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Der Streuquerschnitt und das optische Theorem

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, daß ein in der Richtung $ \hat{\vec{x}}$ weit weg vom Streuzentrum $ x \gg R$ aufgestellter Detektor bei sehr langer Meßdauer ein Teilchen registriert. Dabei gehen wir davon aus, daß dieser Detektor außerhalb der engen Überlappzone um die Vorwärtsstreurichtung ausgerichtet ist, so daß der auslaufende Strom praktisch ausschließlich durch den Streuwellenanteil (5.1.35) gegeben ist. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, daß ein Teilchen in diese Richtung gestreut wird, berechnen wir die Radialkomponente des entsprechenden Stroms

$\displaystyle j_{\text{streu}}=\hat{\vec{x}} \cdot \frac{1}{m} \im \left [\psi_...
..._{\text{streu}}^*(t,\vec{x}) \partial_x \psi_{\text{streu}}(t,\vec{x}) \right].$ (5.2.1)

Zur Berechnung der Radialableitung der Streuwelle ist es am bequemsten auf (5.1.33) zurückzugreifen. Dann müssen wir unter dem Integral nur die Exponentialfunktion ableiten, denn wegen $ (1/x)'=-1/x^2$ ergibt die Ableitung des Terms $ 1/x$ einen im asymptotischen Limes $ x \rightarrow
\infty$ vernachlässigbaren Beitrag. Wir erhalten dann nach Ausführung der Integration nach $ \vec{p}$, wobei wir dieselben Näherungen, die oben zu (5.1.35) geführt haben vornehmen

$\displaystyle j_{\text{streu}}=v_i \left \vert\frac{f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{x}})}{x} \Phi_0[(x-v_i t) \hat{\vec{p}}_i] \right\vert^2.$ (5.2.2)

Da wir die Messung über einen sehr großen Zeitraum ausführen und uns nur dafür interessieren, ob während dieses Zeitraums ein Teilchen registriert wird oder nicht, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen, im Raumwinkelelement $ \dd \Omega$ in Richtung von $ \hat{\vec{x}}$ zu registrieren zu

$\displaystyle \frac{\dd P(\hat{\vec{x}})}{\dd \Omega}=v_i \vert f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{x}})\vert^2 \int_{\R} \dd t \vert\Phi_0[(x-v_i t)\hat{\vec{p}}_i]\vert^2.$ (5.2.3)

Das Integral charakterisiert nun aber die Einzelheiten der Quelle, die uns nicht interessieren, solange wir nur an der Natur des Streupotentials interessiert sind. Daher definiert man den differentiellen Streuquerschnitt dadurch, daß man durch den Flächendichte der einfallenden Teilchen dividiert. Zu dessen Messung denken wir uns einen Detektor vor dem Streuzentrum in den Strahl in Richtung des einfallenden Teilchens gestellt. Wir erhalten dann für die gesamte registrierte Teilchenzahl pro Fläche

$\displaystyle N_{\text{ein}}=v_i \int_{\R} \dd t \vert\Phi_0(\vec{x}-\vec{v}_i t)\vert^2.$ (5.2.4)

Da hier $ \vec{x}=-x \hat{\vec{p}}_i$ ist, ist das Integral über die Zeit das gleiche wie in (5.2.3), d.h. normieren wir die Wahrscheinlichkeit pro Raumwinkelelement (5.2.3) auf diesen einlaufenden Strom, erhalten wir eine Größe, das unter den gemachten Annahmen unabhängig von der genauen Struktur des einlaufenden Wellenpaketes ist, die man als differentiellen Streuquerschnitt bezeichnet. Wir erhalten dann

$\displaystyle \frac{\dd \sigma}{\dd \Omega}=\vert f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{x}})\vert^2.$ (5.2.5)

Nun müssen wir uns noch über die Bedeutung der Interferenzterme im totalen Strom, die nur in Vorwärtsrichtung auftreten klar werden. Physikalisch ist deren Bedeutung sofort evident: Wir betrachten hier die elastische Streuung, d.h. die Gesamtwahrscheinlichkeit muß zeitlich erhalten sein. Dies folgt unmittelbar aus der Selbstadjungiertheit des Hamiltonoperators in der Schrödingergleichung für das Gesamtwellenpaket, welches die Kontinuitätsgleichung

$\displaystyle \dot{\rho}(t,\vec{x})+\vec{\nabla} \cdot \vec{j}(t,\vec{x})=0$   mit$\displaystyle \quad \rho(t,\vec{x})=\vert\psi(t,\vec{x})\vert^2, \quad \vec{j}(...
... \frac{1}{m} \im \left [\psi^*(t,\vec{x}) \vec{\nabla} \psi(t,\vec{x}) \right ]$ (5.2.6)

erfüllt. Nun ist

$\displaystyle \rho(t,\vec{x})=\vert\psi_{\text{ein}}(t,\vec{x})\vert^2+ 2 \re \...
...{\text{streu}}(t,\vec{x}) \right] + \vert\psi_{\text{streu}}(t,\vec{x})\vert^2.$ (5.2.7)

Außerhalb des Überlappungsgebiets des einlaufenden Wellenpakets und der Streuwelle, weit brauchen wir bei Beobachtung weit weg vom Streuzentrum für $ t \rightarrow \infty$ bei der Berechnung von $ \rho(t,\vec{x})$ nur den Streuanteil zu berücksichtigen. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit nach der Kontinuitätsgleichung aber zeitlich erhalten bleibt (und entsprechend auf $ 1$ normiert ist, da das einlaufende Wellenpaket, welches für $ t
\rightarrow -\infty$ die Gesamtwellenfunktion darstellt, definitionsgemäß auf $ 1$ normiert wurde), muß der Interferenzterm dafür sorgen, daß die Gesamtwahrscheinlichkeit auf $ 1$ normiert bleibt, d.h. der Interferenzterm sorgt dafür, daß der Strom in Vorwärtsrichtung um genau den Betrag des gesamten gestreuten Stromanteils abgeschwächt wird. Dies entspricht in der klassischen Optik der Schattenbildung bei Streuung an einem Gegenstand.

