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Nichtrelativistische Elementarteilchen

Wir definieren nichtrelativistische Elementarteilchen als solche Teilchen, deren Hilbert-Raum der Zustände eine irreduzible Strahldarstellung der vollen Galilei-Gruppe bilden. Dabei heißt eine Strahl-dar-stel-lung irreduzibel, wenn sich der Hilbert-Raum, auf dem diese Darstellung realisiert ist, nicht in (nichttriviale) Unter-Hilbert-Räume zerlegen läßt, d.h. aus jedem von 0 verschiedenen Vektor läßt sich durch Anwendung der unitären Darstellungsmatrizen $ \op{U}(\vec{w},\alpha,\vec{a},\vec{\phi})$ eine vollständige Basis des Hilbert-Raumes konstruieren.

Wir können nun alle irreduziblen Strahldarstellungen der Galilei-Lie-Algebra gewinnen, wobei wir, wie im vorigen Abschnitt gesehen, von den Kommutatorrelationen (6.6.33-6.6.41) ausgehen können, d.h. nur die Boost-Translations-Untergruppe enthält gemäß (6.6.39) eine nichttriviale Zentralladung, welche bereits eine die Darstellung charakterisierende Größe $ m$ liefert. Wir werden sehen, daß dies die Masse des Elementarteilchens ist.

Um nun eine irreduzible Darstellung zu finden, genügt es, eine Basis des Hilbertraums zu konstruieren und die Wirkung der Gruppenoperationen auf diesen Basisvektoren anzugeben. Dabei werden wir so vorgehen, daß wir zunächst die Basisvektoren als simultanen Eigenvektor eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler konstruieren. Dazu wählen wir die simultanen Eigenvektoren $ \ket{E,\vec{p},\sigma}$ des Hamilton-Operators $ \op{H}$ und der drei Impulskomponenten $ \vec{\op{P}}$. Dabei haben wir mit einem Satz zusätzlicher Parameter $ \sigma$ die Möglichkeit offen gelassen, daß diese Energie-Impulseigenvektoren entartet sein können. Nun betrachten wir zuerst die Wirkung eines Boostes auf diese Eigenvektoren. Von der klassischen Mechanik her erwarten wir, daß der Boost eines Energie-Impuls-Eigenvektors wieder einen solchen Eigenvektor zu entsprechend anderen Eigenwerten erzeugt. Betrachten wir also

$\displaystyle \pvec{\op{P}}(\vec{w}) = \exp(-\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \vec{\op{P}} \exp(\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}).$ (6.7.1)

Leiten wir diese Beziehung nach $ w_j$ ab, erhalten wir aufgrund der Kommutatorrelationen (6.6.41) und (6.6.39)

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial w_j} \op{P}_k'(\vec{w}) = m \delta_{kj}$ (6.7.2)

und zusammen mit der Anfangsbedingung $ \pvec{\op{P}}(0)=\vec{\op{P}}$

$\displaystyle \pvec{\op{P}}(\vec{w})=\vec{\op{P}}+m \vec{w} \einsop_{\mathcal{H}}.$ (6.7.3)

Daraus folgt

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$\displaystyle \vec{\op{P}} \exp(\ii \vec{w} \cdot...
...\vec{p}+m \vec{w}) \exp(\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \ket{E,\vec{p},\sigma}.$ (6.7.4)

Damit ist also $ \exp(\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}})
\ket{E,\vec{p},\sigma}$ Impulseigenvektor zum Eigenwert

$\displaystyle \pvec{p}=\vec{p}+m \vec{w}.$ (6.7.5)

Eine entsprechende Betrachtung des Operators

$\displaystyle \op{H}'(\vec{w})=\exp(-\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \op{H} \exp(\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}})$ (6.7.6)

liefert mit (6.6.41) und (6.7.3)

$\displaystyle \op{H}'(\vec{w}) = \op{H}+\vec{w} \cdot \vec{\op{P}} + \frac{1}{2} m \vec{w}^2.$ (6.7.7)

Entsprechend ist

$\displaystyle \op{H} \exp(\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \ket{E,\vec{p},\sigma...
... \vec{w}^2 \right ) \exp(\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \ket{E,\vec{p},\sigma}$ (6.7.8)

