Die Galileigruppe in der Newtonschen Mechanik

Die grundlegenden Annahmen der Newtonschen Mechanik lassen sich sehr anschaulich in Form von Symmetrieprinzipien formulieren. So sagt das 1. Newtonsche Gesetz (der Trägheitssatz) aus, daß es spezifische Bezugssysteme gibt, in denen Teilchen, auf die keine Kräfte wirken, sich stets geradlinig gleichförmig bewegen und daß ein Beobachter durch kein physikalisches Experiment irgendeine Form von absoluter Geschwindigkeit feststellen kann. Die grundlegenden Naturgesetze müssen also in allen zueinander geradlinig gleichförmig bewegten Bezugssystemen gleich aussehen, d.h. die Gleichungen sind invariant unter Galilei-Boosts. Seien $(t,\vec{x})$ die Zeit und die drei Raumkomponenten eines Punktteilchens bzgl. einer kartesischen Basis, welches zusammen mit der Festlegung irgendeines in diesem Bezugssystem ruhenden Koordinatenursprungs ein Inertialsystem definiert. Bewegt sich nun der Ursprung eines anderen Inertialsystems, in dem die Zeit und Ortskoordinaten durch $(t',\pvec{x})$ gegeben seien, relativ zum ersten Bezugssystem mit der Geschwindigkeit $\vec{w}_1$ , so gilt

$$t'=t, \quad \pvec{x}=\vec{x}-\vec{w}_1 t,$$ (6.1.1)

wobei wir stillschweigend Newtons Grundannahme, daß die Zeit unabhängig von jeglichen physikalischen Vorgängen in allen Inertialsystemen gleich verläuft, verwendet haben. Diese Transformationen nennt man Galilei-Boosts.

Sie bilden mathematisch gesehen eine Gruppe mit der Hintereinanderausführung als Gruppenmultiplikation. Führen wir nämlich einen weiteren Boost zu einem dritten Inertialsystem $(t'',\pvec{x}')$ , welches sich gegen das Inertialsystem $(t',\pvec{x})$ mit der Geschwindigkeit $\vec{w}_2$ bewegt, aus, erhalten wir zusammen mit (6.1.1)

$$t''=t'=t, \quad \pvec{x}'=\pvec{x}-\vec{w}_2 t'=\vec{x}-(\vec{w}_2+\vec{w}_1) t.$$ (6.1.2)

Die Gesamttransformation, die direkt von den Größen im Inertialsystem $(t,\vec{x})$ zum System $(t'',\pvec{x}')$ führt, ist also ihrerseits durch einen Galileiboost gegeben, und zwar dem mit der Geschwindigkeit $\vec{w}_3 = \vec{w}_1+\vec{w}_2$ . Schreiben wir den Galilei-Boost mit Geschwindigkeit $\vec{w}$ formal als Matrix-Vektormultiplikation in der Form

$$B(\vec{w}) \vv{t}{\vec{x}}=\vv{t}{\vec{x}-\vec{w} t} \quad B(\vec{w}) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 &0 -w_x & 1 & 0 &0 -w_y & 0 & 1 &0 -w_z & 0 & 0 &1 \end{pmatrix},$$ (6.1.3)

ergibt sich diese Hintereinanderausführung durch die Matrizenmultiplikationsregel

$$B(\vec{w}_2) B(\vec{w}_1) = B(\vec{w}_1+\vec{w}_2) = B(\vec{w}_1) B(\vec{w}_2).$$ (6.1.4)

Es ist weiter klar, daß $B(\vec{w}=0)=\einsop_{4}$ das neutrale Element der Gruppe und $B(-\vec{w})$ das zu $B(\vec{w})$ inverse Element ist. Da weiter wegen (6.1.4) diese Boost-Matrizen kommutieren, nennt man diese Galilei-Boost-Gruppe eine Abelsche Gruppe.

Dies sind freilich noch nicht alle Symmetrien der Galilei-Newtonschen Raumzeit. Es wird weiter vorausgesetzt, daß die Naturgesetze sich nicht mit der Zeit ändern. Es kann also auch kein absoluter Zeitpunkt gegenüber irgendeinem anderen Zeitpunkt ausgezeichnet sein. Außerdem gehen wir davon aus, daß die Naturgesetze auch an jedem Ort die gleichen sind. Die Naturgesetze müssen also auch unter Raum-Zeit-Translationen invariant sein, d.h. ändern wir den Ursprung der Zeitrechnung und den Koordinatenursprung um irgendwelche konstanten Werte, also

