Die Pauli-Gleichung

In diesem Abschnitt behandeln wir als ein konkretes Beispiel für Teilchen mit Spin ein Teilchen mit Spin 1/2. Dies ist nicht nur die einfachste Realisierung eines Teilchens mit Spin, sondern es ist auch praktisch äußerst wichtig, da alle (bislang bekannten) Elementarteilchen, die die ,,Materie`` konstituieren, solche Spin-1/2-Teilchen sind^6.6. Freilich beziehen sich alle Betrachtungen in diesem Abschnitt auf den Fall, daß die nichtrelativistische Beschreibung der Teilchen gerechtfertigt ist. Das ist allerdings für einen durchaus großen Anwendungsbereich der Fall. So können die Atome mit nicht zu großen Ladungszahlen durch die nichtrelativistische quantenmechanische Beschreibung der Bewegung der Elektronen um den Atomkern sehr gut beschrieben werden. Entsprechend wird auch die Molekül- und Festkörperphysik durch die nichtrelativistische Vielteilchenphysik, auf die wir im nächsten Kapitel ausführlich zu sprechen kommen, abgedeckt.

Wir wollen nun den Hamilton-Operator für ein Teilchen mit Spin 1/2, das sich in einem äußeren elektromagnetischen Feld $\vec{E}$ , $\vec{B}$ bewegt, finden. Dazu bedienen wir uns des Hilfsmittels der kanonischen Quantisierung, indem wir zunächst die Situation im Rahmen der klassischen Mechanik betrachten. Um die Lagrangefunktion aufstellen zu können, benötigen wir zunächst die Darstellung des elektromagnetischen Feldes durch die elektromagnetischen Potentiale:

$$\vec{E}(t,\vec{x})=-\vec{\nabla} \Phi(t,\vec{x}) - \frac{\partial... ...(t,\vec{x}), \quad \vec{B}(t,\vec{x}) = \vec{\nabla} \times \vec{A}(t,\vec{x}).$$ (6.11.1)

Dabei sind die Potentiale $\Phi$ und $\vec{A}$ nur bis auf eine Eichtransformation bestimmt, denn für ein beliebiges skalares Feld $\chi$ ergeben

$$\Phi'(t,\vec{x})=\Phi(t,\vec{x})-\partial_t \chi(t,\vec{x}), \quad \pvec{A}(t,\vec{x}) = \vec{A}(t,\vec{x})+\vec{\nabla} \chi(t,\vec{x})$$ (6.11.2)

offensichtlich dieselben Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ .

Die Lagrangefunktion für die (nichtrelativistische) Bewegung eines geladenen Punktteilchens im elektromagnetischen Feld lautet dann

$$L=\frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2-q [\Phi(t,\vec{x})-\dot{\vec{x}} \cdot \vec{A}(t,\vec{x}) ].$$ (6.11.3)

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus den Euler-Lagrange-Gleichungen

$$\frac{\partial L}{\partial \vec{x}} - \frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} = 0.$$ (6.11.4)

Bildet man die Ableitungen, erhält man unter Verwendung von (6.11.1) in der Tat die richtige Bewegungsgleichung

$$m \ddot{\vec{x}}=q [\vec{E}(t,\vec{x}) + \dot{\vec{x}} \times \vec{B}(t,\vec{x})].$$ (6.11.5)

Wir gehen nun in der üblichen Weise zum Hamilton-Formalismus über, indem wir zunächst die kanonischen Impulse berechnen:

$$\vec{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{x}}} = m \dot{\vec{x}}+q \vec{A}(t,\vec{x}).$$ (6.11.6)

Wir bemerken, daß dies nicht mit dem mechanischen Impuls $m \dot{\vec{x}}$ übereinstimmt. Die Hamilton-Funktion ergibt sich nach kuzer Rechnung (Übung!) zu

$$H=\vec{p} \cdot \dot{\vec{x}}-L=\frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^{ 2} +... ...t,\vec{x}) = \frac{1}{2m} [\vec{p}-q \vec{A}(t,\vec{x})]^2 + q \Phi(t,\vec{x}).$$ (6.11.7)

Wir erhalten also die Hamiltonfunktion aus dem Ausdruck für die Energie eines freien Teilchens, indem wir $\dot{\vec{x}}$ gemäß (6.11.6) durch den kanonischen Impuls ausdrücken und die potentielle Energie $q \Phi$ addieren. Wir werden nun in ähnlicher Weise in der Quantentheorie vorgehen. Es ist dabei klar, daß wir den quantenmechanischen Hamilton-Operator nicht eindeutig aus der klassischen Hamiltonfunktion herleiten können. Es handelt sich bei der kanonischen Quantisierung lediglich um ein heuristisches Verfahren, welches letztlich nur durch den Erfolg in der Beschreibung der in Experimenten beobachteten Phänomene zu rechtfertigen ist. Später, bei der Behandlung der relativistischen Quantenfeldtheorie, werden wir eine überzeugendere Begründung für den nun herzuleitenden Hamilton-Operator finden.