Falls $ m \neq 0$ ist, besitzt $ \vec{\op{P}}$ den ganzen $ \R^3$ als Spektrum, und die Boost-Untergruppe wirkt aufgrund der angenommenen Irreduzibilität der Strahldarstellung transitiv auf den verallgemeinerten Impulseigenvektoren. Wir können daher die folgende Wignerbasis für die Impulseigenvektoren wählen:

$\displaystyle \ket{E,\vec{p},\sigma}:=\exp \left (\ii \frac{\vec{p}}{m} \cdot \vec{\op{K}} \right ) \ket{E_0,\vec{p}=0,\sigma}.$ (6.7.9)

Für den Energieeigenwert folgt dann wegen (6.7.8)

$\displaystyle \op{H} \ket{E,\vec{p},\sigma} = \left (E_0 + \frac{\vec{p}^2}{2m} \right) \ket{E,\vec{p},\sigma}.$ (6.7.10)

Wir können nun aber $ \op{H}$ um beliebige zum Einheitsoperator proportionale Operatoren verschieben, ohne daß sich etwas an den Kommutatorrelationen (6.6.33-6.6.41) ändert. Wir dürfen also $ E_0=0$ annehmen. Dann ist

$\displaystyle E=\frac{\vec{p}^2}{2m},$ (6.7.11)

und folglich können wir statt $ \ket{E,\vec{p},\sigma}
=:\ket{\vec{p},\sigma}$ schreiben. Da voraussetzungsgemäß die $ \ket{\vec{p},\sigma}$ vollständig sind, folgt daraus

$\displaystyle \op{H} = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} \sum_{\sigma} \op{H} \ketbra{\...
...{p}^2}{2m} \ketbra{\vec{p},\sigma}{\vec{p},\sigma} = \frac{\vec{\op{P}}^2}{2m}.$ (6.7.12)

Mit der Wahl der Eigenvektoren (6.7.9) können wir aufgrund der Kommutativität der Galilei-Boosts sofort die Wirkung der Galilei-Boostuntergruppe auf die Impulseigenvektoren angeben:

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$\displaystyle \exp(\ii \vec{w} \cdot \op{\vec{K}}...
...sigma} \stackrel {\text{(\ref{qt-symm.67})}}{=} \ket{\vec{p}+m \vec{w},\sigma}.$ (6.7.13)

Jetzt müssen wir noch die Wirkung von Drehungen auf die Eigenvektoren untersuchen. Setzen wir $ \vec{\phi}=\phi \vec{n}$, so folgt aus den Kommutatorrelationen (6.6.34) ähnlich wie oben bei der Herleitung von (6.7.3) durch Ableiten nach $ \phi$ und anschließendem Zurückintegrieren (Übung)

$\displaystyle \pvec{\op{P}}(\vec{\phi}) = \exp(-\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J...
...P}} \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}}) = \hat{R}(\vec{\phi}) \vec{\op{P}}.$ (6.7.14)

Dabei ist $ \hat{R} \in \R^{3 \times 3}$ die gewöhnliche orthogonale Drehmatrix für eine Drehung um den Winkel $ \phi$ um die durch $ \vec{n}$ gegebene Drehrichtung. Damit folgt

$\displaystyle \vec{\op{P}} \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}} ) \ket{\vec{p...
...ec{\phi}) \vec{p} \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}}) \ket{\vec{p},\sigma}.$ (6.7.15)

Es ist also $ \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}})
\ket{\vec{p},\sigma}$ Impulseigenvektor zum Eigenwert $ \hat{R}(\vec{\phi}) \vec{p}$, und es muß folglich Zahlen $ D_{\sigma',\sigma}(\vec{p},\vec{\phi}) \in \C$ geben, so daß

$\displaystyle \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}}) \ket{\vec{p},\sigma} = \s...
..._{\sigma' \sigma}(\vec{p},\vec{\phi}) \ket{\hat{R}(\vec{\phi}) \vec{p},\sigma'}$ (6.7.16)

ist. Wir zeigen nun, daß die Matrizen $ D_{\sigma'
\sigma}(\vec{\phi}):=D_{\sigma'\sigma}(\vec{p}=0,\vec{\phi})$ eine unitäre Darstellung der Drehgruppe bilden müssen und daß dann auch die Wirkung von Drehungen auf beliebige Eigenvektoren $ \ket{\vec{p},\sigma}$ durch diese Darstellung bestimmt ist. Dazu wenden wir (6.7.16) wie folgt auf die Hintereinanderausführung zweier Drehungen