$$t'=t-\alpha, \quad \pvec{x}=\pvec{x}-\vec{a} \stackrel{\text{d... ...(\alpha,\vec{a}) \left [\vv{t}{\vec{x}} \right ]=\vv{t-\alpha}{\vec{x}-\vec{a}}$$ (6.1.5)

dürfen sich die Bewegungsgleichungen eines Systems von Punktteilchen nicht ändern. Es ist klar, daß auch diese Transformationen, die wir mit $T(\alpha,\vec{a})$ bezeichnen wollen, untereinander eine Abelsche Gruppe bilden, denn es gilt offenbar

$$T(\alpha_2,\vec{a}_2) T(\alpha_1,\vec{a}_1) = T(\alpha_1+\alpha_2,\vec{a}_1 + \vec{a}_2).$$ (6.1.6)

Ebenso bilden die Transformationen, die sich aus beliebigen Hintereinanderausführungen von Galilei-Boosts und Raum-Zeit-Translationen erzeugen läßt, eine Gruppe, allerdings keine Abelsche (Übung).

Schließlich wird für jeden (inertialen) Beobachter der Raum als euklidisch angenommen, so daß auch keine Wahl irgendeines kartesischen Basissystems gegenüber einem anderen ausgezeichnet ist, d.h. auch die Orientierung des Bezugssystems ist durch kein physikalisches Phänomen absolut bestimmt. Demnach müssen die Naturgesetze auch unter räumlichen Drehungen invariant sein:

$$t'=t, \quad \pvec{x}=\hat{R}(\vec{\phi}) \vec{x}.$$ (6.1.7)

Dabei ist $\vec{\phi}$ ein Vektor, dessen Richtung $\vec{n}=\vec{\phi}/\phi$ mit $\phi=0 \leq \vert\vec{\phi}\vert \leq \pi$ die Richtung der Drehachse und dessen Betrag $\phi$ den Drehwinkel im Sinne der Rechte-Handregel angibt. Um diese Drehung soll die Basis des Bezugssystems $(t',\pvec{x})$ gegen die des Bezugssystems $(t,\vec{x})$ verdreht sein. Konkret erhält man die Wirkung der Drehung auf die Komponenten des Ortsvektors wie folgt: Die Projektion auf die Richtung der Drehachse $\vec{x}_{\parallel}=\vec{n} (\vec{n} \cdot \vec{x})$ bleibt ungeändert, während der dazu senkrechte Anteil $\vec{x}_{\perp 1}=\vec{n} \times \vec{x}$ und $\vec{x}_{\perp}=(\vec{n} \times \vec{x}) \times \vec{n} = \vec{x}-\vec{x}_{\parallel}$ um den Winkel $\phi$ gedreht wird. Die Einheitsvektoren $\vec{b}_1=\vec{x}_{\perp}/\vert\vec{x}_{\perp}\vert$ , $\vec{b}_2=\vec{n} \times \vec{x}/\vert\vec{n} \times \vec{x}\vert$ und $\vec{n}$ bilden offenbar ein rechtshändiges kartesisches Basissystem, und folglich lautet die Drehung

$$\pvec{x}=\hat{R}(\vec{\phi}) \vec{x}=\vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{x... ...vec{n} \times \vec{x}) \times \vec{n} - \sin \phi \vec{n} \times \vec{x}.$$ (6.1.8)

Es ist klar, daß auch die Drehungen eine Gruppe bilden. Es ist die Gruppe der reellen speziellen orthogonalen 3x3-Matrizen SO$(3)$ . Dies sind die reellen $3 \times 3$ -Matrizen, für die

$$\hat{R} \hat{R}^{T}=\einsop_3 \quad \det \hat{R}=1$$ (6.1.9)

gilt. Das inverse Element zu $\hat{R}(\vec{\phi})$ ist offenbar $\hat{R}(-\vec{\phi})$ , und das neutrale Element der Gruppe ist $\hat{R}(0)=\einsop_3$ . Da Drehungen um verschieden gerichtete Drehachsen nicht kommutieren, ist hier auf die Reihenfolge der Drehungen zu achten.