Wir betrachten Teilchen mit Spin 1/2 genauer. Es ist gemäß Abschnitt 6.8 klar, daß die Eigenwerte des Operator $\op{S}_z$ , die Werte $\sigma \in \{-1/2,+1/2\}$ annehmen können. Als Orthonormalbasis für die Spinzustände wählen wir entsprechend $\ket{\sigma=1/2}$ und $\ket{\sigma=-1/2}$ (in dieser in der Literatur üblichen Reihenfolge). Bzgl. dieser Basis ergeben sich die Spin-Matrizen wie folgt. Zunächst gilt

$$\op{S}_z \ket{\sigma}=\sigma \ket{\sigma} \; \Rightarrow \; \hat{... ...1}{2} \begin{pmatrix}1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}=:\frac{1}{2} \hat{\sigma}_z.$$ (6.11.8)

Die übrigen Komponenten finden wir aus (6.8.20)

$$\op{S}_- \ket{\sigma=1/2}=\ket{\sigma=-1/2}, \quad \op{S}_- \ket{\sigma=-1/2}=0$$ (6.11.9)

und damit

$$\hat{S}_-=\begin{pmatrix}0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{S}_+=\hat{S}_-^{\dagger} = \begin{pmatrix}0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ (6.11.10)

Aus (6.8.4) erhalten wir schließlich die übrigen Spinmatrizen

$$\begin{split}\hat{S}_x&=\frac{1}{2} (\hat{S}_++\hat{S}_-) = \... ... \ii & 0 \end{pmatrix}=:\frac{1}{2} \hat{\sigma}_y. \end{split}$$ (6.11.11)

Die Matrizen $\hat{\sigma}_x$ , $\hat{\sigma}_y$ und $\hat{\sigma}_z$ heißen Pauli-Matrizen, und wir werden nun einige nützliche Rechenregeln herleiten. Wegen der Kommutatorrelationen (6.8.1) für die Spinoperatoren, die natürlicherweise auch für die Spinmatrizen gelten, folgt für die Pauli-Matrizen unmittelbar

$$\comm{\hat{\sigma}_j}{\hat{\sigma}_k} = 2 \ii \epsilon_{ljk} \hat{\sigma}_l.$$ (6.11.12)

Durch direktes Nachrechnen (Übung) findet man die nicht minder wichtigen Antikommutatorregeln

$$\acomm{\hat{\sigma}_j}{\hat{\sigma}_k} = 2 \delta_{jk} \einsop_2.$$ (6.11.13)

Kommen wir nun zum Hamilton-Operator. Entsprechend unserem oben besprochenen heuristischen Vorgehen schreiben wir zunächst den Hamilton-Operator des freien Teilchens in der Form

$$\op{H}_{\text{frei}} = \frac{1}{2m} \vec{\op{p}}^2=\frac{1}{2m} (\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{\op{p}}) (\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{\op{p}}).$$ (6.11.14)

Dabei haben wir benutzt, daß den Kommutatorrelationen (6.6.36) gemäß die Operatoren für die Impulskomponenten vertauschen und demnach der letzte Umformungsschritt sofort aus (6.11.13) folgt.

Wir gehen nun entsprechend dem oben bei der analogen Situation der klassischen Mechanik besprochenen Prinzip der minimalen Substitution im Sinne der kanonischen Quantisierung vor, um den Hamilton-Operator für die Bewegung des Teilchens im elektromagnetischen Feld zu erhalten. Wie wir sogleich sehen werden, ist es dabei entscheidend, die etwas umständlich erscheinende Formulierung mit den Pauli-Matrizen in (6.11.14) zu verwenden und nicht direkt die übliche Form (welche für freie Teilchen selbstverständlich identisch ist). Wir erhalten dann den Hamilton-Operator

$$\op{H}=\frac{1}{2m} [\hat{\vec{\sigma}}\cdot (\vec{\op{p}}-q \vec{\op{A}})] [\hat{\vec{\sigma}}\cdot (\vec{\op{p}}-q \vec{\op{A}})] + q \op{\Phi}.$$ (6.11.15)

