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Quantentheoretische Formulierung von Symmetrien

Um Symmetrieprinzipien für die in den vorigen Abschnitten im Kontext der klassischen Mechanik besprochenen kontinuierlichen Raum-Zeit-Symmetrien in der Quantentheorie zu behandeln, benötigen wir die Darstellungstheorie von Lie-Gruppen bzw. Lie-Algebren auf dem Raum der quantenmechanischen Zustände. Dabei ist es wichtig, daß die Zustandsvektoren immer nur bis auf einen Phasenfaktor relevant sind. Es ist daher zur Beschreibung der quantenmechanischen Zustände hinreichend, statt der Zustandsvektoren selbst die entsprechenden Statistischen Operatoren des reinen Zustands

$\displaystyle \op{P}_{\psi}=\ketbra{\psi}{\psi}$ (6.5.1)

zu verwenden. Wie wir in Aschnitt 2.8 gesehen haben, können Symmetrien durch unitäre Operatoren $ \op{U}$ beschrieben werden. Die Statistischen Operatoren und Observablenoperatoren transformieren sich dann gemäß

$\displaystyle \op{P}_{\psi}'=\op{U} \op{P}_{\psi} \op{U}^{\dagger}, \quad \op{O}' = \op{U} \op{O} \op{U}^{\dagger}.$ (6.5.2)

Daraus wird aber unmittelbar klar, daß jede unitäre Transformation, die sich von $ \op{U}$ nur um einen Phasenfaktor unterscheidet,

$\displaystyle \op{U}'=\exp(\ii \varphi) \op{U},$ (6.5.3)

vollständig äquivalent zu der Realisierung der Symmetrie durch $ \op{U}$ ist, denn die Ausdrücke (6.5.2) ändern sich nicht, wenn man statt $ \op{U}$ die Transformation $ \op{U}'$ verwendet. Es sind also die unitären Transformationen, die Symmetrien beschreiben, nur bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor festgelegt.

Betrachtet man genauer, welche Größen gemäß den Postulaten der Quantentheorie (vgl. Abschnitt 2.2) beobachtbaren Aussagen entsprechen, stellt man sogar fest, daß Symmetrietransformationen auch
durch antiunitäre Transformationen beschrieben werden können. Dabei heißt eine Transformation $ \op{A}$ antiunitär, wenn sie antilinear ist, d.h. wenn

$\displaystyle \op{A} (\lambda_1 \ket{\psi_1} + \lambda_2 \ket{\psi_2}) = \lambda_1^* \op{A} \ket{\psi_1} + \lambda_2^* \op{A} \ket{\psi_2}$ (6.5.4)

gilt. Weiter heißt eine antilineare Abbildung $ \op{U}$ antiunitär, wenn für Skalarprodukte beliebiger Vektoren

$\displaystyle \braket{\op{U} \psi_1}{\op{U} \psi_2}=\braket{\psi_1}{\psi_2}^* = \braket{\psi_2}{\psi_1}$ (6.5.5)

ist.

Nach einem berühmten Theorem von Wigner muß jede Symmetrietransformation in der Quantentheorie entweder durch eine unitäre oder eine antiunitäre Transformation dargestellt werden. Den einfachen aber umfangreichen Beweis wollen wir hier nicht führen. Der interessierte Leser sei auf [Bar64] oder [Hee98] verwiesen. Außerdem zeigt sich, daß Symmetrietransformationen, die stetig aus der Identität $ \einsop_{\mathcal{H}}$ hervorgehen, stets durch unitäre Operatoren dargestellt werden müssen.

Sei also $ G$ eine Lie-Gruppe mit Parametern $ \theta=(\theta_a) \in D
\subseteq \R^n$, wobei $ a \in \{1,2,\ldots,n \}$. Dann definieren wir die Funktion $ f:D^2 \rightarrow D$ durch die Forderung

$\displaystyle \Gamma(\theta_2) \Gamma(\theta_1) =\Gamma[f(\theta_2,\theta_1)].$ (6.5.6)

