1.32)

Dieses Wellenpaket ist voraussetzungsgemäß makroskopisch lokalisiert um $ \vec{x}=0$ aber doch die Ortsbreite wesentlich größer als die de Broglie-Wellenlänge $ \lambda_i=2 \pi \hbar/p_i$ des einlaufenden Wellenpakets. Dies ist aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation in der Tat mit der Forderung $ \Delta p \ll p_i$ verträglich, die wir an $ A_{\vec{p}_i}$ gestellt hatten.

Der zweite Summand

$\displaystyle \psi_{\text{streu}}(t,\vec{x})\asy_{x \rightarrow \infty} \int_{\...
..._{\vec{p}}(\hat{\vec{x}})}{x} \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} p x \right) \right]$ (5.1.33)

ist der Streuanteil der Wellenfunktion. Hier können wir die Entwicklung

$\displaystyle p=\vert\vec{p}_i+\pvec{p}\vert=p_i + \hat{\vec{p}}_i \cdot \pvec{p} + \mathcal{O}({p'}^2)$ (5.1.34)

verwenden und annehmen, daß sich die Streuamplitude $ f_{\vec{p}}(\hat{\vec{x}})$ nur langsam mit $ \vec{p}$ ändert und folglich durch $ f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{x}})$ ersetzt und damit aus dem Integral herausgezogen werden kann. Der Streuanteil des Wellenpaketes ist demnach insgesamt durch

$\displaystyle \psi_{\text{streu}}(t,\vec{x})=\frac{f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{x}})...
...left [\frac{\ii}{\hbar} (p_i x-E_i t) \right] \Phi_0[(x-v_i t) \hat{\vec{p}}_i]$ (5.1.35)

gegeben. Nun gilt in der Tat $ \psi_{\text{streu}}(t,\vec{x}) \rightarrow
0$ für $ t
\rightarrow -\infty$, d.h. es liegt für Zeiten $ t
\rightarrow -\infty$ der Tat lediglich das aus der Richtung $ \hat{\vec{p}}_i$ einlaufende Wellenpaket vor, wie es unsere Anfangsbedingung entsprechend dem Streuexperiment erfordert. Ansonsten ist die Streuwelle nur auf einer Kugelschale der Breite des einlaufenden Wellenpaketes um $ x=v_i t$ wesentlich von 0 verschieden.

Für $ x \rightarrow
\infty$ überlappen weiter der einlaufende Anteil (5.1.31) und der Streuanteil (5.1.35) nur in einem kleinen Raumwinkelbereich in der Vorwärtsrichtung $ \hat{\vec{p}}_i$, der wieder durch die Breite des einlaufenden Wellenpakets bestimmt ist. Ist also der Detektor in hinreichend großem Raumwinkelabstand von der Einfallsrichtung der Teilchen entfernt, werden nur tatsächlich gestreute Teilchen registriert. Im nächsten Abschnitt wollen wir den Streuquerschnitt als eine Größe definieren, die lediglich Eigenschaften des Streupotentials charakterisiert und im wesentlichen unabhängig von der detaillierten Form des einlaufenden Wellenpaketes ist.




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