Um diesen Hamilton-Operator genauer zu analysieren, bietet es sich an, in der Ortsdarstellung zu arbeiten. Dabei fassen wir die Wellenfunktionen

$$\psi_{\sigma} (t,\vec{x})=\braket{\vec{x},\sigma}{\Psi}$$ (6.11.16)

zu einem zweikomponenten Weyl-Spinor

$$\psi(t,\vec{x})=\vv{\psi_{+1/2}(t,\vec{x})}{\psi_{-1/2}(t,\vec{x})}$$ (6.11.17)

zusammen. Auf diesen Wellenfunktionen operieren dann sowohl die aus QM I bekannten Differentialoperatoren als auch $2 \times 2$ -Matrizen wie die Pauli-Matrizen. Der Hamilton-Operator (6.11.15) lautet in der Ortsdarstellung offenbar

$$\hat{H}=\frac{1}{2m} [\hat{\vec{\sigma}}\cdot (-\ii \vec{\nabla} ... ... [\hat{\vec{\sigma}}\cdot (-\ii \vec{\nabla} -q \hat{\vec{A}})] + q \hat{\Phi}.$$ (6.11.18)

Um den physikalischen Gehalt dieses Hamilton-Operators zu analysieren, multiplizieren wir zunächst den ersten Term (6.11.15) aus:

$$[\hat{\vec{\sigma}}\cdot (\vec{\op{p}}-q \vec{\op{A}})][\hat{\vec... ...\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{\op{A}}) (\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{\op{A}}).$$ (6.11.19)

Dies läßt sich noch weiter vereinfachen. Da die Impulskomponenten miteinander kommutieren, gilt

$$(\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{\op{p}})(\hat{\vec{\sigma}} \cdot ... ...t{\sigma}_k}\op{p}_j \op{p}_k = \delta_{jk} \op{p}_j \op{p}_k = \vec{\op{p}}^2,$$ (6.11.20)

wobei wir (6.11.13) verwendet haben. Da das Vektorpotential eine reine Funktion des Ortsoperators ist, vertauschen auch dessen Komponenten, so daß dieselbe Rechnung

$$(\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{\op{A}}) (\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{\op{A}}) = \vec{\op{A}}^2$$ (6.11.21)

ergibt. Wenden wir uns nun dem mittleren Term in (6.11.19) zu. Hier ist Vorsicht geboten, denn die Impulskomponenten vertauschen nicht mit den Komponenten des ortsabhängigen Vektorpotentials. Hier ist es am einfachsten, die Wirkung des entsprechenden Differentialoperators auf die Wellenfunktion zu untersuchen:

$$\begin{split}[(\hat{\vec{\sigma}} \cdot \hat{\vec{p}}) (\hat{... ...\psi + A_k \partial_j \psi + A_j \partial_k \psi ]. \end{split}$$ (6.11.22)

Jetzt schreiben wir das Produkt der Pauli-Matrizen mit Hilfe von (6.11.12) und (6.11.13) wie folgt um:

$$\hat{\sigma}_j \hat{\sigma}_k = \frac{1}{2} \left [\acomm{\hat{\s... ...\sigma}_k} \right] = \delta_{jk} \einsop_2 + \ii \epsilon_{ljk} \hat{\sigma}_l.$$ (6.11.23)

Dies in (6.11.22) eingesetzt und ein wenig umgeformt, ergibt

$$[(\hat{\vec{\sigma}} \cdot \hat{\vec{p}}) (\hat{\vec{\sigma}} \cd... ...t{\vec{A}} \cdot \hat{\vec{p}}) \psi + (\hat{\vec{\sigma}} \cdot \vec{B}) \psi.$$ (6.11.24)

Dabei haben wir $\vec{\nabla} \times \vec{A}=\vec{B}$ gemäß (6.11.1) verwendet. Fassen wir nun (6.11.20-6.11.24) zu dem Hamilton-Operator (6.11.18) zusammen, finden wir schließlich

$$\op{H}=\frac{1}{2m} (\op{\vec{p}}-q \op{\vec{A}})^2 - \frac{q}{2m} g_s (\vec{\op{S}} \cdot \vec{\op{B}}) + q \op{\Phi} \quad g_s=2,$$ (6.11.25)

wobei wir $\vec{\op{\sigma}}=2 \vec{\op{S}}$ geschrieben haben.

