Nächste Seite: Das Noether-Theorem (quantenmechanisch) Aufwärts: Galilei-Symmetrie Vorherige Seite: Nichtrelativistische Elementarteilchen   Inhalt


Die unitären irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe

Zur vollständigen Charakterisierung der unitären irreduziblen Strahldarstellungen der Galileigruppe fehlt jetzt nur noch die Konstruktion der irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe.

Im vorigen Abschnitt haben wir gesehen, daß die $ \ket{\vec{p}=0,\sigma}=\ket{\vec{p}=0} \otimes \ket{\sigma}$, also die Energie-Impuls-Eigenzustände zum Impulseigenwert $ \vec{p}=0$ einen Darstellungsraum der Drehgruppe zu einer irreduziblen unitären Darstellung aufspannen. Dabei wirken auf die $ \ket{\sigma}$ die Spinoperatoren, die die Kommutatorregeln (6.7.32) erfüllen. Die entsprechenden unitären Darstellungen der Drehgruppe wollen wir im folgenden konstruieren.

Laut (6.6.33) wird die Lie-Algebra der Drehgruppe durch die drei selbstadjungierten Drehimpulsoperatoren $ \vec{\op{S}}$ aufgespannt, und es gelten die Kommutatorrelationen

$\displaystyle \comm{\op{S}_j}{\op{S}_k}=\i \epsilon_{jkl} \op{S}_l.$ (6.8.1)

Zunächst erwarten wir, daß $ \vec{\op{S}}^2$ mit allen $ \vec{\op{S}}$ vertauscht. Mit (6.8.1) ist dies sofort zu bestätigen:

$\displaystyle \comm{\op{S}_k}{\op{S}_l\op{S}_l}=\ii \epsilon_{klm} (\op{S}_l \op{S}_m + \op{S}_m \op{S}_l)=0.$ (6.8.2)

Man nennt einen Operator, der mit allen Elementen einer Lie-Algebra vertauscht, einen Casimir-Operator. Folglich ist $ \vec{\op{S}}^{2}$ also ein Casimir-Operator der Drehgruppe. Wir können die irreduziblen Darstellungen einer Lie-Algebra durch den Eigenwert der untereinander kommutierenden Casimir-Operatoren charakterisieren, denn für eine irreduzible Darstellung können wir alle Vektoren durch Anwendung einer Drehung $ \exp(\ii \vec{\phi} \cdot
\vec{\op{S}})$ auf einen Eigenvektor erzeugen. Dabei entstehen wieder Eigenvektoren der Casimir-Operatoren zu denselben Eigenwerten, d.h. eine irreduzible Darstellung ist vollständig durch die Eigenwerte eines vollständigen Satz kompatibler Casimir-Operatoren bestimmt. Die Lie-Algebra der Drehgruppe besitzt nun offenbar nur diesen einen Casimir-Operator, denn dies ist die einzige unter Drehungen invariante Größe, die sich aus $ \vec{\op{S}}$ gewinnen läßt.

Da die drei Drehimpulsoperatoren untereinander nicht vertauschen, muß sich der zu einer irreduziblen unitäre Darstellung gehörige Vektorraum zum $ \vec{\op{S}}^2$-Eigenwert $ \lambda$ durch die Eigenbasis einer beliebigen Komponente des Drehimpulsoperators, üblicherweise nimmt man $ \op{S}_z$, aufspannen lassen:

$\displaystyle \vec{\op{S}}^2 \ket{\lambda,\sigma}=\lambda \ket{\lambda,\sigma}, \quad \op{S}_z \ket{\lambda,\sigma}=\sigma \ket{\lambda,\sigma}.$ (6.8.3)

Wir haben durch die willkürliche Wahl von $ \op{S}_z$ zur Charakterisierung der Basisvektoren die $ z$-Richtung ausgezeichnet. Es empfiehlt sich daher die Einführung eines Polarkoordinatensystems in der $ xy$-Ebene. Dies ist aber nicht so einfach im Operatorformalismus zu realisieren. Wir nutzen eine andere Möglichkeit, die auch oft im Zusammenhang mit Rechnungen in der klassischen Mechanik nützlich ist, nämlich die Darstellung der $ xy$-Ebene als komplexe Zahlenebene. Entsprechend konstruieren wir die nicht selbstadjungierten zueinander hermitesch adjungierten Operatoren

