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Einteilchenzustände für Teilchen mit Spin $ s$Einteilchenzustände für Teilchen mit Spin s

Nun können wir eine vollständige Beschreibung für ein freies Teilchen mit beliebigem Spin angeben. Die irreduzible Darstellung des Spins durch die Matrizen $ \hat{D}(\vec{\phi})$ aus Abschnitt 6.7 ist nämlich vollständig durch die Spinbetragsquantenzahl $ s$ definiert.

Zunächst folgt aus dem im vorigen Abschnitt hergeleiteten Noether-Theorem und der Kommutatorrelation (6.6.40), daß die Erzeugenden $ \op{K}_j$ für Boosts explizit zeitabhängig sein müssen, denn es muß

$\displaystyle \mathring{\op{K}}_j=\frac{1}{\ii} \comm{\op{K}_j}{\op{H}}+\left(\...
...t(\frac{\partial \op{K}_j}{\partial t} \right)_{\text{expl}} \stackrel{!}{=} 0.$ (6.10.1)

Nun folgt aber aus (6.6.37)

$\displaystyle \mathring{\op{P}}_j = \left ( \frac{\partial \op{P}}{\partial t} \right )_{\text{expl}} \stackrel{!}{=}0$ (6.10.2)

und damit durch Integration von (6.10.1)

$\displaystyle \op{K}_j = m \op{X}_j - \op{P}_j t,$ (6.10.3)

wobei $ \op{X}_j$ entsprechend dem Korrespondenzprinzip mit der klassischen Mechanik die nicht explizit zeitabhängigen Ortskomponentenoperatoren sein müssen. In der Tat folgt aus (6.6.39) unter Verwendung von (6.6.36), daß diese Operatoren die Heisenberg-Algebra für Orts- und Impulskomponenten

$\displaystyle \comm{\op{X}_j}{\op{P}_k}=\ii \delta_{jk} \einsop_{\mathcal{H}}$ (6.10.4)

erfüllen. Wir haben bereits in Abschnitt 2.8 gezeigt, wie man mit diesen Kommutatorrelationen zu der aus QM 1 bekannten Darstellung der Quantentheorie mit Impuls- bzw. Ortswellenfunktionen gelangt. Für ein Teilchen mit Spin $ s \neq 0$ kommen nur noch die $ (2s+1)$ Spinfreiheitsgrade hinzu. So ergibt sich z.B. für die Ortswellenfunktion eine $ (2s+1)$-dimensionale Größe

$\displaystyle \psi_{\sigma}(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \frac{\dd^3 \vec{p}}{(2 \pi)^{3/2}} \exp(\ii \vec{p} \cdot \vec{x}) \braket{\vec{p},\sigma}{\psi,t},$ (6.10.5)

wobei wir hier wieder im Schrödingerbild der Zeitentwicklung rechnen. Da der Spinoperator auch mit dem Ortsoperator vertauscht, können wir zugleich die drei Ortskomponenten und die $ z$-Komponente des Spins messen. Die entsprechenden verallgemeinerten Eigenvektoren bezeichnen wir mit $ \ket{\vec{x},\sigma}$. Wie in Abschnitt 2.8 zeigt man sofort (Übung!), daß

$\displaystyle \braket{\vec{x},\sigma}{\vec{p},\sigma'} = \frac{1}{(2 \pi)^{3/2}} \exp(\ii \vec{p} \cdot \vec{x}) \delta_{\sigma \sigma'}$ (6.10.6)

ist. Die Wirkung des Impulsoperators in der Ortsdarstellung ergibt sich sofort aus

\begin{displaymath}\begin{split}\hat{\vec{P}} \psi_{\sigma}(t,\vec{x}) &= \matri...
...ii \vec{\nabla}_{\vec{x}} \psi_{\sigma}(t,\vec{x}). \end{split}\end{displaymath} (6.10.7)

Aus (6.7.12) folgt daraus sofort

$\displaystyle \hat{H} \psi_{\sigma}(t,\vec{x}) = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} \psi_{\sigma}(t,\vec{x}) = -\frac{\Delta_{\vec{x}}}{2m} \psi_{\sigma}(t,\vec{x}).$ (6.10.8)

Als letztes Beispiel für den hier aus der Galileisymmetrie hergeleiteten Bra-Ket-Formalismus der nichtrelativistischen Quantentheorie für ein Teilchen mit Spin wollen wir die Wirkung einer Drehung auf die Ortswellenfunktion finden. Dazu benötigen wir lediglich (6.7.23). Sei $ \psi_{\sigma}'(t,\vec{x})$ die Wellenfunktion für ein um $ \vec{\phi}$ gedrehtes System. Dann gilt

\begin{displaymath}\begin{split}\psi_{\sigma}'(t,\vec{x}) &= \int_{\R^3} \frac{\...
...{\hat{R}^{-1}(\vec{\phi}) \vec{p},\sigma'}{\psi,t}. \end{split}\end{displaymath} (6.10.9)

Dabei haben wir von der Unitarität der Drehmatrizen Gebrauch gemacht, die zu $ D^{-1}_{\sigma' \sigma}=D^{\dagger}_{\sigma'
\sigma}=D^{*}_{\sigma \sigma'}$ führt. Nun substituieren wir $ \vec{p}=\hat{R}(\vec{\phi}) \pvec{p}$ und Verwenden wieder die Orthogonalität von $ \hat{R}(\vec{\phi})$, die zu