Daraus ergibt sich, daß ein elementares Teilchen (z.B. ein Elektron) bei minimaler Substitution ein mit dem Spin des Teilchens verknüpftes magnetisches Moment besitzt, das durch den Operator

$$\vec{\op{\mu}} = \mu_B g_s \vec{\op{S}} \quad \mu_B = \frac{e}{2m_e} = 5.7883817555(79) \cdot 10^{-11} \frac{\MeV}{\mathrm{T}}, \quad g_s=2$$ (6.11.26)

repräsentiert wird (Zahlenwert aus [Nak10]). Es ist dabei zu beachten, daß für ein Elektron der negative Wert $q_e=-e$ mit der Elementarladung

$$e=1.602176487(40) \cdot 10^{-19} \; \mathrm{C}$$ (6.11.27)

zu verwenden ist. In unseren natürlichen Einheiten, wo das modifizierte Wirkungsquantum $\hbar=1$ und die Lichtgeschwindigkeit $c=1$ gesetzt sind, und in den ebenfalls in diesem Skript verwendeten Heaviside-Lorentz-Einheiten (HL-Einheiten) der Elektrodynamik ist $e$ eine dimensionslose Variable, die sich aus der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante

$$\alpha=\frac{e^2}{4 \pi}=\frac{1}{137.035999679(94)}$$ (6.11.28)

ergibt. In SI-Einheiten ist

$$\alpha=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c} .$$ (6.11.29)

Man kann übrigens leicht zwischen natürlichen Einheiten und SI-Einheiten hin- und herrechnen, indem man den Konversionsfaktor

$$\hbar c=197.3269631(49) \; \MeV \; \fm$$ (6.11.30)

verwendet. Außerdem ist in HL-Einheiten $\epsilon_0=\mu_0=1$ zu setzen.

Der Parameter $g_s$ in (6.11.25) heißt Gyrofaktor und ist (ähnlich wie die elektrische Ladung) eine für das Teilchen charakteristische Größe. Für Elementarteilchen ergibt sich aus dem Prinzip der minimalen Kopplung an elektromagnetische Felder der Gyrofaktor $2$ , wobei dies allerdings in der hier gezeigten nichtrelativistischen Behandlung nicht allzu zwingend erscheint, weil wir ja die minimale Kopplung in der spezifischen Weise mit den in den Hamiltonoperator freier Teilchen eingeschobenen Pauli-Matrizen (6.11.14) vornehmen mußten. Würden wir die minimale Kopplung einfach mit dem Hamiltonoperator $\vec{\op{p}}^2/(2m)$ vornehmen, erhielten wir ein verschwindendes magnetisches Moment, also $g_s=0$ . In der relativistischen Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen vermöge der Dirac-Gleichung führt das Prinzip der minimalen Kopplung zwingend auf $g_s=2$ für elementare Teilchen. Dies war (neben der Vorhersage der Existenz von Antiteilchen) einer der größten Erfolge der Dirac-Gleichung.

Man bezeichnet die in (6.11.26) definierte Größe $\mu_B$ als das Bohrsche Magneton. Es wurde von Bohr in seinem Atommodell, basierend auf der von ihm entwickelten ,,alten Quantentheorie``, bei dem Versuch, die Aufspaltung der Spektrallinien bei Atomen in magnetischen Feldern zu erklären, (Zeeman-Effekt) eingeführt. Während die klassische Elektronentheorie von Lorentz eine kontinuierliche Aufspaltung der Spektrallinien ergab, konnte Bohr den sog. anomalen Zeemaneffekt erklären, der auf der Quantelung des Bahndrehimpulses beruht. Dies werden wir gleich noch näher ausführen. Die allerdings ebenfalls beobachtete Aufspaltung in nur $2$ (statt mindestens $3$ aufgrund der Quantelung des Bahndrehimpulses) konnte nur durch Einführung des Elektronenspins erklärt werden, die schließlich durch Goudsmith und Uhlenbeck erfolgte, nachdem Kramers von Pauli überzeugt worden war, diese Idee besser nicht zu veröffentlichen. Der Hamilton-Operator (6.11.25) wurde schließlich von Pauli vorgeschlagen, nachdem er schließlich doch von der Korrektheit des Spins zur Spinquantenzahl $1/2$ überzeugt werden konnte. Die Schrödinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator (6.11.25) für die zweikomponentige Weyl-Spinor-Wellenfunktion,

$$\ii \frac{\partial}{\partial t} \psi(t,\vec{x}) = -\frac{1}{2m} (... ...} \cdot \vec{B}(t,\vec{x}) \psi(t,\vec{x}) + q \Phi(t,\vec{x}), \psi(t,\vec{x})$$ (6.11.31)

heißt daher Pauli-Gleichung.