$\displaystyle \op{S}_{\pm}=\op{S}_x \pm \i \op{S}_y.$ (6.8.4)

Wir werden im folgenden intensiven Gebrauch von Kommutatorrelationen dieser Operatoren machen, die sich leicht aus (6.8.1) herleiten lassen. Besonders einfach ist die Kommutativität mit $ \vec{\op{S}}^2$ einzusehen

$\displaystyle \comm{\op{S}_{\pm}}{\vec{\op{S}}^2} = 0,$ (6.8.5)

weil $ \vec{\op{S}}^2$ Casimiroperator der Drehalgebra ist. Die Anwendung von (6.8.1) führt sofort auf

$\displaystyle \comm{\op{S}_z}{\op{S}_{\pm}}$ $\displaystyle = \pm \op{S}_{\pm},$ (6.8.6)
$\displaystyle \comm{\op{S}_+}{\op{S}_-}$ $\displaystyle = 2 \op{S}_z.$ (6.8.7)

Weiter rechnet man unter erneuter Anwendung von (6.8.1) leicht nach, daß

$\displaystyle \vec{\op{S}}^2=\op{S}_+ \op{S}_{-} + \op{S}_z (\op{S}_z-1)$ (6.8.8)

gilt, und durch Anwendung von (6.8.7) folgt hieraus sofort auch

$\displaystyle \vec{\op{S}}^2=\op{S}_- \op{S}_+ + \op{S}_z (\op{S}_z+1).$ (6.8.9)

Jetzt bestimmen wir die Eigenwerte von $ \vec{\op{S}}^2$ und $ \op{S}_z$. Zunächst ist $ \vec{\op{S}}^2$ ein positiver Operator, was sich unmittelbar aus der Selbstadjungiertheit der $ \vec{\op{S}}$ ergibt. Damit ist $ \lambda \geq 0$. Weiter zeigen wir, daß $ \op{S}_z$ für vorgegebenes $ \lambda$ beschränkt ist:

$\displaystyle \sigma^2=\matrixe{\lambda,\sigma}{\op{S}_z^2}{\lambda,\sigma} = \...
...ma}{\vec{\op{S}}^2}{\lambda,\sigma} =\lambda \Rightarrow \sigma^2 \leq \lambda.$ (6.8.10)

Nun gilt wegen (6.8.6)

$\displaystyle \op{S}_z \op{S}_{\pm}\ket{\lambda,\sigma} = \left \{ \comm{\op{S}...
...ght \} \ket{\lambda,\sigma} = (\sigma \pm 1) \op{S}_{\pm} \ket{\lambda,\sigma}.$ (6.8.11)

Das bedeutet, daß entweder $ \op{S}_{\pm} \ket{\lambda,\sigma}$ Eigenvektor von $ \op{S}_z$ zum Eigenwert $ \sigma \pm 1$ oder der Nullvektor ist.

Sei nun $ s=\mathrm{max} \{\sigma \}$. Dann ist zwingend

$\displaystyle \op{S}_+ \ket{\lambda,s}=0,$ (6.8.12)

und (6.8.9) ergibt

$\displaystyle \lambda=s(s+1).$ (6.8.13)

Sei jetzt $ -s'=\mathrm{min}\{\sigma \}$. Dann gilt wegen $ \op{S}_-
\ket{\lambda,-s'}=0$ und (6.8.8) $ \lambda=s'(s'+1)$ und zusammen mit (6.8.13) und $ -s' \leq s$ folgert man $ s=s'$. Meist wird die Darstellung, die durch den Eigenwert von $ \vec{\op{S}}^2$ definiert ist, durch $ s$ gekennzeichnet, und wir folgen diesem Brauch. Dabei ist der Eigenwert $ \lambda$ von $ \vec{\op{S}}^2$ durch (6.8.13) gegeben. Neben der Masse ist also zu einer vollständigen Charakterisierung eines Elementarteilchens auch sein Spin $ s$ notwendig. Damit ist aber die Bestimmung der intrinsischen Eigenschaften eines freien Teilchens auch vollständig erfaßt, wie wir bei der Konstruktion der irreduziblen unitären Strahldarstellungen der Galilei-Gruppe gezeigt haben.

