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Das Noether-Theorem (klassisch)

Wir wollen nun die im vorigen Abschnitt entwickelte Theorie der kanonischen Transformationen auf Symmetrien anwenden. Für das folgende genügt es, infinitesimale Symmetrietransformationen zu betrachten. Wir untersuchen infinitesimale Änderungen der Phasenraumvariablen und berücksichtigen zugleich eine Umparametrisierung der Zeit:

$\displaystyle \vec{X}=\vec{x}+\delta \vec{x}, \quad \vec{P}=\vec{p}+\delta \vec{p}, \quad t'=t+\delta t.$ (6.4.1)

Damit die Transformation bzgl. der Phasenraumvariablen eine kanonische Transformation ist, stellen wir sie mit einer kanonischen Transformation dar. Wir setzen weiter voraus, die Transformation sei durch eine Einparametergruppe gegeben wie Abschnitt 6.1 beschrieben. Den entsprechenden Parameter nennen wir $ \alpha$. Eine infinitesimale Transformation kann dann offenbar durch eine erzeugende Funktion der Gestalt

$\displaystyle g(\vec{x},\vec{P},t)=\vec{x} \cdot \vec{P} + \delta \alpha G(\vec{x},\vec{P},t)$ (6.4.2)

beschrieben werden. In der Tat folgt zunächst aus (6.3.7)

$\displaystyle \vec{X}=\vec{x}+\delta \alpha \frac{\partial}{\partial \vec{P}} G(\vec{x},\vec{P},t).$ (6.4.3)

Wir berücksichtigen nun nur Terme in erster Ordnung in $ \delta \alpha$, so daß wir im zweiten Term für $ \vec{P}$ auch $ \vec{p}$ einsetzen können, d.h. es ist

$\displaystyle \vec{X}=\frac{\partial}{\partial \vec{P}} g=\vec{x} + \delta \alp...
...partial}{\partial \vec{p}} G(\vec{x},\vec{p},t) + \mathcal{O}(\delta \alpha^2).$ (6.4.4)

Für die kanonischen Impulse finden wir gemäß (6.3.7)

$\displaystyle \vec{p}=\frac{\partial}{\partial \vec{x}} g=\vec{P} + \delta \alp...
...partial}{\partial \vec{x}} G(\vec{x},\vec{p},t) + \mathcal{O}(\delta \alpha^2).$ (6.4.5)

Bis auf Größen der Ordnung $ \mathcal{O}(\delta \alpha^2)$ ist also

$\displaystyle \vec{P}=\vec{p}- \delta \alpha \frac{\partial}{\partial \vec{x}} G(\vec{x},\vec{p},t).$ (6.4.6)

Eine infinitesimale Symmetrietransformation liegt nun definitionsgemäß genau dann vor, wenn

$\displaystyle \delta H=\left [\delta \vec{x} \cdot \frac{\partial}{\partial \ve...
...\partial}{\partial \vec{p}} + \delta t \frac{\partial}{\partial t} \right ] H=0$ (6.4.7)

ist. Setzen wir darin (6.4.4) und (6.4.6) ein, finden wir

$\displaystyle \delta H = \delta \alpha \left [\frac{\partial H}{\partial \vec{x...
...tial G}{\partial \vec{x}} \right ]+ \delta t \frac{\partial H}{\partial t} = 0.$ (6.4.8)

Dies können wir definitionsgemäß durch die Poissonklammer gemäß (6.2.15) ausdrücken

$\displaystyle \delta H=\delta \alpha \pb{H}{G}+\delta t \frac{\partial H}{\partial t}=0.$ (6.4.9)

Andererseits läßt sich aber die Änderung von $ H$ aufgrund der kanonischen Transformation wegen (6.3.7) auch durch

$\displaystyle \delta H = \delta \alpha \frac{\partial G}{\partial t} + \delta t \frac{\partial H}{\partial t} = 0$ (6.4.10)

schreiben. Substituieren wir also $ \delta t \partial_t H$ in (6.4.9), finden wir

$\displaystyle \delta \alpha \left [\pb{H}{G}-\frac{\partial G}{\partial t} \rig...
... = - \delta \alpha \left [\pb{G}{H} + \frac{\partial G}{\partial t} \right ]=0.$ (6.4.11)

Wegen der (6.2.4) folgt dann für die tatsächliche Phasenraumtrajektorie der Teilchen

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} G(\vec{x},\vec{p},t)=0.$ (6.4.12)

Dies ist das Noether-Theorem6.4: Die kanonische Erzeugende jeder Einteilchensymmetriegruppe der Hamilton-Funktion ist eine Erhaltungsgröße der Bewegungsgleichungen. Aus der obigen Herleitung ist klar, daß auch die Umkehrung gilt: Jede Erhaltungsgröße der Bewegungsgleichungen stellt die kanonische Erzeugende einer Einparametersymmetriegruppe dar.