Wir bemerken noch, daß sich bei der sehr genau möglichen Vermessung des magnetischen Moments des Elektrons eine kleine Abweichung vom Wert $g_e=2$ für ein elementares Teilchen ergibt. Der neueste Wert für diese Abweichung beträgt gemäß [Nak10]

$$\frac{g_e-2}{2}=(1159.65218073 \pm 0.00000028) \cdot 10^{-6}.$$ (6.11.32)

Theoretisch sind diese winzigen Abweichungen durch sich in der Quantenelektrodynamik ergebende Korrekturen in höherer Ordnung der Störungstheorie erklärbar.

Die Hadronen, allen voran die Kernbausteine Proton und Neutron, weisen allerdings deutlich von $2$ verschiedene Gyrofaktoren auf. Dies weist darauf hin, daß sie keine elementaren Teilchen sind, sondern ein komplizierter Bindungszustand aus drei Valenzquarks aufgrund der starken Wechselwirkung. Die Werte für die Gyrofaktoren sind (wieder cf. [Nak10])

$$g_{p}=2.792847356 \pm 0.000000023, \quad g_n=-1.9130427 \pm 0.0000005.$$ (6.11.33)

Freilich beziehen sich diese Gyrofaktoren auf das Bohrsche Kernmagneton

$$\mu_B^{(\text{nucl})}=\frac{e}{2 m_p} = 3.1524512326(45) \cdot 10^{-14} \frac{\MeV}{\mathrm{T}} \quad \text{(SI-Einheiten)}.$$ (6.11.34)

Der Gyrofaktor $g_s \simeq 2$ , der sich hier aus der minimalen Kopplung in der spezifischen Form des freien Hamilton-Operators mit $\sigma$ -Matrizen ergeben hat, folgt (allerdings eindeutig!) auch aus der relativistischen Dirac-Gleichung, auf die wir in einem späteren Kapitel genauer eingehen werden.

In der Atomphysik (insbesondere bei der Behandlung des Wasserstoffatoms in der Näherung, wo das Proton als einfaches Coulomb-Feld behandelt wird) ist es bei der Berechnung der Energieeigenzustände notwendig, den Symmetrien des Problems entsprechend die Pauligleichung in räumliche Kugelkoordinaten umzuschreiben, denn man wird simultane Eigenzustände von $\op{H}$ , $\vec{\op{J}}^2$ , $\op{J}_z$ und $\op{S}_z$ bzw. $\op{H}$ , $\vec{\op{J}}^2$ , $\vec{\op{L}}^2$ und $\op{L}_z$ und $\op{S}_z$ verwenden (bei ausgeschaltetem äußeren Magnetfeld). Den Zeeman-Effekt kann man dann für schwache Felder störungstheoretisch behandeln. Wir gehen darauf in dieser Vorlesung nicht näher ein. Diese Probleme werden ausführlich in vielen Quantenmechanik-Lehrbüchern behandelt (z.B. [LL77]).

Der Vollständigkeit halber schreiben wir noch den Hamilton-Operator für ein konstantes Magnetfeld etwas um. Offenbar ist das Vektorpotential durch

$$\vec{A}=-\frac{1}{2} \vec{x} \times \vec{B} \quad \vec{B}=$$ (6.11.35)

gegeben, denn es gilt in der Tat

$$(\vec{\nabla} \times \vec{A})_j = \epsilon_{jkl} \partial_k A_l =... ...frac{\delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}}{2} B_n \delta_{km}=B_j.$$ (6.11.36)

Der erste Term in (6.11.25) lautet also

$$(\vec{\op{p}}-q \vec{\op{A}})^2 = \vec{\op{p}}^2 - q (\vec{\op{p}... ...\op{A}}^2 = \vec{\op{p}}^2 - q \vec{B} \cdot \vec{\op{L}} + q^2 \vec{\op{A}}^2.$$ (6.11.37)