Jetzt legen wir die Orthonormalbasis des irreduziblen Darstellungsraums durch die Gleichung

$\displaystyle \op{S}_- \ket{\lambda,\sigma}=N(\sigma) \ket{\lambda,\sigma-1}$ (6.8.14)

sowie die Forderung $ N(\sigma) \in \mathbb{R}$ und $ N(\sigma) \geq 0$ fest. Dies ist eine Rekursionsformel, die aus $ \ket{\lambda,s}$ die Berechnung der übrigen zur irreduziblen Darstellung gehörigen Eigenvektoren von $ \op{S}_z$ gestattet. Diese bricht wegen der Beschränktheit der Eigenvektoren mit Erreichen des minimalen Eigenwertes $ -s$ von $ \op{S}_z$ ab. Es muß also

$\displaystyle \op{S}_-^k \ket{\lambda,s}=C_k \ket{\lambda,s-k}$   mit$\displaystyle \quad k\in \mathbb{N}$ (6.8.15)

sein. Aufgrund der obigen Überlegung, daß der minimale Eigenwert von $ \op{S}_z$ gerade $ -s$ ist, folgt damit

$\displaystyle \exists k \in \mathbb{N}: \; s-k=-s \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}: \; s=k/2.$ (6.8.16)

Damit sind die möglichen Eigenwerte von $ \vec{\op{S}}^2$ gemäß (6.8.13) durch $ s \in \{0,1/2,1,\ldots \}$ bestimmt. Die möglichen Eigenwerte von $ \op{S}_z$ sind dann aufgrund der Irreduzibilität der Darstellung gemäß (6.8.15) durch $ \sigma \in \{-s,-s+1,\ldots,s \}$ gegeben, woraus sich die Dimension der Darstellung zu $ \mathrm{dim} \;
\mathrm{Eig}[\vec{\op{S}}^2,s(s+1)]=2s+1$ ergibt. Da die möglichen Werte von $ s$ ganzzahlige Vielfache von $ 1/2$ sind, gibt es zu jeder Dimension genau eine Darstellung der Drehgruppe. Insbesondere gehört zu $ s=0$ die triviale Darstellung, in der alle Drehimpulsoperatoren den einen Basisvektor des Darstellungsraums annullieren, so daß alle Drehungen $ \exp(-\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{S}})$ auf diesem Darstellungsraum durch die Identität dargestellt werden.

Dabei ist aber für halbzahligen Spin die Besonderheit zu beachten, daß Drehungen um $ 2 \pi$ nicht zur Identität führen. Betrachten wir nämlich eine Drehung um die $ z$-Achse, ergibt sich

$\displaystyle \exp(-\ii \phi \op{S}_z) \ket{\lambda,\sigma} = \exp(-\ii \phi \sigma) \ket{\lambda,\sigma}.$ (6.8.17)

Für $ \phi=2 \pi$ ergibt sich aber

$\displaystyle \exp(-\ii 2 \pi \sigma)=(-1)^{2\sigma}.$ (6.8.18)

Falls also $ \sigma$ halbzahlig ist, ergibt sich ein Faktor $ -1$ in (6.8.17). Dies ist allerdings für die Quantentheorie kein Problem, solange sich alle möglichen Zustandsvektoren eines Teilchens bei Drehungen um $ 2 \pi$ mit $ -1$ multiplizieren. Wir werden im folgenden sehen, daß der Bahndrehimpulsoperator (6.7.31) nur ganzzahlige Darstellungen besitzt, d.h. $ \vec{\op{L}}^2$ besitzt stets Eigenwerte $ l(l+1)$ mit $ l \in \N_0=\{0,1,2,\ldots\}$. Bei einer Drehung um $ 2 \pi$ liefert dieser also keinerlei Phasenfaktoren, so daß für ein einzelnes Elementarteilchen in der Tat alle Basisvektoren mit demselben Phasenfaktor (6.8.18) multipliziert werden.