Es sei nun $ \op{U}:G \rightarrow
\mathcal{U}(\mathcal{H})$6.5, so daß

$\displaystyle \op{U}(\Gamma_2 \Gamma_1) = \exp[\ii \Phi(\Gamma_2,\Gamma_1)] \op{U}(\Gamma_2) \op{U}(\Gamma_1)$ (6.5.7)

mit $ \Phi(\Gamma_1,\Gamma_2) \in \R$ für alle $ \Gamma_1=\Gamma(\theta_1), \Gamma_2=\Gamma(\theta_2) \in G$ gilt. Man bezeichnet solch eine Abbildung eine unitäre Strahldarstellung der Gruppe. Offensichtlich stellt sie bis auf die quantentheoretisch irrelevanten Phasenfaktoren eine Realisierung der Gruppe durch unitäre Abbildungen auf dem Hilbertraum dar. Falls $ \Phi(\Gamma_2,\Gamma_1)
\equiv 0$ ist, spricht man von einer unitären Darstellung der Gruppe. Oft kann man durch einfache Umdefinition der Phasen der unitären Abbildungen alle $ \Phi(\Gamma_2,\Gamma_1)$ zum Verschwinden bringen. Dann ist es bequemer und ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich, direkt mit der dadurch entstehenden Darstellung zu arbeiten. Wie wir sehen werden, ist es für die Galileigruppe nicht möglich, eine für die Quantentheorie adäquate Darstellung zu finden, d.h. man muß eine echte Strahldarstellung betrachten.

Die Analyse der möglichen Strahldarstellungen für Lie-Gruppen wird nun erheblich erleichtert, weil man zunächst die entsprechenden Darstellungen der dazugehörigen Lie-Algebra betrachten kann und dann, zumindest in einer Umgebung der Gruppenidentität, aus diesen durch Exponentiation die dazughörigen Strahldarstellungen der Gruppe selbst gewinnen können. Im folgenden schreiben wir auch kurz $ \op{U}(\theta)$ für $ \op{U}[\Gamma(\theta)]$ und $ \Phi(\theta_2,\theta_1)$ für $ \Phi[\Gamma(\theta_2),\Gamma(\theta_1)]$. Definitionsgemäß sollen die Parameter so gewählt werden, daß $ \Gamma(0)=\einsop_G$ ist. Dann folgt aus der Beziehung (6.5.6)

$\displaystyle f(\theta,0)=f(0,\theta)=\theta.$ (6.5.8)

Daraus folgt für die Entwicklung der Funktion $ f$ bis zur zweiten Ordnung in den Gruppenparametern

$\displaystyle f_a(\theta_2,\theta_1)=\theta_{2a} + \theta_{1a}+C_{abc} \theta_{2b} \theta_{1c} +\cdots$   mit$\displaystyle \quad C_{abc} = \left . \frac{\partial^2 f_a(\theta_2,\theta_2)}{\partial \theta_{2a} \partial \theta_{1b}} \right\vert _{\theta_1=\theta_2=0}.$ (6.5.9)

Weiter können wir die Phasen einer jeden Transformation $ \op{U}(\Gamma)$ so gewählt denken, daß

$\displaystyle \Phi(\theta_2,0)=\Phi(0,\theta_1) \equiv 0$ (6.5.10)

ist. Aus dieser Bedingung folgt dann für die Entwicklung der Phasen

$\displaystyle \Phi(\theta_2,\theta_1)=\Phi_{ab} \theta_{2a} \theta_{1b}+\cdots$ (6.5.11)

(Übung!).

Setzen wir weiter

$\displaystyle \ii \op{\tau}_a=\left .\frac{\partial \op{U}(\theta)}{\partial \theta_a} \right\vert _{\theta=0}$ (6.5.12)

und nehmen wir an, daß die Gruppe (zumindest in einer bestimmten Umgebung der Gruppenidentität) einfach zusammenhängend ist, so daß für ein gegebenes (endliches) $ \theta \in D$ die ganze gerade Verbindungslinie $ \lambda \theta$, $ \lambda \in [0,1]$, ebenfalls in $ D$ liegt, so können wir dieselben Argumente wie bei der Herleitung von (6.1.31) für die Drehgruppe anwenden und erhalten

$\displaystyle \op{U}(\theta) = \exp(\ii \op{\tau}_a \theta_a).$ (6.5.13)

Aus der Unitarität der $ \op{U}$ folgt dann unmittelbar die Selbstadjungiertheit der $ \op{\tau}_a$, denn zunächst gilt

$\displaystyle \op{U}(\theta) \op{U}^{\dagger}(\theta)= \einsop_{\mathcal{H}} \,...
...\op{U}(\theta) \frac{\partial \op{U}^{\dagger}(\theta)}{\partial \theta_a} = 0.$ (6.5.14)

Setzen wir hierin $ \theta=0$ und verwenden die Definition (6.5.12) der $ \op{\tau}_a$, folgt in der Tat

$\displaystyle \op{\tau}_a^{\dagger} = \op{\tau}_a.$ (6.5.15)

Nun können wir mit Hilfe von (6.5.9) und (6.5.11) die Strahldarstellungseigenschaft (6.5.7) bis zur zweiten Ordnung in den Gruppenparametern entwickeln. Nach kurzer Rechnung (Übung!) folgt

\begin{displaymath}\begin{split}\einsop_{\mathcal{H}} & + \ii \op{\tau}_a \left ...
... \theta_{2b} \theta_{1c} + \theta_{2b} \theta_{2c}) \end{split}\end{displaymath} (6.5.16)