$\displaystyle \exp(\ii \vec{\phi}_3 \cdot \vec{\op{J}}) = \exp(\ii \vec{\phi}_2 \cdot \vec{\op{J}}) \exp(\ii \vec{\phi}_1 \cdot \vec{\op{J}})$ (6.7.17)

an:

\begin{displaymath}\begin{split}\exp(\ii \vec{\phi}_3 \cdot \vec{\op{J}}) \ket{\...
...phi}_1) \right]_{\sigma'' \sigma} \ket{0,\sigma''}. \end{split}\end{displaymath} (6.7.18)

Dies verlangt aber in der Tat die Darstellungseigenschaft

$\displaystyle \hat{D}(\vec{\phi}_3)=\hat{D}(\vec{\phi}_1) \hat{D}(\vec{\phi}_1).$ (6.7.19)

Falls wir also nichttriviale Darstellungen der Drehgruppe finden können, was wir im nächsten Abschnitt zeigen werden, transformieren sich Impulseigenzustände zum Impulseigenwert $ \vec{p}=0$ unter Drehungen unter eben dieser nichttrivialen Darstellung. Wir interpretieren diese der klassischen Physik fremde Eigenschaft, daß sich die Zustände eines ruhenden freien elementaren Teilchens unter Drehungen ändern können, dadurch, daß wir den durch diese Strahldarstellung der Galilei-Gruppe beschriebenen Teilchen eine zum Drehimpuls gehörige innere Quantenzahl zuschreiben, die als Spin bezeichnet wird. Dieser Name geht auf die etwas heikle Vorstellung zurück, daß Elementarteilchen neben den drei Translationsfreiheitsgraden eine Art inneren Drehimpuls in Analogie zum Drall eines ausgedehnten starren Körpers besitzen. Dies ist insofern problematisch als wir Elementarteilchen als punktförmig ansehen, da es physikalisch keinen Sinn ergibt, ihnen aufgrund der quantentheoretischen Beschreibung überhaupt eine Art von Ausdehnung zuzuordnen.

Nun können wir die Wirkung einer Drehung auf beliebige Basisvektoren $ \ket{\vec{p},\sigma}$ bestimmen. Dazu schreiben wir

\begin{displaymath}\begin{split}\exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}}) \ket{\ve...
...c{\phi} \cdot \vec{\op{J}} ) \ket{\vec{p}=0,\sigma} \end{split}\end{displaymath} (6.7.20)

Nun gilt

$\displaystyle \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}} ) \exp \left (\ii \frac{\v...
...\op{J}} ) = \exp \left(\ii \frac{\vec{p}}{m} \pvec{\op{K}}(\vec{\phi}) \right )$ (6.7.21)

mit

$\displaystyle \pvec{\op{K}}(\vec{\phi}) = \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}...
...p(-\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}} ) = \hat{R}^{-1}(\vec{\phi}) \vec{\op{K}},$ (6.7.22)

wobei die letzte Gleichung genauso herzuleiten ist wie die entsprechende Gleichung (6.7.14) für den Impulsoperator. Verwenden wir zuerst (6.7.16) in (6.7.20) und wenden dann nacheinaner (6.7.21) und (6.7.9) an, erhalten wir

$\displaystyle \exp(\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}}) \ket{\vec{p},\sigma} = \s...
...ma'} D_{\sigma' \sigma} (\vec{\phi}) \ket{\hat{R}(\vec{\phi}) \vec{p},\sigma'},$ (6.7.23)

wobei wir von der Orthogonalität der Drehmatrix $ \hat{R}(\vec{\phi})$ Gebrauch gemacht haben:

$\displaystyle \vec{p} \cdot [\hat{R}^{-1}(\vec{\phi}) \vec{\op{K}}] = [\hat{R}^...
...\vec{p}] \cdot \vec{\op{K}} = [\hat{R}(\vec{\phi}) \vec{p}] \cdot \vec{\op{K}}.$ (6.7.24)

Damit haben wir die Wirkung aller Bestandteile der Strahldarstellung der Galilei-Gruppe für ein Elementarteilchen festgelegt. Es verbleibt uns nur noch, die Darstellungen der Drehgruppe zu charakterisieren, um alle möglichen Realisierungen von Matrizen $ \hat{D}(\vec{\phi})$ zu ermitteln.