Hat man es nun mit Systemen aus mehreren Teilchen verschiedenen Spins zu tun, folgt aus dieser Überlegung weiter, daß es keine Superpositionen von Zustandsvektoren für Teilchen mit ganzzahligem und halbzahligem Spin geben kann, ohne die Invarianz unter Drehungen zu verletzen. Solche ,,Verbote`` von Überlagerungen von Zuständen nennt man eine Superauswahlregel.

Wir werden weiter unten noch ausführlich erörtern, daß für $ s=1/2$ die Operatoren $ \exp(-\ii \vec{\phi} \cdot \vec{\op{S}})$ genau den unitären $ \C^{2 \times 2}$-Matrizen mit Determinante $ 1$ entsprechen. Diese bilden eine Gruppe, die man in der Mathematik als SU$ (2)$, d.h. Spezielle Unitäre Gruppe in zwei Dimensionen, bezeichnet. Die SU$ (2)$ besitzt, wie wir soeben gesehen haben, dieselbe Liealgebra wie die eigentliche Drehgruppe SO$ (3)$, ordnet aber jeder endlichen Drehung nicht eine SU$ (2)$-Matrix, sondern zwei zu, nämlich $ \pm \exp(-\ii
\vec{\phi} \cdot \vec{\op{S}})$. Der Spin erzeugt also nicht Darstellungen der eigentlichen Drehgruppe SO$ (3)$ sondern der SU$ (2)$. Wie wir gesehen haben, spricht allerdings quantentheoretisch nichts gegen eine solche Realisierung der Drehungen auf den Zuständen, solange wir die oben beschriebene Spin-Superauswahlregel beachten. Es ist auch empirisch wohlbekannt, daß es Teilchen mit Spin $ 1/2$ gibt, wie z.B. Elektronen. Außerdem wurden bislang auch nie experimentelle Hinweise auf Überlagerungszustände von Teilchen mit ganz- und halbzahligem Spin gefunden, so daß die Charakterisierung der Elementarteilchen durch die Galilei-Gruppe im empirischen Sinne vollständig ist, solange man relativistische Effekte vernachlässigen kann.

Jetzt verbleibt zur vollständigen Bestimmung der Darstellungen der Spin-Drehgruppe (also mathematisch gesprochen der SU$ (2)$) noch die Normierungsfaktoren in (6.8.14) zu berechnen,

$\displaystyle N^2(\sigma) = \braket{\op{S}_- \lambda,\sigma}{\op{S}_- \lambda,\...
...e{\lambda,\sigma}{\op{S}_+ \op{S}_-}{\lambda,\sigma}= \lambda-\sigma(\sigma-1),$ (6.8.19)

wobei wir von (6.8.8), (6.8.3) und (6.8.13) Gebrauch gemacht haben. Treffen wir die Phasenwahl so, daß $ N(s)$ positiv reell wird, folgt daraus

$\displaystyle \op{S}_{-} \ket{\lambda,\sigma}=\sqrt{s(s+1)-\sigma(\sigma-1)} \ket{\lambda,\sigma-1}.$ (6.8.20)

Schließlich ist die Wirkung von $ \op{S}_+$ auf die Basisvektoren zu bestimmen, denn dann wissen wir aus (6.8.4) auch, wie die Komponenten $ \vec{S}_x$ und $ \vec{S}_y$ auf die Basisvektoren $ \ket{\lambda,\sigma}$ wirken. Definieren wir $ N'(\sigma)$ durch

$\displaystyle \op{S}_+ \ket{\lambda,\sigma}=N'(\sigma) \ket{\lambda,\sigma+1},$ (6.8.21)

folgt

$\displaystyle N'{}^2(\sigma) = \braket{\op{S}_+ \lambda,\sigma}{\op{S}_+ \lambd...
...{\lambda,\sigma}{\op{S}_- \op{S}_+ \lambda,\sigma} = \lambda - \sigma(\sigma+1)$ (6.8.22)

wobei wir (6.8.9) angewendet haben. Die gesuchte Gleichung lautet also

$\displaystyle \op{S}_{+} \ket{\lambda,\sigma}=\sqrt{s (s+1)-\sigma (\sigma+1)} \ket{\lambda,\sigma+1}.$ (6.8.23)




Nächste Seite: Das Noether-Theorem (quantenmechanisch) Aufwärts: Galilei-Symmetrie Vorherige Seite: Nichtrelativistische Elementarteilchen   Inhalt