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Die Realisierungen der Galilei-Gruppe in der Quantentheorie

Mit den Vorbereitungen des vorigen Abschnitts können wir nun die Analyse der für die Quantentheorie relevanten unitären Strahldarstellungen der Galilei-Gruppe angehen.

Das generelle Vorgehen beim Aufsuchen der unitären Strahldarstellungen einer vorgegebenen Symmetriegruppe besteht darin, zunächst die dazugehörigen Darstellungen der (Strahl-)Lie-Algebren zu finden. Die selbstadjungierten Operatoren der Lie-Algebra bilden dann die Observablenoperatoren der entstehenden Quantentheorie. In unserem Fall der Galilei-Gruppe gelangen wir dadurch zu den Realisierungen der Observablen Energie, Impuls, Drehimpuls und Schwerpunkt (für ein einzelnes Teilchen also dem Ortsvektor).

Um die möglichen Strahldarstellungen aus den Kommutatorrelationen der Lie-Algebra, die aus der Gruppenstruktur folgen, konkret zu berechnen, werden (verallgemeinerte) Orthonormalbasissysteme aus Eigenvektoren eines möglichen maximalen Satzes kompatibler Operatoren konstruiert und die Wirkung der unitären Gruppentransformationen auf diese Basisvektoren bestimmt. Dieses Programm führen wir nun für die Galilei-Gruppe aus.

Zunächst bestimmen wir die Lie-Klammerrelationen der Galilei-Lie-Algebra. Die Lie-Algebra hat, wie in Abschnitt 6.1 gesehen, zehn Parameter $ \vec{w}$ (Boosts), $ \alpha$ (zeitliche Translationen), $ \vec{a}$ (räumliche Translationen) und $ \vec{\varphi}$ (Drehungen). Die Konvention für die Vorzeichen der Operatoren für die infinitesimalen Erzeugenden ist dabei wie folgt festgelegt:

$\displaystyle \op{U}(\vec{w},\alpha,\vec{a},\vec{\phi})=\exp(-\ii \vec{w} \cdot...
...a \op{H} + \ii \vec{a} \cdot \vec{\op{p}} + \ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}}).$ (6.6.1)

Verwenden wir (6.1.13) und (6.1.21) für die Darstellung infinitesimaler Transformationen, finden wir für die Entwicklung der Parameter für die Hintereinanderausführung zweier infinitesimaler Galilei-Transformationen $ \Gamma_3=\Gamma_2 \Gamma_1$

$\displaystyle w_{3j}$ $\displaystyle = w_{1j} + w_{2j} - \epsilon_{jkl} \phi_{2k} w_{1l} + \ldots,$ (6.6.2)
$\displaystyle \alpha_3$ $\displaystyle = \alpha_1+\alpha_2,$ (6.6.3)
$\displaystyle a_{3j}$ $\displaystyle = a_{1j} + a_{2j} -\epsilon_{jkl} \phi_{2k} a_{1l} +w_{2j} \alpha_1 ,$ (6.6.4)
$\displaystyle \phi_{3j}$ $\displaystyle = \phi_{1j} + \phi_{2j} - \epsilon_{jkl} \phi_{2k} \phi_{1l} + \ldots$ (6.6.5)

Daraus lesen wir durch Vergleich mit der entsprechenden Entwicklung von (6.6.1) mit Hilfe der Definition (6.5.18) die Strukturkonstanten ab. Weiter setzen wir für alle Kommutatoren willkürliche Zentralladungen an, deren Anzahl wir im folgenden durch Elimination mit Hilfe der Jacobidentitäten (6.5.22) möglichst reduzieren wollen. Es folgen also zunächst die Kommutatorrelationen (Übung!) mit der allgemeinsten Möglichkeit für das Auftreten von Zentralladungen:

$\displaystyle \comm{\op{J}_k}{\op{J}_l}$ $\displaystyle = \ii \epsilon_{jkl} \op{J}_j + \ii C_{kl}^{JJ} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.6)
$\displaystyle \comm{\op{J}_k}{\op{P}_l}$ $\displaystyle = \ii \epsilon_{jkl} \op{P}_j + \ii C_{kl}^{JP} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.7)
$\displaystyle \comm{\op{J}_k}{\op{K}_l}$ $\displaystyle = \ii \epsilon_{jkl} \op{K}_j + \ii C_{kl}^{JK} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.8)
$\displaystyle \comm{\op{P}_k}{\op{P}_l}$ $\displaystyle = \ii C_{kl}^{PP} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.9)
$\displaystyle \comm{\op{H}}{\op{P}_k}$ $\displaystyle = \ii C_{k}^{HP} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.10)
$\displaystyle \comm{\op{H}}{\op{J}_k}$ $\displaystyle = \ii C_{k}^{HJ} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.11)
$\displaystyle \comm{\op{K}_k}{\op{P}_l}$ $\displaystyle = \ii C_{kl}^{KP} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.12)
$\displaystyle \comm{\op{H}}{\op{K}_k}$ $\displaystyle = -\ii \op{P}_k + \ii C_k^{HK} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.13)
$\displaystyle \comm{\op{K}_k}{\op{K}_l}$ $\displaystyle = \ii C_{kl}^{KK} \einsop_{\mathcal{H}}.$ (6.6.14)

Wir benutzen nun die Jacobi-Identitäten für die Zentralladungen (6.5.22), die aus den Jacobi-Identitäten für jeweils drei der Erzeuger (6.6.6-6.6.14) folgen. Dabei sind die Jacobi-Identitäten für die Strukturkonstanten (6.5.21) automatisch erfüllt, weil die obigen Kommutatorregeln aus der Strahldarstellung der Lie-Algebra zur Galilei-Gruppe hervorgehen. Sie liefern also keine weiteren Einschränkungen. Außerdem brauchen wir nur Jacobi-Identitaten für die nichtabelschen Teile der Gruppe zu betrachten, weil für abelsche Untergruppen die Jacobi-Identitäten (6.5.22) automatisch erfüllt sind, weil in diesem Falle die entsprechenden Strukturkonstanten identisch verschwinden.

Da offensichtlich $ C_{kl}^{JJ}=-C_{lk}^{JJ}$ sein muß, können wir alle möglichen Zentralladungen einer Strahldarstellung der Drehgruppe in der Form

$\displaystyle C_{kl}^{jj} =-\epsilon_{nkl} \varphi_n$   mit$\displaystyle \quad \varphi_n \in \R$ (6.6.15)

schreiben. Da die $ \epsilon_{jkl}$ gerade die Strukturkonstanten der der Drehgruppe sind, erfüllen also die Zentralladungen der Drehgruppe automatisch die Bedingung (6.5.23), so daß wir durch geeignete Phasenwahl der $ \op{J}_k$ dafür sorgen können, daß

$\displaystyle C_{kl}^{JJ} \equiv 0$ (6.6.16)

ist.

Die Jacobi-Identität für die drei Generatoren $ \op{J}_k$, $ \op{P}_l$ und $ \op{P}_m$ liefert mit (6.6.7) und (6.6.9)

$\displaystyle \epsilon_{nmk} C_{ln}^{PP} + \epsilon_{nkl} C_{ml}^{PP}=0.$ (6.6.17)

Überschiebt man dies mit $ \delta_{mk}$ folgt

$\displaystyle \epsilon_{nkl} C_{kl}^{PP}=0$ (6.6.18)

und folglich, da $ C_{kl}^{PP}=-C_{lk}^{PP}$ ist,

$\displaystyle C_{kl}^{PP} \equiv 0.$ (6.6.19)

Auf exakt analoge Weise folgt aus der Jacobi-Identität für $ \op{J}_k$, $ \op{K}_l$ und $ \op{K}_m$, daß auch

$\displaystyle C_{kl}^{KK} \equiv 0$ (6.6.20)

sein muß.

Mit der Jacobi-Identität für $ \op{P}_k$, $ \op{K}_l$ und $ \op{J}_m$ finden wir

$\displaystyle \epsilon_{nlm} C_{kn}^{PK} - \epsilon_{nmk} C_{nl}^{PK}=0.$ (6.6.21)

Überschiebt man dies mit $ \delta_{mk}$, folgt

$\displaystyle \epsilon_{nlk} C_{kn}^{PK}=0 \, \Rightarrow \, C_{kn}^{PK}=C_{nk}^{PK}.$ (6.6.22)

Überschiebt man nun (6.6.21) mit $ \epsilon_{jkm}$, erhalten wir

$\displaystyle 3 C_{jl}^{PK}=C_{kk}^{PK} \delta_{jl} \, \Rightarrow \, C_{jl}^{PK}=-m \delta_{jl}$ (6.6.23)

mit $ m \in \R$, wobei $ m$ selbst keine weiteren Einschränkungen durch die Gruppenstruktur erfährt. Hier haben wir also eine nichttriviale Zentralladung gefunden.