Formal haben also die kanonischen Transformationen eine sehr große Ähnlichkeit mit dem Lie-Gruppenformalismus aus Abschnitt 6.1: Die Lie-Algebra ist dabei durch den Vektorraum der Phasenraumfunktionen mit der Poisson-Klammer als Lie-Produkt gegeben. Die entsprechende endliche Gruppe können wir für Transformationen, bei denen die Zeit nicht transformiert wird, formal mit Hilfe der durch den Generator erzeugten Lie-Ableitung finden. Für die infinitesimale Transformation einer beliebigen Phasenraumfunktion $ f(\vec{x},\vec{p},t)$ folgt wie oben für die Hamiltonfunktion hergeleitet

$\displaystyle \delta f=\delta \alpha \pb{f}{G}.$ (6.4.13)

Betrachten wir die endliche Transformation der Phasenraumkoordinaten als Funktion des Einparametergruppenparameters $ \alpha$ folgt daraus

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd \alpha} f[\vec{x}(\alpha),\vec{p}(\alpha),t] = \pb{f}{G}=:\ii \mathfrak{L}_G f [\vec{x}(\alpha),\vec{p}(\alpha),t].$ (6.4.14)

Da $ G$ voraussetzungsgemäß selbst nicht von $ \alpha$ abhängt, folgt als formale Lösung

$\displaystyle f[\vec{x}(\alpha),\vec{p}(\alpha),t] = \exp(\ii \alpha \mathfrak{L}_G) f[\vec{x},\vec{X},t].$ (6.4.15)

Wir wenden nun das Noether-Theorem auf die Einparameteruntergruppen der Galileitransformationen an.

Zeittranslationen: Für zeitliche Translationen ist

$\displaystyle \delta \vec{x}=\delta \alpha \dot{\vec{x}}, \quad \delta \vec{p}=\delta \alpha \dot{\vec{p}}, \quad \delta t=\delta \alpha.$ (6.4.16)

Damit dies eine Symmetrietransformation der Hamilton-Funktion ist, darf diese gemäß (6.4.9) nicht explizit von der Zeit abhängen. Da die zeitliche Änderung der Phasenraumvariablen $ \vec{x}$ und $ \vec{p}$ durch die Hamiltonfunktion gegeben ist, ist die zu zeitlichen Translationen gehörige kanonische Erzeugende die Hamilton-Funktion und diese ist zeitlich erhalten, wenn sie nicht explizit von der Zeit abhängt. Dies ist wegen (6.2.14) und der Antisymmetrie der Poisson-Klammer trivial, denn falls $ H$ nicht explizit von der Zeit abhängt, ist

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} H(\vec{x},\vec{p})=\pb{H}{H} \equiv 0.$ (6.4.17)

Die zur zeitlichen Translationsinvarianz gehörige Erhaltungsgröße nennen wir Energie, so daß diese folglich durch die Hamiltonfunktion gegeben ist.

Räumliche Translationen: Angenommen, die Hamilton-Funktion sei unter räumlichen Translationen in der Richtung $ \vec{n}$ invariant. Die Symmetrietransformation lautet

$\displaystyle \delta \vec{x}=-\vec{n} \delta \alpha, \quad \delta \vec{p}=0, \quad \delta t=0.$ (6.4.18)

Aus (6.4.3) und (6.4.6) folgt für die Erzeugendenfunktion

$\displaystyle \frac{\partial G}{\partial \vec{x}}=0, \quad \frac{\partial G}{\partial \vec{p}} = \vec{n}.$ (6.4.19)

Die erzeugende Funktion ist also (bis auf eine irrelevante Konstante)

$\displaystyle G(\vec{x},\vec{p})=\vec{n} \cdot \vec{p},$ (6.4.20)

d.h. die dazugehörige Erhaltungsgröße ist die Komponente des kanonischen Impulses in Richtung von $ \vec{n}$. Die Symmetrie liegt gemäß (6.4.9) tatsächlich vor, wenn die entsprechende Richtungsableitung

$\displaystyle \pb{H}{G}=\frac{\partial H}{\partial \vec{x}} \cdot \frac{\partia...
...\partial G}{\partial \vec{x}}=\vec{n} \cdot \frac{\partial H}{\partial \vec{x}}$ (6.4.21)

der Hamilton-Funktion nach den Ortskoordinaten verschwindet. Dies ist auch anschaulich klar:
Translationsinvarianz unter Verschiebungen in Richtung von $ \vec{n}$ bedeutet, daß die Hamilton-Funktion nicht von der entsprechenden Ortskomponente abhängt.