Es ist bequem, die Drehungen und die Boosts in eine $4 \times 4$ -Matrix

$$\Gamma(\vec{w},\hat{R}):=\begin{pmatrix}1 & 0 -\vec{w} & \hat{R} \end{pmatrix} \quad \hat{R} \in (3)$$ (6.1.10)

zusammenzufassen. Für $\hat{R} \neq \einsop_3$ entspricht dies der Hintereinanderausführung einer Drehung gefolgt von einem Galileiboost mit Geschwindigkeit $\vec{w}$ . Hierbei ist auf die Reihenfolge der Operationen zu achten, denn die Drehungen und die Boosts bilden zwar eine Gruppe, aber Drehungen und Boosts vertauschen i.a. nicht miteinander! Die Matrizen (6.1.10) bilden die Boost-Dreh-Gruppe, denn die Hintereinanderausführung zweier solcher Transformationen ergibt

$$\Gamma(\vec{w}_2,\hat{R}_2) \Gamma(\vec{w}_1,\hat{R}_1)= \begin{p... ...{R}_1 \end{pmatrix} =\Gamma(\vec{w}_2+\hat{R}_2 \vec{w}_1,\hat{R}_2 \hat{R}_1).$$ (6.1.11)

Man bezeichnet diese Symmetriegruppe der Galilei-Newtonschen Raum-Zeit auch als homogene Galilei-Gruppe, denn sie ist eine lineare Abbildung des Raum-Zeit-Vektors $(t,\vec{x})$ . Nehmen wir auch noch die Raum-Zeit-Translationen hinzu, indem wir die Wirkung einer solchen aus Boosts, Translationen und Drehungen kombinierten Transformation auf die Raum-Zeit-Vektoren durch

$$\Gamma(\vec{w},\alpha,\vec{a},\hat{R}) \left [\vv{t}{\vec{x}} \right] = \vv{t-\alpha}{D \vec{x}-\vec{w} t -\vec{a}}$$ (6.1.12)

definieren, haben wir schließlich die volle Galilei-Gruppe konstruiert. Für die Hintereinanderausführung zweier solcher Transformationen ergibt sich

$$\Gamma(\vec{w}_2,\alpha_2,\vec{a}_2,\hat{R}_2) \Gamma(\vec{w}_1,\... ...\alpha_2,\hat{R}_2 \vec{a}_1+\vec{a}_2-\vec{w}_2 \alpha_1,\hat{R}_2 \hat{R}_1).$$ (6.1.13)

Die inverse Transformation zu $\Gamma(\vec{w},\alpha,\vec{a},\hat{R})$ folgt aus der Forderung

$$\Gamma(\pvec{w},\alpha',\pvec{a},\hat{R}') \Gamma(\vec{w},\alpha,\vec{a},\hat{R}) = \Gamma(0,0,0,\einsop_3).$$ (6.1.14)

Mit der Gruppenmultiplikationsregel (6.1.13) folgt daraus das Gleichungssystem

$$\hat{R}' \vec{w} + \pvec{w}=0, \quad \alpha+\alpha'=0, \quad \hat{R}' \vec{a}+\pvec{a}-\pvec{w} \alpha=0, \quad \hat{R}' \hat{R}=\einsop_3.$$ (6.1.15)

Dies läßt sich leicht nach den gesuchten Parametern auflösen (Übung!), so daß sich schließlich

$$\Gamma^{-1}(\vec{w},\alpha,\vec{a},\hat{R}) = \Gamma(-\hat{R}^{-1} \vec{w},-\alpha,-\hat{R}^{-1}(\vec{a}+\vec{w} \alpha),D^{-1})$$ (6.1.16)

ergibt.

Wir können im folgenden die einzelnen Untergruppen der volle Galileigruppe getrennt behandeln, wie bereits oben geschehen, denn sie ergab sich ja durch Zusammensetzung aus Galileiboosts, raum-zeitlichen Translationen und räumlichen Drehungen. In der obigen Konvention gilt

$$\Gamma(\vec{w},\alpha,\vec{a},\hat{R}) = T(\alpha,\vec{a}) B(\vec{w}) \hat{R}$$ (6.1.17)

Es ergibt sich eine erhebliche Vereinfachung der Analyse von solchen kontinuierlichen Symmetrien, wenn man zunächst infinitesimale Transformationen betrachtet, also solche Transformationen für sehr kleine Abweichungen vom Gruppeneinheitselement. Im vorliegenden Fall der Galileigruppe wird dies dadurch erleichtert, daß die Transformationen offensichtlich differenzierbar nach den Parametern $\vec{w}$ , $\alpha$ , $\vec{a}$ und $\vec{\phi}$ in der Parametrisierung der Drehmatrix $D$ gemäß (6.1.8). Solche Gruppen nennt man Lie-Gruppen^6.1.

