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Hamiltonsche kanonische Mechanik

In diesem Kapitel erinnern wir in aller Kürze an die Formulierung der klassischen Mechanik von Punktteilchen mit Hilfe des Hamiltonschen Prinzips der kleinsten Wirkung in seiner Hamiltonschen (erweiterten) Form.

Die Wirkung für einen Massenpunkt wird zunächst über die Lagrange-Funktion $ L(\vec{x},\dot{\vec{x}},t)$ als Funktional der Trajektorien im Konfigurationsraum definiert:

$\displaystyle A[\vec{x}]=\int_{t_1}^{t_2} \dd t \; L(\vec{x},\dot{\vec{x}},t).$ (6.2.1)

Die von dem Teilchen tatsächlich durchlaufene Trajektorie ergibt sich aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung, demzufolge das Wirkungsfunktional entlang dieser Trajektorie extremal (bzw. zumindest stationär) sein muß, wobei die Endpunkte der Bahn zu den Zeitpunkten $ t_1$ und $ t_2$ festzuhalten sind:

$\displaystyle \delta A[\vec{x}]=0$   unter der Nebenbedingung$\displaystyle \quad \delta \vec{x}(t_1)=\delta \vec{x}(t_2)=0.$ (6.2.2)

Führt man die Variation aus, erhält man

$\displaystyle \delta A=\int_{t_1}^{t_2} \dd t \; \left [\delta \vec{x} \frac{\p...
... \frac{\partial}{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} \right ] \stackrel{!}{=}0.$ (6.2.3)

Da beim Hamiltonschen Prinzip die Zeit nicht variiert wird, gilt $ \delta
\dot{\vec{x}} = \dd/\dd t (\delta \vec{x})$, und durch partielle Integration folgt unter den Randbedingungen in (6.2.2)

$\displaystyle \delta A=\int_{t_1}^{t_2} \dd t \; \delta \vec{x} \left [\frac{\p...
...d}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} \right ] \stackrel{!}{=} 0.$ (6.2.4)

Da wir nun für $ \delta \vec{x}$ beliebige hinreichend glatte Funktionen einsetzen dürfen, folgt aus dem Verschwinden der Variation des Wirkungsfunktionals wegen (6.2.4) das Verschwinden der eckigen Klammer unter dem Integral und also die Euler-Lagrange-Gleichungen

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \vec{x}}-\frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} \stackrel{!}{=}0.$ (6.2.5)

Setzen wir für ein Newtonsches Punktteilchen unter dem Einfluß eines äußeren Potentials die Lagrange-Funktion

$\displaystyle L(x,\dot{x},t)=\frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^{\,2}-V(t,\vec{x}).$ (6.2.6)

an, ergeben die Euler-Lagrange-Gleichungen in der Tat die Newtonsche Bewegungsgleichung

$\displaystyle m \ddot{\vec{x}}=-\frac{\partial V}{\partial \vec{x}}:=\vec{F}.$ (6.2.7)

Für das folgende ist allerdings die Hamiltonsche Formulierung im Phasenraum zweckmäßiger. Dazu definieren wir die zu den Konfigurationsvariablen $ \vec{x}$ gehörigen kanonisch konjugierten Impulse

$\displaystyle \vec{p}:=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}}$ (6.2.8)

und die Hamilton-Funktion als Legendre-Transformierte der Lagrangefunktion bzgl. $ \vec{p}$:

$\displaystyle H(\vec{x},\vec{p},t)=\vec{p} \cdot \dot{\vec{x}}-L(\vec{x},\dot{\vec{x}},t).$ (6.2.9)

Dabei sind in der Lagrangefunktion die Geschwindigkeiten $ \dot{\vec{x}}$ durch die kanonischen Impulse $ \vec{p}$ auszudrücken. Die Wirkung wird dann zu einem Funktional für Phasenraumtrajektorien $ [\vec{x}(t),\vec{p}(t)]$,