$\displaystyle \vec{p} \cdot \vec{x}=[\hat{R}(\vec{\phi}) \pvec{p}] \cdot \vec{x...
...^{\dagger}(\vec{\phi}) \vec{x}]=\pvec{p} \cdot \hat{R^{-1}}(\vec{\phi}) \vec{x}$ (6.10.10)

führt. Dies in (6.10.9) eingesetzt liefert (unter Verwendung von $ \det \hat{R}=1$)

$\displaystyle \psi_{\sigma}'(t,\vec{x}) = \sum_{\sigma'} D_{\sigma \sigma'}(\vec{\phi}) \psi_{\sigma'}(t,\hat{R}^{-1} \vec{x}).$ (6.10.11)

Man nennt eine mehrkomponentige Feldgröße $ \psi_{\sigma}$, die sich unter Drehungen gemäß (6.10.11) verhält, ein Spinorfeld zur Darstellung $ s \in \{0,1/2,1,\ldots \}$. Das Spinorfeld zu $ s=0$ heißt dann entsprechend auch Skalarfeld, zu $ s=1$ Vektorfeld usw. Zur besseren Unterscheidung von den in der relativistischen Quantentheorie auftretenden Dirac-Spinoren bezeichnet man die hier in der nichtrelativistischen Quantentheorie vorkommenden Größen zum Spin $ s=1/2$ auch als Weyl-Spinoren.

Die Gl. (6.10.11) läßt sich freilich auch aus der Formel für infinitesimale Drehungen, angewandt auf die Wellenfunktion bestimmen, denn es ist

$\displaystyle \hat{\vec{J}}=\hat{\vec{L}} + \hat{\vec{S}} = -\ii \vec{x} \times \vec{\nabla}_{\vec{x}} + \hat{\vec{S}},$ (6.10.12)

wobei $ \hat{\vec{S}}$ die auf die Spinorkomponenten $ \psi_{\sigma}$ wirkenden $ (2s+1) \times (2s+1)$-Matrizen sind. Bezeichnen wir mit $ \psi(t,\vec{x})$ also die $ 2s+1$-komponentige Spinorwellenfunktion, so ist die Änderung der Wellenfunktion unter einer infinitesimalen Drehung bis auf Größen zweiter Ordnung in $ \delta \vec{\phi}=\vec{n} \delta
\phi$ offenbar durch

$\displaystyle \delta \psi(t,\vec{x}) = \ii \delta \phi \vec{n} \cdot \hat{\vec{...
... \vec{n} \cdot \hat{\vec{S}} \psi(t,\vec{x}+\delta \phi \vec{n} \times \vec{x})$ (6.10.13)

gegeben. Dabei haben wir die Operatoridentität

$\displaystyle \vec{n} \cdot (\vec{x} \times \vec{\nabla}_{\vec{x}} ) = (\vec{n} \times \vec{x}) \cdot \vec{\nabla}_{\vec{x}}$ (6.10.14)

verwendet.

Etwas mehr Vorsicht ist bei der Betrachtung von Galilei-Boosts angebracht. Da die Generatoren $ \op{\vec{K}}$ explizit zeitabhängig sind, vertauschen sie nämlich nicht mit dem Hamiltonoperator (vgl. (6.6.40)). Die Spinorwellenfunktion im geboosteten Bezugssystem ist durch

$\displaystyle \psi_{\sigma}(t,\vec{x})=\braket{\vec{x},\sigma}{\psi,t}$ (6.10.15)

gegeben. Im hier verwendeten Schrödingerbild der Zeitentwicklung gilt

$\displaystyle \ket{\psi,t}=\exp(-\ii t \op{H}) \ket{\psi,0}.$ (6.10.16)

Der Zustand im geboosteten Bezugssystem ist derjenige, für den zur Anfangszeit $ t=0$

$\displaystyle \ket{\psi',0}=\exp(-\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \ket{\psi,0}$ (6.10.17)

gilt. Die Zeitentwicklung erfolgt dann mit dem ursprünglichen Hamiltonoperator

$\displaystyle \ket{\psi',t}=\exp(-\ii t \op{H}) \ket{\psi',0} = \exp(-\ii t \op{H}) \exp(-\ii \vec{w} \cdot \vec{\op{K}}) \ket{\psi,0}.$ (6.10.18)

Um wieder (6.7.13) anwenden zu können, schieben wir wieder die Entwicklung des Einsoperators nach Impuls-Spin-Eigenzuständen ein:

\begin{displaymath}
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\begin{split}\psi_{\sigma}'(t,\...
...{2} t \right ) \psi_{\sigma}(t,\vec{x} + \vec{w}t). \end{split}\end{displaymath} (6.10.19)

Die Wellenfunktion verhält sich also nicht einfach wie ein Skalar unter Galilei-Boosts, wie man naiverweise erwarten würde, sondern erhält einen zusätzlichen Phasenfaktor. Wieder ergibt sich die Superauswahlregel, daß Zustände zu Teilchen mit verschiedener Masse nicht superponiert werden dürfen, wenn die Theorie Galilei-invariant sein soll. Das Auftreten dieses Phasenfaktors ist auf die Rolle der Masse als nichttriviale Zentralladung zurückzuführen.




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