Die Grundpostulate der Quantentheorie

Wir stellen zunächst die Struktur der Quantentheorie in einigen Grundpostulaten zusammen und erläutern sie in den folgenden Abschnitten genauer:

1. Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch einen normierten Vektor $\ket{\psi}$ eines Hilbertraums $\mathcal{H}$ repräsentiert.

2. Jede physikalische Observable $O$ wird durch einen (auf einem dichten Teilraum von $\mathcal{H}$ definierten) selbstadjungierten Operator $\op{O}$ repräsentiert.

   Die möglichen Meßwerte der Observablen sind durch die (verallgemeinerten) Eigenwerte des ihr zugeordneten Operators gegeben.

3. Die (verallgemeinerten) Eigenvektoren $\ket{o,\alpha}$ des Operators $\op{O}$ zum (verallgemeinerten) Eigenwert $o$ können normiert und zueinander orthogonal bzw. auf die $\delta$ -Distribution normiert gewählt werden, d.h. so, daß

   $$\braket{o',\alpha'}{o,\alpha}=\delta{o'-o} \delta(\alpha'-\alpha).$$ (2.2.1)

   
   
   Dabei bezeichnet $\alpha$ einen oder mehrere Parameter, die im Falle einer Entartung des Eigenraums die Eigenvektoren durchnumerieren. Diese Parameter können sowohl kontinuierliche als auch diskrete Werte durchlaufen, und die $\delta$ -Symbole in Gl. (2.2.1) bezeichnen entsprechend $\delta$ -Distributionen oder Kronecker-$\delta$ 's. Ist das System bei einer Messung der Observablen $O$ im normierten Zustand $\ket{\psi}$ präpariert, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung der Observablen $O$ den Eigenwert $o$ des ihr zugeordneten Operators $\op{O}$ zu finden, ist durch die Bornsche Formel

   $$w_{\psi}(o)=\sumint{} \d \alpha \vert\braket{o,\alpha}{\psi}\vert^2$$ (2.2.2)

   
   
   gegeben, wobei das kombinierte Summations-Integrations-Symbol den kontinuierlichen und die Summe über den diskreten Teil des Parameters $\alpha$ bedeutet.

4. Die Dynamik des Systems wird eindeutig durch die Zuordnung eines selbstadjungierten nach unten beschränkten Operators $\op{H}$ , des Hamiltonoperators des Systems, bestimmt.

   Ist $\op{O}$ der die Observable $O$ repräsentierende selbstadjungierte Operator, so repräsentiert die kovariante Zeitableitung

   $$\mathring{\op{O}}=\frac{1}{\i \hbar} \comm{\op{O}}{\op{H}}+\partial_t^{\text{expl}} \op{O}$$ (2.2.3)

   
   
   die zeitliche Ableitung $\dot{O}$ der Observablen $O$ .