Verwenden wir nun die Jacobi-Identität für $ \op{K}_k$, $ \op{J}_l$ und $ \op{J}_m$, erhalten wir

$\displaystyle \epsilon_{nlm} C_{kn}^{KJ} - \epsilon_{nmk} C_{nl}^{KJ} - \epsilon_{nkl} C_{nm}^{KJ}=0.$ (6.6.24)

Überschiebt man diese Gleichung mit $ \delta_{lm}$, folgt

$\displaystyle \epsilon_{nlk} C_{nl}^{KJ}=0 \, \Rightarrow \, C_{nl}^{KJ}=C_{ln}^{KJ}.$ (6.6.25)

Überschieben von (6.6.24) mit $ \epsilon_{lmo}$ liefert zusammen mit (6.6.25)

$\displaystyle 2 C_{ko}^{KJ} = C_{ll}^{KJ} \delta_{ok}.$ (6.6.26)

Nochmaliges Überschieben mit $ \delta_{ok}$ ergibt

$\displaystyle 2 C_{ll}^{KJ} = 3 C_{ll}^{KJ} \, \Rightarrow \, C_{ll}^{KJ}=0,$ (6.6.27)

und wegen (6.6.26) ist damit

$\displaystyle C_{ko}^{KJ} \equiv 0.$ (6.6.28)

Eine exakt gleichartige Rechnung ergibt vermöge der Jacobi-Identität für $ \op{P}_k$, $ \op{J}_l$ und $ \op{J}_m$ auch

$\displaystyle C_{ko}^{PJ} \equiv 0.$ (6.6.29)

Die Jacobi-Identität für $ \op{H}$, $ \op{P}_k$ und $ \op{J}_l$ liefert

$\displaystyle \epsilon_{nkl} C_n^{HP}=0 \, \Rightarrow \, C_n^{HP} \equiv 0.$ (6.6.30)

Die Jacobi-Identität für $ \op{H}$, $ \op{K}_k$ und $ \op{J}_l$ ergibt

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$\displaystyle \epsilon_{nkl} C_n^{HK}=C_{lk}^{JP} \stackrel{\text{(\ref{qt-symm.47.7})}}{=} 0$ (6.6.31)

und damit

$\displaystyle C_{n}^{HK} \equiv 0.$ (6.6.32)

Die einzige nichttriviale Zentralladung ist also durch (6.6.23) gegeben. Zur Untersuchung der Darstellungen der Galilei-Gruppe genügt es also, von den Kommutatorregeln

$\displaystyle \comm{\op{J}_k}{\op{J}_l}$ $\displaystyle = \ii \epsilon_{jkl} \op{J}_j,$ (6.6.33)
$\displaystyle \comm{\op{J}_k}{\op{P}_l}$ $\displaystyle = \ii \epsilon_{jkl} \op{P}_j,$ (6.6.34)
$\displaystyle \comm{\op{J}_k}{\op{K}_l}$ $\displaystyle = \ii \epsilon_{jkl} \op{K}_j$ (6.6.35)
$\displaystyle \comm{\op{P}_k}{\op{P}_l}$ $\displaystyle = 0,$ (6.6.36)
$\displaystyle \comm{\op{H}}{\op{P}_k}$ $\displaystyle = 0,$ (6.6.37)
$\displaystyle \comm{\op{H}}{\op{J}_k}$ $\displaystyle = 0,$ (6.6.38)
$\displaystyle \comm{\op{K}_k}{\op{P}_l}$ $\displaystyle = \ii m \delta_{kl} \einsop_{\mathcal{H}},$ (6.6.39)
$\displaystyle \comm{\op{H}}{\op{K}_k}$ $\displaystyle = -\ii \op{P}_k,$ (6.6.40)
$\displaystyle \comm{\op{K}_k}{\op{K}_l}$ $\displaystyle =0$ (6.6.41)

auszugehen.




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