$\displaystyle A[\vec{x},\vec{p}]=\int_{t_1}^{t_2} \dd t \; [\vec{p} \cdot \dot{\vec{x}} - H(\vec{x},\vec{p},t)].$ (6.2.10)

Das erweiterte Hamiltonsche Prinzip besagt dann, daß sich die tatsächlich durchlaufene Phasenraumtrajektorie des Teilchens aus der Stationarität unter unabhängigen Variationen $ \delta \vec{x}$, $ \delta
\vec{p}$ mit den Randbedingungen $ \delta \vec{x}(t_1)=\delta
\vec{x}(t_2)=0$ ergibt6.3.

Führen wir die Variation aus, ergeben sich die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (Übung!)

$\displaystyle \dot{\vec{x}}=\frac{\partial H}{\partial \vec{p}}, \quad \dot{\vec{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \vec{x}}.$ (6.2.11)

Daß diese in der Tat zu den Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent sind, ergibt sich direkt durch Bildung des totalen Differentials von (6.2.9):

$\displaystyle \dd H = \dd \vec{p} \cdot \dot{\vec{x}}-\dd \vec{x} \cdot \frac{\...
...cdot \frac{\partial H}{\partial \vec{x}} + \dd t \frac{\partial H}{\partial t}.$ (6.2.12)

Dabei haben wir von der Definition der kanonisch konugierten Impulse (6.2.8) Gebrauch gemacht. Ein Vergleich der Differentiale ergibt

$\displaystyle \dot{\vec{x}}=\frac{\partial H}{\partial \vec{p}}, \quad \frac{\partial L}{\partial \vec{x}}=-\frac{\partial H}{\partial \vec{x}}.$ (6.2.13)

Die erste Gleichung ist identisch mit der ersten Hamiltonschen Gleichung in (6.2.11). Gelten dann für die Trajektorie die Lagrangegleichungen folgt zusammen mit (6.2.8) auch die zweite Hamiltonsche Gleichung.

Der Vorteil der Hamiltonschen Formulierung liegt im Zusammenhang mit den Symmetriebetrachtungen und schließlich der Analogie zur Quantentheorie in folgender Beobachtung. Betrachten wir eine beliebige Funktion $ f:\Omega \rightarrow \R$, wobei $ \Omega$ den durch $ (\vec{x},\vec{p})$ parametrisierten sechsdimensionalen Phasenraum bezeichnet, so folgt für Trajektorien, die den Hamiltonschen kanonischen Gleichungen genügen,

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$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} f(\vec{x},\vec{p}...
...tial f}{\partial \vec{p}} \cdot \frac{\partial H}{\partial \vec{x}}=:\pb{f}{H}.$ (6.2.14)

Dabei definieren wir die Poisson-Klammer für zwei beliebige Phasenraumfunktionen $ f,g:\Omega \rightarrow \R$ durch

$\displaystyle \pb{f}{g}=\frac{\partial f}{\partial \vec{x}} \cdot \frac{\partia...
... \frac{\partial f}{\partial \vec{p}} \cdot \frac{\partial g}{\partial \vec{x}}.$ (6.2.15)

Es ist nun entscheidend, daß die Phasenraumfunktionen mit der Poisson-Klammer eine Lie-Algebra bilden. Es ist offensichtlich, daß die Poisson-Klammer linear in beiden Argumenten ist und daß sie antisymmetrisch ist, d.h. daß

$\displaystyle \pb{f}{g}=-\pb{g}{f}$ (6.2.16)

gilt. Auch der Nachweis der Jacobiidentität

$\displaystyle \pb{\pb{f}{g}}{h} + \pb{\pb{g}{h}}{f} + \pb{\pb{h}{f}}{g} = 0$ (6.2.17)

ist durch Nachrechnen unter Verwendung der Definition (6.2.15) zu führen, wenngleich dies mit etwas Schreibarbeit verbunden ist (Übung!).




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