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Die Grundpostulate der Quantentheorie

Wir stellen zunächst die Struktur der Quantentheorie in einigen Grundpostulaten zusammen und erläutern sie in den folgenden Abschnitten genauer:

  1. Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch einen normierten Vektor $ \ket{\psi}$ eines Hilbertraums $ \mathcal{H}$ repräsentiert.

  2. Jede physikalische Observable $ O$ wird durch einen (auf einem dichten Teilraum von $ \mathcal{H}$ definierten) selbstadjungierten Operator $ \op{O}$ repräsentiert.

    Die möglichen Meßwerte der Observablen sind durch die (verallgemeinerten) Eigenwerte des ihr zugeordneten Operators gegeben.

  3. Die (verallgemeinerten) Eigenvektoren $ \ket{o,\alpha}$ des Operators $ \op{O}$ zum (verallgemeinerten) Eigenwert $ o$ können normiert und zueinander orthogonal bzw. auf die $ \delta$-Distribution normiert gewählt werden, d.h. so, daß

    $\displaystyle \braket{o',\alpha'}{o,\alpha}=\delta{o'-o} \delta(\alpha'-\alpha).$ (2.2.1)

    Dabei bezeichnet $ \alpha$ einen oder mehrere Parameter, die im Falle einer Entartung des Eigenraums die Eigenvektoren durchnumerieren. Diese Parameter können sowohl kontinuierliche als auch diskrete Werte durchlaufen, und die $ \delta$-Symbole in Gl. (2.2.1) bezeichnen entsprechend $ \delta$-Distributionen oder Kronecker-$ \delta$'s. Ist das System bei einer Messung der Observablen $ O$ im normierten Zustand $ \ket{\psi}$ präpariert, so ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Messung der Observablen $ O$ den Eigenwert $ o$ des ihr zugeordneten Operators $ \op{O}$ zu finden, ist durch die Bornsche Formel

    $\displaystyle w_{\psi}(o)=\sumint{} \d \alpha \vert\braket{o,\alpha}{\psi}\vert^2$ (2.2.2)

    gegeben, wobei das kombinierte Summations-Integrations-Symbol den kontinuierlichen und die Summe über den diskreten Teil des Parameters $ \alpha$ bedeutet.

  4. Die Dynamik des Systems wird eindeutig durch die Zuordnung eines selbstadjungierten nach unten beschränkten Operators $ \op{H}$, des Hamiltonoperators des Systems, bestimmt.

    Ist $ \op{O}$ der die Observable $ O$ repräsentierende selbstadjungierte Operator, so repräsentiert die kovariante Zeitableitung

    $\displaystyle \mathring{\op{O}}=\frac{1}{\i \hbar} \comm{\op{O}}{\op{H}}+\partial_t^{\text{expl}} \op{O}$ (2.2.3)

    die zeitliche Ableitung $ \dot{O}$ der Observablen $ O$.




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