Drehungen: Die infinitesimalen Drehungen um eine Drehachse in Richtung von $ \vec{n}$ sind gemäß (6.1.21) durch

$\displaystyle \delta \vec{x}=-\delta \alpha \vec{n} \times \vec{x} \stackrel{!}...
...imes \vec{p} \stackrel{!}{=} \delta \alpha \frac{\partial G}{\partial \vec{x}}.$ (6.4.22)

gegeben. Es ist also

$\displaystyle \frac{\partial G}{\partial p_j} = \epsilon_{jkl} n_k q_l \; \Righ...
...jkl} n_k q_l p_j = \vec{n} \cdot (\vec{x} \times \vec{p}) + \tilde{G}(\vec{x}).$ (6.4.23)

Leiten wir dies nach $ x_l$ ab, erhalten wir

$\displaystyle \epsilon_{jkl} n_k p_j + \frac{\partial \tilde{G}}{\partial x_l} ...
..._{lkj} n_k p_j = + \epsilon_{jkl} n_k p_j \, \Rightarrow \, \tilde{G}(\vec{x})=$const$\displaystyle .$ (6.4.24)

Die Konstante ist wieder physikalisch irrelevant, so daß also

$\displaystyle G(\vec{x},\vec{p})=\vec{n} \cdot (\vec{x} \times \vec{p}) =: \vec{n} \cdot \vec{L}$ (6.4.25)

ggf. die Erhaltungsgröße die durch $ \vec{n}$ gegebene Komponente des Drehimpulses $ \vec{L}=\vec{x} \times \vec{p}$ ist. Eine einfache Rechnung (Übung) ergibt gemäß (6.4.9), daß die Symmetrie vorliegt, wenn

$\displaystyle \vec{n} \cdot \left (\vec{x} \times \frac{\partial H}{\partial \vec{x}} + \vec{p} \times \frac{\partial H}{\partial \vec{p}} \right ) = 0.$ (6.4.26)

Falls wir eine Hamilton-Funktion der einfachsten Form

$\displaystyle H(\vec{x},\vec{p})=\frac{\vec{p}^2}{2m} + V(\vec{x})$ (6.4.27)

vorliegen haben, reduziert sich dies auf die Forderung, daß

$\displaystyle \vec{n} \cdot [\vec{x} \times \vec{\nabla} V(\vec{x})]=-\vec{n} \cdot (\vec{x} \times \vec{F})=0$ (6.4.28)

ist, d.h. daß die Komponente des Drehmoments in Richtung der Drehachse verschwindet. Damit die Hamilton-Funktion dieser Form überhaupt unter allen Drehungen invariant ist, muß diese Forderung für alle $ \vec{n}$ gelten, und es muß $ \vec{M}=\vec{x} \times
\vec{F}=0$ gelten. Dies ist offenbar genau dann erfüllt, wenn $ \vec{F}
\propto \vec{x}$ ist. Das bedeutet, daß das Potential eine Funktion von $ \vert\vec{x}\vert$ sein muß, denn nur dann ist

$\displaystyle \vec{\nabla}V(\vert\vec{x}\vert)=V'(\vert\vec{x}\vert) \vec{\nabl...
...rt\vec{x}\vert=V'(\vert\vec{x}\vert) \vec{x}/\vert\vec{x}\vert \propto \vec{x}.$ (6.4.29)

Dies ist ein typisches Beispiel dafür, wie Symmetrieforderungen die mögliche Form der Hamiltonfunktion einschränken können.

Galilei-Boosts: Betrachten wir schließlich noch einen Galileiboost in Richtung von $ \vec{n}$. Gemäß (6.1.1) lautet die infinitesimale Transformation für ein Teilchen in einem äußeren Potential

$\displaystyle \delta \vec{x} = -\delta w \vec{n} t, \quad \delta \vec{p}=-\delta w m \vec{n}, \quad \delta t=0.$ (6.4.30)

Es ergibt sich daraus für die Erzeugende der kanonischen Transformation

$\displaystyle G(\vec{x},\vec{p},t)=\vec{n} \cdot (m \vec{x}-\vec{p} t).$ (6.4.31)

Damit dies eine Symmetrie ist, muß gemäß (6.4.11) für eine Hamilton-Funktion in der Gestalt (6.4.27)