Während sich für die Translationen und Boosts zunächst keine erhebliche Vereinfachung zu ergeben scheint, führt eine Entwicklung von $\cos$ und $\sin$ in (6.1.8) nach einem infinitesimalen Drehwinkel $\delta \phi$ zu

$$\pvec{x}=\vec{x}+\delta \vec{x}= \vec{n} (\vec{n} \cdot \vec{x}) ... ...ec{x} =\vec{x} - \delta \vec{\phi} \times \vec{x} + \mathcal{O}(\delta \phi^2).$$ (6.1.18)

Für die infinitesimale Änderung des Ortsvektors aufgrund der infinitesimalen Drehung ergibt sich also

$$\delta \vec{x}=-\delta \vec{\phi} \times \vec{x} + \mathcal{O}(\delta \phi^2).$$ (6.1.19)

Man rechnet auch leicht nach (Übung!), daß die Hintereinanderausführung zweier solcher infinitesimaler Drehungen sich zu

$$\hat{R}(\delta \vec{\phi}_2) \hat{R}(\delta \vec{\phi}_1) \vec{x}... ...ta \vec{\phi}_2) \times \vec{x} + \mathcal{O}(\delta \phi_1^2,\delta \phi_2^2).$$ (6.1.20)

ergibt.

Man kann nun die infinitesimalen Transformationen offenbar wieder als Matrizen schreiben. Für die Komponenten des Vektors ergibt sich aufgrund der Definition des Vektorprodukts ja

$$\delta \vec{x}=-\delta \vec{\phi} \times \vec{x} = \vec{e}_i (-\epsilon_{ijk} \delta \phi_j) x_k.$$ (6.1.21)

Definieren wir nun drei Matrizen $\mathfrak{J}_j$ durch^6.2

$$\ii (\mathfrak{J}_j)_{ik} := -\epsilon_{ijk},$$ (6.1.22)

können wir für (6.1.21) auch

$$\delta \vec{x}=\ii \delta \phi_j (\mathfrak{J}_j)_{ik} x_k =:\ii (\delta \vec{\phi} \cdot \vec{\mathfrak{J}}) \vec{x}$$ (6.1.23)

schreiben. Die infinitesimalen Matrizen $\delta \vec{\phi} \cdot \vec{\mathfrak{J}}$ bilden nun offenbar einen Vektorraum, wobei die Hintereinanderausführung zweier infinitesimaler Drehungen sich gemäß (6.1.20) als die Summe der entsprechenden Matrizen ergibt. In diesem Sinne bilden die drei durch (6.1.22) definierten Matrizen $\mathfrak{J}_j$ eine Basis für die infinitesimalen Drehungen.

Mit Matrizen können wir aber noch weitere Operationen ausführen, nämlich die Matrizenmultiplikation. Die Multiplikation zweier $\mathfrak{J}$ -Matrizen führt aber i.a. aus dem Vektorraum der infinitesimalen Drehungen heraus (Übung). Es stellt sich allerdings heraus, daß in solchen Fällen stets der Kommutator zweier infinitesimaler Drehungen wieder eine infinitesimale Drehung ergibt. Freilich müssen wir dazu die infinitesimalen Drehungen in höherer als linearer Ordnung in den Drehvektoren $\delta \vec{\phi}$ entwickeln. Es gilt nämlich offenbar

$$\begin{split}\comm{\hat{R}(\delta \vec{\phi}_2)}{\hat{R}(\del... ...tackrel{?}{=} \ii \delta \phi_{3l} \mathfrak{J}_l . \end{split}$$ (6.1.24)

Wir müssen also zeigen, daß es Zahlen $f_{cab}$ gibt, so daß

$$\comm{\mathfrak{J}_a}{\mathfrak{J}_b}=\ii f_{cab} \mathfrak{J}_c$$ (6.1.25)

gilt. Dazu berechnen wir den Kommutator aufgrund der Definition (6.1.23), indem wir die Matrizen in Komponenten ausschreiben

$$\begin{split}\comm{\mathfrak{J}_a}{\mathfrak{J}_b}_{jl}&=-(\e... ...} = f_{cab} \epsilon_{jcl}=-f_{cab} \epsilon_{cjl}. \end{split}$$ (6.1.26)

Daraus ergibt sich

$$\comm{\mathfrak{J}_a}{\mathfrak{J}_b}=\ii \mathfrak{J}_c f_{cab} \quad f_{cab}=\epsilon_{cab}.$$ (6.1.27)