Wir müssen uns nun aber noch von der Unitarität der Strahldarstellung überzeugen. Für die zeitlichen und räumlichen Translationen ist dies klar, da diese die Basisvektoren $ \ket{\vec{p},\sigma}$ lediglich mit Phasenfaktoren multiplizieren, weil diese Vektoren konstruktionsgemäß Eigenvektoren der entsprechenden Erzeugenden $ \op{H}$ und $ \vec{\op{P}}$ sind. Für die Boosts folgt

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{\exp(\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \ve...
... = \braket{\vec{p}_1,\sigma_1}{\vec{p}_2,\sigma_2}. \end{split}\end{displaymath} (6.7.25)

Dabei sind wir davon ausgegangen, daß die $ \ket{\vec{p},\sigma}$ auf die übliche Weise normiert und daß sich die Darstellungsmatrizen $ \hat{D}(\vec{\phi})$ der Drehgruppe auf eine diskrete Basis beziehen. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, daß dies notwendig der Fall ist. Betrachten wir schließlich noch die Drehungen:

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{\exp(-\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}})...
...) \hat{D}(\vec{\phi}) \right ]_{\sigma_1 \sigma_2}. \end{split}\end{displaymath} (6.7.26)

Dabei haben wir bei der Umrechnung der $ \delta$-Distribution verwendet, daß $ \det \hat{R}(\vec{\phi})=1$ ist. Damit also die Strahldarstellung unitär ist, muß

$\displaystyle \hat{D}^{\dagger}(\vec{\phi}) \hat{D}(\vec{\phi}) = \einsop,$ (6.7.27)

also die Darstellung der Drehgruppe $ \hat{D}(\vec{\phi})$ unitär sein. Damit die Strahldarstellung irreduzibel ist, muß offenbar auch die unitäre Darstellung der Drehgruppe irreduzibel sein, denn nur dann können alle Eigenzustände zum Impulseigenwert $ \vec{p}=0$ durch Anwendung von Drehungen aus einem beliebigen solchen Zustand gewonnen werden.

Wir müssen also noch die unitären irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe finden, um unsere Darstellungstheorie der Galilei-Symmetrie und damit die Beschreibung nichtrelativistischer Elementarteilchen abzuschließen.

Zunächst bemerken wir, daß die Galilei-Boosts für sich genommen eine (Abelsche) Untergruppe der vollen Galilei-Gruppe bilden, die insbesondere keine Drehungen generieren kann. Daher können die eben konstruierten Basiszustände als dyadisches Produkt

$\displaystyle \ket{\vec{p},\sigma}=\ket{\vec{p}} \otimes \ket{\sigma}$ (6.7.28)

geschrieben werden, und der Drehimpuls läßt sich in einen Bahndrehimpuls- und einen Spinanteil zerlegen:

$\displaystyle \vec{\op{J}}=\vec{\op{L}} \times \einsop + \einsop \times \vec{\op{S}}=:\vec{\op{L}} + \vec{\op{S}}.$ (6.7.29)

Offensichtlich gelten dann die Drehimpulskommutatorregeln (6.6.33) für $ \vec{\op{L}}$ und $ \vec{\op{S}}$, und diese Operatoren kommutieren untereinander. Die Darstellung der Drehungen ist damit durch

$\displaystyle \exp(-\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{J}}) \ket{\vec{p},\sigma} = \...
...}}) \ket{\vec{p}} \otimes \exp(-\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{S}}) \ket{\sigma}$ (6.7.30)

gegeben. Es läßt sich dann aus den Kommutatorrelationen (6.6.33-6.6.41) herleiten (Übung!), daß wir

$\displaystyle \vec{\op{L}}=\frac{1}{m} \vec{\op{K}} \times \vec{\op{P}}$ (6.7.31)

setzen können. Der Spinoperator kommutiert mit allen Operatoren außer den Spinoperatorkomponenten selbst, die die Drehimpulsalgebra

$\displaystyle \comm{\op{S}_k}{\op{S}_l}=\ii \epsilon_{jkl} \op{S}_j$ (6.7.32)

erfüllen.




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