$\displaystyle \vec{n} \cdot \left (m \frac{\partial H}{\partial \vec{p}} - t \f...
...} \right )=-\vec{n} \cdot \left (\frac{\partial V}{\partial \vec{x}} \right )=0$ (6.4.32)

gelten. Das Potential muß also von der Ortskomponente in Richtung von $ \vec{n}$ unabhängig sein, d.h. es genügt für die Galilei-Boost-Invarianz bereits die Translationsinvarianz in diese Richtung. In diesem Fall ist wegen (6.4.20) also automatisch auch $ \vec{p}=$const, und der entsprechende Erhaltungssatz besagt wegen (6.4.31), daß

$\displaystyle \vec{n} \cdot \vec{x}=\vec{n} \cdot \left ( \vec{x}_0 + \frac{\vec{p}}{m} t \right )$ (6.4.33)

mit einer Integrationskonstanten $ \vec{x}_0$ gilt.

Verlangt man nun überhaupt Invarianz unter der vollen Galilei-Gruppe, so ergibt sich für ein einzelnes Teilchen, daß $ V=$const sein muß, da in alle Richtungen räumliche Translationsinvarianz herrschen muß. Aus der zeitlichen Translationsinvarianz folgt weiter, daß $ H$ nicht explizit von der Zeit abhängen darf. Es ist also $ H=H(\vec{p})$. Aus der Rotationsinvarianz folgt unter der Voraussetzung, daß $ \vec{p}$ sich unter Drehungen wie ein Vektor verhält, daß $ H$ nur vom Betrag von $ \vec{p}$ abhängen darf. Schließlich verlangt die Boostinvarianz zusätzlich die Erhaltung der Geschwindigkeit, welche gemäß (6.4.31) $ \dot{\vec{x}}=\vec{p}/m$ ist. Andererseits verlangt die eine verbleibende nichttriviale Hamiltonsche kanonische Gleichung, daß

$\displaystyle \dot{\vec{x}}=\frac{\partial H}{\partial \vec{p}} \stackrel{!}{=} \frac{\vec{p}}{m}$ (6.4.34)

ist, und das läßt sich wiederum aufintegrieren integrieren zu

$\displaystyle H=\frac{\vec{p}^2}{2m} +$   const$\displaystyle ,$ (6.4.35)

wobei die Integrationskonstante willkürlich ist, da sie in die Bewegungsgleichungen nicht eingeht. Wir haben also aus der Forderung nach Invarianz unter der vollen Galilei-Gruppe für ein einzelnes Teilchen die Hamiltonfunktion für ein freies Punktteilchen erhalten.

Für Zweiteilchensysteme folgt aus genau analogen Betrachtungen (Übung) die Form

$\displaystyle H=\frac{\vec{p}_1^2}{2m_1} + \frac{\vec{p}_2^2}{2m_2} + V(\vert\vec{x}_1-\vec{x}_2\vert).$ (6.4.36)

Wieder schränkt die Symmetrie unter allgemeinen Galilei-Transformationen die mögliche Form der Hamilton-Funktion stark ein. Das Potential der Zentralkraft für die Wechselwirkungskraft selbst folgt allerdings nicht aus der Galilei-Invarianz. Die konkrete Form der Zentralkräfte ist also im Rahmen der Newtonschen Mechanik eine zusätzliche (empirische!) Information erfordernde Fragestellung, die nicht durch die Galilei-Symmetrie allein entschieden werden kann.

Wir können nun bereits die oben erwähnte Verbindung der Galileigruppe der klassischen Mechanik zur Quantentheorie erahnen: Gelingt es, die infinitesimalen Boosts, raum-zeitlichen Translationen und die Drehungen als Symmetrietransformationen im quantentheoretischen Formalismus darzustellen, erhält man die Kommutatorrelationen der Observablenoperatoren zu Energie, Impuls (raum-zeitliche Translationen), Drehimpuls (Drehungen) und Ortsvektor (Galilei-Boosts). Dabei ergeben sich aus den infinitesimalen Gruppenoperationen die Liealgebra und damit die Kommutatorregeln zwischen den entsprechenden Observablenoperatoren.

Ein Beispiel haben wir in Abschnitt 2.1 anhand der räumlichen Translationen angegeben. Wir wollen diese Betrachtung nun durch eine systematische Untersuchung der Galilei-Gruppe vervollständigen. Wie wir sehen werden, gewinnen wir daraus zum einen die aus QM I bekannte Quantentheorie eines klassischen Punktteilchens als Spezialfall aber auch die wichtige Verallgemeinerung auf Teilchen mit Spin.




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