Die Kommutatoren zweier beliebiger infinitesimaler Rotationen lassen sich also wieder durch solche infinitesimalen Rotationen schreiben, d.h. der Vektorraum ist abgeschlossen unter der Kommutatoroperation. Bezeichnen wir nun mit Frakturbuchstaben $\mathfrak{a}=\vec{a} \cdot \vec{t}$ eine beliebige solche infinitesimale Transformation, so gilt für irgendwelche drei solcher Elemente die Jacobi-Identität

$$\comm{\comm{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}}}{\mathfrak{c}} + \comm{\c... ...c}}}{\mathfrak{a}} + \comm{\comm{\mathfrak{c}}{\mathfrak{a}}}{\mathfrak{b}} =0.$$ (6.1.28)

Man bezeichnet einen Vektorraum $\mathfrak{L}$ , auf dem ein antisymmetrisches Produkt $\comm{\cdot}{\cdot}:\mathfrak{L} \rightarrow \mathfrak{L}$ , welches für irgendwelche drei Elemente $\mathfrak{a},\mathfrak{b},\mathfrak{c} \in \mathfrak{L}$ die Jacobi-Identität (6.1.28) erfüllt, als Lie-Algebra. Eine Lie-Algebra ist im wesentlichen durch ihre Strukturkonstanten bzgl. irgendeiner Basis definiert.

Wir können nun umgekehrt aus den infinitesimalen Drehungen wieder endliche Drehungen gewinnen, indem wir nur hinreichend oft eine infinitesimale Drehung ausführen. Betrachten wir dazu zunächst Drehungen um eine feste Achse, die durch den Einheitsvektor $\vec{n}$ vorgegeben ist. Für zwei Drehungen um eine vorgegebene feste Achse gilt nämlich

$$\hat{R}(\phi_2 \vec{n}) \hat{R}(\phi_1 \vec{n}) = \hat{R}[(\phi_1+\phi_2) \vec{n}].$$ (6.1.29)

Dies zeigt man unmittelbar durch Hintereinanderausführung der beiden Drehungen gemäß (6.1.8) und Anwendung der Additionstheoreme für Cosinus und Sinus. Offenbar bilden also Drehungen um eine feste Achse eine Abelsche einparametrige Untergruppe, wobei sich die Parameter (in unserem Falle die Drehwinkel $\phi_1$ und $\phi_2$ ) bei einer Hintereinanderausführung addieren. Man nennt eine solche Untergruppe einer Lie-Gruppe auch kurz eine Einparametergruppe.

Nun können wir aber wegen (6.1.30) offenbar

$$\hat{R}(\phi \vec{n}) = \left [\hat{R} \left(\frac{\phi}{N} \vec{n} \right) \right]^N \quad N \in \N$$ (6.1.30)

schreiben. Für $N \gg 1$ können wir die Drehung in den eckigen Klammern durch eine infinitesimale Drehung approximieren, wobei wir nur Glieder bis zur Ordnung $\phi/N$ mitnehmen müssen, d.h. es gilt

$$\hat{R}(\phi \vec{n}) = \lim_{N \rightarrow \infty} \left [\einso... ... \frac{\phi}{N} \right ]^{N} = \exp(\ii \phi \vec{n} \cdot \vec{\mathfrak{J}}).$$ (6.1.31)

Man kann durch direkte Rechnung über die Reihenentwicklung der rechts stehenden Matrix-Exponential-Abbildung zeigen, daß diese Überlegung tatsächlich richtig ist.

Eine andere Herleitung desselben Ergebnisses erhält man, indem man zunächst die Drehungen in eine feste Richtung $\vec{n}$ nach dem Drehwinkel ableitet. Wegen (6.1.29) gilt nämlich

$$\begin{split}\frac{\dd}{\dd \phi} \hat{R}(\phi \vec{n}) &= \l... ... \cdot \vec{\mathfrak{J}} \; \hat{R}(\phi \vec{n}). \end{split}$$ (6.1.32)

Liest man dies als Differentialgleichung für $\hat{R}(\phi \vec{n})$ und berücksichtigt die Anfangsbedingung $\hat{R}(0)=\einsop_3$ , erhält man wieder (6.1.31). Man erhält also die Einparameteruntergruppen einer durch Matrizenabbildung realisierten Liegruppe aus deren Liealgebra durch die Matrix-Exponential-Abbildung. Man nennt daher die Lie-Algebra Elemente $\mathfrak{a} \in \mathfrak{L}$ auch die ,,infinitesimalen Erzeugenden`` der entsprechenden Gruppenoperationen.

Bemerkung: Für die Drehgruppe haben wir eben gesehen, daß man überhaupt die ganze Gruppe durch die Matrix-Exponential-Abbildung aus Lie-Algebra-Elementen zurückgewinnen kann. Dies ist bei allgemeineren Liegruppen nicht mehr unbedingt der Fall.