Der Koeffizientenvergleich liefert nach Kürzen der auf beiden Seiten gleichen Terme

$\displaystyle \ii \op{\tau}_a C_{abc} - \frac{1}{2} \acomm{\op{\tau}_b}{\op{\tau}_c} +\Phi_{bc} \einsop = -\op{\tau}_b \op{\tau}_c.$ (6.5.17)

Vertauschen wir in (6.5.16) $ \theta_1$ mit $ \theta_2$, erhalten wir wieder (6.5.17), allerdings mit vertauschten Indizes $ b$ und $ c$. Ziehen wir diese Gleichung von (6.5.17) ab, finden wir für die Kommutatorrelation

$\displaystyle \comm{\op{\tau}_b}{\op{\tau}_c} = \ii f_{abc} \op{\tau}_a + \ii C_{bc} \einsop_{\mathcal{H}}.$ (6.5.18)

Dabei heißen die

$\displaystyle f_{abc}=C_{acb}-C_{abc}$   und$\displaystyle \quad C_{bc}=\Phi_{bc}-\Phi_{cb}$ (6.5.19)

die Strukturkonstanten bzw. Zentralladungen der Strahldarstellung der Lie-Algebra. Während die Strukturkonstanten unabhängig von der konkreten Darstellung sind, denn $ C_{abc}$ folgt ja gemäß (6.5.6) als eine Eigenschaft der gewählten Parametrisierung der Gruppe, hängen die Zentralladungen von der Darstellung ab.

Die Strukturkonstanten und Zentralladungen gehorchen nun aber noch bestimmten Bedingungen, die sich aus der Jacobi-Identität

$\displaystyle \comm{\op{\tau}_a}{\comm{\op{\tau}_b}{\op{\tau}_c}} + \comm{\op{\...
...{\tau}_c}{\op{\tau}_c}} + \comm{\op{\tau}_c}{\comm{\op{\tau}_a}{\op{\tau}_b}}=0$ (6.5.20)

ergeben, die für beliebige Operatoren $ \op{\tau}_{a}$, $ \op{\tau}_{b}$ und $ \op{\tau}_{c}$ identisch erfüllt ist (Übung!). Verwenden wir nämlich (6.5.18) in (6.5.20) und vergleichen die Koeffizienten, folgt (Übung!)

  $\displaystyle f_{ead} f_{dbc} + f_{ebd} f_{dca} + f_{ecd} f_{dab}=0,$ (6.5.21)
  $\displaystyle C_{ad} f_{dbc} + C_{bd} f_{dca} + C_{cd} f_{dab}=0.$ (6.5.22)

Da (6.5.21) von den Zentralladungen unabhängig ist, gilt offensichtlich (6.5.22) identisch, wenn

$\displaystyle C_{ab}=f_{eab} \phi_e$   mit$\displaystyle \quad \phi_e \in \R$ (6.5.23)

ist. Falls es solche Zahlen $ \phi_e$ für eine gegebene Darstellung tatsächlich gibt, können wir zunächst die Generatoren vermöge

$\displaystyle \op{\tau}_a'=\op{\tau}_a + \phi_a \einsop_{\mathcal{H}}$ (6.5.24)

umdefinieren. Damit haben wir neue Operatoren $ \op{\tau}_a'$, die eine echte Darstellung der Lie-Algebra bilden, d.h. es gilt (Übung)

$\displaystyle \comm{\op{\tau}_b'}{\op{\tau}_c'} = \ii f_{abc} \op{\tau'}_a,$ (6.5.25)

und durch

$\displaystyle \op{U}'(\theta)=\exp(\ii \theta_a \op{\tau}_a')= \exp(\ii \phi_a ...
...ta_a) \exp(\ii \theta_a \op{\tau}_a) = \exp(\ii \phi_a \theta_a) \op{U}(\theta)$ (6.5.26)

wird (zumindest in einer einfach zusammenhängenden Umgebung der Gruppenidentität) eine zur Strahldarstellung $ \op{U}(\theta)$ quantentheoretisch äquivalente echte unitäre Darstellung der Gruppe definiert.

Da es einfacher ist, mit echten Darstellungen statt mit Strahldarstellungen zu operieren, werden wir im folgenden möglichst viele Zentralladungen durch einen Ansatz (6.5.24) zu eliminieren versuchen. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, gelingt dies für die physikalisch relevanten Strahldarstellungen der Galilei-Gruppe nur teilweise.




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