Integrieren wir nun (5.2.6) über eine Kugel $ K_R$ mit sehr großem Radius $ \R$ um das Streuzentrum, ergibt die Kontinuitätsgleichung (5.2.6) mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \int_{K_R} \dd^3 \vec{x} \; \rho(t,\vec{x}) + \int_{\partial K_R} \dd^2 \vec{F} \cdot \vec{j}(t,\vec{x})=0.$ (5.2.8)

Da die Wellenfunktion quadratintegrabel ist, fällt der Strom im Unendlichen hinreichend schnell ab, so daß im Limes $ R \rightarrow
\infty$ tatsächlich

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \rho(t,\vec{x})=0$ (5.2.9)

gilt, d.h. ist das einlaufende Wellenpaket zur Zeit $ t_0 \rightarrow
-\infty$ auf $ 1$ normiert, so bleibt die Gesamtwellenfunktion (das sich aufgrund der obigen Betrachtungen aus dem ungestört weiterlaufenden einfallenden Wellenpaket und der Streukugelwelle additiv zusammensetzt) zu allen Zeiten auf $ 1$ normiert. Da sich aber $ \psi_{\text{ein}}$ gemäß (5.1.29) für sich genommen nach der freien Schrödingergleichung bewegt, gilt $ \braket{\psi_{\text{ein}},t}{\psi_{\text{ein}},t}=1$ für alle Zeiten $ t$. Integrieren wir nun (5.2.9) bzgl. $ t$ zwischen zwei Zeiten $ t_0 \rightarrow
-\infty$ und $ t_1 \rightarrow + \infty$, folgt daraus

\begin{displaymath}\begin{split}\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \rho(t_0,\vec{x}) &...
...}) \psi_{\text{aus}}(t_1,\vec{x}) \right] \right \} \end{split}\end{displaymath} (5.2.10)

oder

$\displaystyle \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \vert\psi_{\text{streu}}(t_1,\vec{x}...
...ft [\psi_{\text{ein}}^*(t_1,\vec{x}) \psi_{\text{streu}}(t_1,\vec{x}) \right ].$ (5.2.11)

Für $ t_1 \rightarrow \infty$ trägt sowohl für den Streuwellenanteil als auch für den durchlaufenden ungestreuten Wellenanteil nur die asymptotische Region $ x=\vert\vec{x}\vert \rightarrow \infty$ wesentlich zum Integral bei, wie wir aus (5.1.31) und (5.1.35) entnehmen können.

Wir betrachten diese Formel nun für $ t \rightarrow \infty$. Gemäß (5.1.35) hängt in dieser Formel der Integrand auf der rechten Seite nur $ \psi_{\text{ein}}^*$ vom Raumwinkel relativ zur $ \hat{\vec{p}}_i$-Richtung ab, da nur der Überlappbereich zwischen dem einlaufenden Wellenpaket und der Streuwelle in Vorwärtsrichtung wesentlich zum Integral beiträgt und wir also für das gestreute Wellenpaket in (5.1.35) $ f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{x}})=f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{p}}_i)$ setzen dürfen. Daher berechnen wir zunächst

\begin{displaymath}
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\begin{split}\int_{S_2} \dd^2 \...
...r} p_i x \right) \Phi_0[(x-v_i t) \hat{\vec{p}}_i]. \end{split}\end{displaymath} (5.2.12)

Damit ergibt sich unter Verwendung von (5.1.35) für die rechte Seite von (5.2.11) schließlich

\begin{displaymath}\begin{split}-2 \re \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \left [\psi_...
...t \Phi_0[(x-v_i t) \hat{\vec{p}}_i] \right \vert^2. \end{split}\end{displaymath} (5.2.13)

Auf der linken Seite von (5.2.11) erhalten wir wieder wegen (5.1.35)

$\displaystyle \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \vert\psi_{\text{streu}}(t_1,\vec{x}...
...t\vert^2 \dd x \; \left \vert \Phi_0[(x-v_i t) \hat{\vec{p}}_i] \right \vert^2.$ (5.2.14)

Setzen wir also (5.2.13) und (5.2.14) unter Beachtung von (5.2.5) gleich, erhalten wir das optische Theorem

$\displaystyle \sigma_{\text{tot}}=\frac{4 \pi \hbar}{p_i} \im f_{\vec{p}_i}(\hat{\vec{p}}_i),$ (5.2.15)

d.h. der Imaginärteil der Vorwärtsstreuamplitude entspricht bis auf den Faktor $ 4 \pi \hbar/p_i$ dem totalen Streuquerschnitt. Wie unsere Herleitung zeigt, besagt dies nichts anderes als daß der Anteil der aus der Vorwärtsrichtung herausgestreuten Teilchen dem entsprechend in Vorwärtrichtung fehlenden Anteil entspricht. Freilich ist dies im Sinne der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion zu verstehen und letztlich eine folge der unitären Zeitentwicklung der Wellenfunktion. Wir werden uns dies im folgenden Abschnitt nochmals auf andere Weise anhand der abstrakteren Beschreibung des Streuprozesses vermöge der Streumatrix (bzw. genauer gesagt dem Streuoperator) klar machen.




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