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Das Noether-Theorem (quantenmechanisch)

Als nächstes müssen wir die Verträglichkeit der Symmetrietransformation mit der Zeitentwicklung herleiten. Dies muß eine Bedingung an die Symmetrietransformationen ergeben, die unabhängig von der Wahl des Bildes der Zeitentwicklung ist (vgl. Abschnitt 2.10ff). Daher können wir diese Bedingung in einem beliebigen Bild der Zeitentwicklung herleiten. Wir wählen dazu das Schrödingerbild. Ein beliebiger Zustand genügt dann wegen $ \op{Y}_{S}= \op{H}_{S}$, $ \op{X}_{S}=0$ (Definition des Schrödingerbildes) der Differentialgleichung

$\displaystyle \frac{\d}{\d t} \ket{\Psi_{S},t}=-\i \op{H}_{S}(t) \ket{\Psi_{S},t}.$ (6.9.1)

Nun sei $ \op{U}_{g}(t)$ eine beliebige (i.a. explizit zeitabhängige) unitäre Transformation. Sei dann

$\displaystyle \ket{\Psi_{S}',t}=\op{U}_{g}(t) \ket{\Psi_{S},t}.$ (6.9.2)

Es ist klar, daß $ \op{U}$ genau dann Symmetrietransformation ist, wenn auch $ \ket{\Psi_{S}',t}$ der Zeitentwicklung, die durch (6.9.1) definiert ist, genügt, denn $ \op{U}$ ist definitionsgemäß dann Symmetrietransformation, wenn der Zustand $ \ket{\Psi_{S}',t}$ stets äquivalent zum Zustand $ \ket{\Psi_{S},t}$ ist. Durch Ableitung von (6.9.2) nach der Zeit finden wir unter Verwendung von (6.9.1) und der Annahme, daß diese Gleichung auch für $ \ket{\Psi_{S}',t}$ mit demselben Hamilton-Operator $ \op{H}_s(t)$ zutrifft, daß $ \op{U}_g$ genau dann Symmetrietransformation ist, wenn

$\displaystyle \frac{1}{\ii} \comm{\op{U}_g}{\op{H}}+\left ( \frac{\partial \op{U}_g}{\partial t}\right)_{\mathrm{expl}}=\mathring{\op{U}}_g:=0$ (6.9.3)

ist, wobei $ \mathring{\op{U}}_g$ die physikalische Zeitableitung von $ \op{U}$ bedeutet. Da diese Gleichung bildunabhängig ist, vgl. (2.10.13), stellt sie die gesuchte Symmetriebedingung dar.

Es ist ferner klar, daß dieselben Betrachtungen auch auf die infinitesimalen Erzeugenden der Einparameteruntergruppen der Symmetriegruppe zutreffen. Ist nämlich $ \alpha$ der entsprechende Parameter der Einparameteruntergruppe und $ \op{g}$ der dazugehörige Generator, so gilt (im hier betrachteten Schrödingerbild)

$\displaystyle \op{U}_g(t)=\exp[-\ii \alpha \op{g}_S(t)],$ (6.9.4)

und somit

$\displaystyle \op{g}_S(t)=\left . \frac{\partial}{\partial \alpha} \op{U}_g(t) \right\vert _{\alpha=0}.$ (6.9.5)

Leiten wir dann Gleichung (6.9.3) nach $ \alpha$ ab und beachten, daß im zweiten Term auf der linken Seite die Ableitung nach $ \alpha$ mit der expliziten Zeitableitung vertauscht werden kann, ergibt sich die bildunabhängige Gleichung

$\displaystyle \mathring{\op{g}}=\frac{1}{\ii} \comm{\op{g}}{\op{H}} + \left (\frac{\partial \op{g}}{\partial t} \right )_{\text{expl}} = 0.$ (6.9.6)

Dies ist aber das quantentheoretische Pendant zum klassischen Noethertheorem, besagt doch (6.9.6), daß jeder Generator der Einparametersymmetriegrupe $ \op{g}$ notwendig eine Erhaltungsgröße ist, und umgekehrt ist jede Erhaltungsgröße auch der Generator ein Einparametersymmetriegruppe des betrachteten Systems.




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