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Kanonische Transformationen

Die kanonischen Transformationen sind umkehrbar eindeutige Funktionen $ \R \times \Omega \rightarrow \Omega$

$\displaystyle \vec{x}=\vec{x}(t,\vec{X},\vec{P}), \quad \vec{p}=\vec{p}(t,\vec{X},\vec{P}),$ (6.3.1)

die die Eigenschaft haben, daß sie die Sturktur der Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (6.2.13) invariant lassen. Um diese Eigenschaft genauer zu charakterisieren und die Form des Hamilton-Operators in den neuen Koordinaten $ H'(t,\vec{X},\vec{P})$ zu erhalten, ist es am bequemsten, die Invarianz der Variation der Wirkung zu verlangen. Dazu muß in

$\displaystyle I[\vec{X},\vec{P}]-I[\vec{x},\vec{p}]=\int_{t_1}^{t_2} \dd t \; \...
...'(t,\vec{X},\vec{P}) -\dot{\vec{x}} \cdot \vec{p} +H(t,\vec{x},\vec{p}) \right]$ (6.3.2)

der Integrand in der eckigen Klammer offenbar die totale Zeitableitung einer Funktion von $ \vec{x}(t)$ und $ \vec{X}(t)$ (sowie evtl. explizit von $ t$) allein sein, weil nur dann die Variation aufgrund der Nebenbedingungen $ \delta q(t_1)=\delta Q(t_1)=\delta
q(t_2)=\delta Q(t_2)=0$ identisch verschwindet, d.h. es muß gelten

\begin{displaymath}\begin{split}\dot{\vec{X}} \cdot \vec{P} -H'(t,\vec{X},\vec{P...
...partial}{\partial t} \right ] f(t,\vec{x},\vec{X}). \end{split}\end{displaymath} (6.3.3)

Dabei bezieht sich die partielle Zeitableitung allein auf die explizite Zeitabhängigkeit von $ f$. Durch Vergleich der Koeffizienten vor $ \dot{\vec{X}}$ und $ \dot{\vec{x}}$ finden wir schließlich

\begin{displaymath}\begin{split}& \vec{P}=-\frac{\partial}{\partial \vec{X}} f(t...
...)+\frac{\partial}{\partial t} f(t,\vec{x},\vec{X}). \end{split}\end{displaymath} (6.3.4)

Gibt man also umgekehrt irgendeine beliebige Funktion $ f(\vec{x},\vec{X},t)$ vor, so kann man sich vermöge (6.3.4) die fehlenden Variablen $ \vec{P}$ und $ \vec{p}$ sowie die auf die neuen Phasenraumkoordinaten $ \vec{X}$, $ \vec{P}$ transformierte Hamiltonfunktion verschaffen, so daß die Bewegungsgleichungen in den neuen Koordinaten und mit der neuen Hamiltonfunktion wieder durch die kanonischen Hamiltonschen Gleichungen gegeben sind. Solche Transformationen nennen wir kanonische Transformationen, weil sie den kanonischen Hamiltonformalismus forminvariant lassen. Man nennt die Funktion $ f$ in (6.3.4) in diesem Zusammenhang auch die Erzeugende der kanonischen Transformation.

Man kann sich freilich durch direktes Nachrechnen der Ableitungen vermöge der Kettenregel auch direkt davon überzeugen, daß durch die Wahl der alten und neuen Koordinaten vermöge (6.3.4) tatsächlich die kanonischen Gleichungen in den neuen und alten Variablen äquivalent sind (Übung!).

Es ist klar, daß wir die Symmetrietransformationen der Galileigruppe innerhalb der Hamiltonschen Formulierung der kanonsichen Mechanik durch solche kanonischen Transformationen darstellen müssen. Wie wir gleich sehen werden, ist es für diesen Zweck günstiger, die erzeugende Funktion durch eine willkürlich vorgegebene Funktion der Form $ g(\vec{x},\vec{P},t)$ festzulegen. Damit das totale Differential von $ f$ wieder nur von $ \dd \vec{x}$ und $ \dd \vec{X}$ abhängt, müssen wir eine Legendre-Transformation der Gestalt

$\displaystyle f(\vec{x},\vec{X},t)=g(\vec{x},\vec{P},t)-\vec{X} \cdot \vec{P}$ (6.3.5)

durchführen. In der Tat ergibt sich dann

$\displaystyle \left [\dd \vec{x} \frac{\partial}{\partial \vec{x}} + \dd \vec{X...
...al}{\partial t} \right ]g-\dd \vec{X} \cdot \vec{P} - \vec{X} \cdot \dd \vec{P}$ (6.3.6)

Verwendet man auf der linken Seite die Beziehungen (6.3.4) und vergleicht die Koeffizienten der Differentiale mit denen auf der rechten Seite, erhalten wir

\begin{displaymath}\begin{split}& \vec{X}=\frac{\partial}{\partial \vec{P}} g(\v...
...)+\frac{\partial}{\partial t} g(\vec{x},\vec{P},t). \end{split}\end{displaymath} (6.3.7)




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