Dabei haben wir verwendet, daß $\comm{\op{x}_j}{\op{p}_k}=0$ für $j \neq k$ und daher $\vec{\op{L}} =\vec{\op{x}} \times \vec{\op{p}}=-\vec{\op{p}} \times \vec{\op{x}}$ ist. Setzen wir dies in (6.11.25) ein, finden wir

$$\op{H}=\frac{\vec{\op{p}}^2}{2m} - \mu_B \vec{B} \cdot (\vec{\op{L}}+g_s \vec{\op{S}}) + \frac{q^2}{2m} \vec{\op{A}}^2 + q \op{\Phi} \quad \vec{A}=-\frac{1}{2} \vec{x} \times \vec{B}, \quad \vec{B}=\mathrm{const}.$$ (6.11.38)

Man kann aufgrund des zweiten Terms

$$\vec{\op{M}}=\mu_B (\vec{\op{L}}+g_s \vec{\op{S}})$$ (6.11.39)

als Operator für das totale magnetische Moment des Teilchens interpretieren. Dabei entspricht der Bahnanteil im Sinne des Korrespondenzprinzips der entsprechenden klassischen Größe für ein auf einer Kreisbahn laufendes geladenes Punktteilchen (Übung). Der Spinanteil weist jedoch den zusätzlichen Gyrofaktor $g_s$ auf und besitzt kein Analogon in der klassischen Physik eines geladenen Punktteilchens.

Wir betrachten schließlich noch die Eichinvarianz der Pauligleichung, d.h. die Unabhängigkeit der physikalischen Bedeutung der Zeitentwicklung der Wellenfunktion von der Wahl der Eichung der elektromagnetischen Potentiale. Dazu machen wir den Ansatz

$$\psi'(t,\vec{x})=\exp[\ii \alpha(t,\vec{x})] \psi(t,\vec{x})$$ (6.11.40)

für die eichtransformierte Wellenfunktion, denn ein reiner Phasenfaktor ändert nichts am physikalischen Gehalt der Wellenfunktion. In der Tat gilt dann für die linke Seite der Pauli-Gleichung (6.11.31)

$$\ii \frac{\partial \psi'}{\partial t} = \ii \exp(\ii \alpha) \lef... ...c{\partial \alpha}{\partial t} \psi + \frac{\partial \psi}{\partial t} \right).$$ (6.11.41)

Zur Auswertung der rechten Seite betrachten wir zunächst

$$(\vec{\nabla}-\ii q \pvec{A}) \psi'=\exp(\ii \alpha) [\vec{\nabla} \psi +\ii (\vec{\nabla} \alpha) \psi -\ii q (\vec{A}+\vec{\nabla} \chi) \psi ].$$ (6.11.42)

Setzen wir nun

$$\alpha=q \chi,$$ (6.11.43)

so folgt

$$(\vec{\nabla} - \ii q \pvec{A}) \psi'=\exp(\ii q \chi) (\vec{\nabla}-\ii q \vec{A}) \psi.$$ (6.11.44)

Wendet man darauf nochmals diesen Operator an, folgt

$$(\vec{\nabla}-\ii q \pvec{A})^2 \psi' = \exp(\ii q \chi) (\vec{\nabla}-\ii q \vec{A})^2 \psi.$$ (6.11.45)

Damit folgt zusammen mit (6.11.41) und (6.11.43)

$$\begin{split}\ii \frac{\partial \psi'}{\partial t} = &\exp(\i... ...\mu_B g_s \vec{B} \cdot \vec{\op{S}} \psi \right ]. \end{split}$$ (6.11.46)

Kürzen des gemeinsamen Phasenfaktors ergibt also, daß aus der Pauligleichung für $\psi'$ mit den elektromagnetischen Potentialen $\Phi'$ und $\pvec{A}$ die Pauligleichung für $\psi$ mit den ursprünglichen elektromagnetischen Potentialen $\Phi$ und $\vec{A}$ folgt. Die Pauli-Gleichung ist also invariant unter der lokalen Eichtransformation

$$\begin{split}\psi'(t,\vec{x})&=\exp[\ii q \chi(t,\vec{x})] \p... ... \vec{A}(t,\vec{x}) + \vec{\nabla} \chi(t,\vec{x}). \end{split}$$ (6.11.47)

Dabei ist $\chi$ ein beliebiges skalares Feld. Wir werden in einem späteren Kapitel noch genau auf die Eichinvarianz der Elektrodynamik zurückkommen, die sich dort als notwendige Folgerung aus der Symmetrie der speziell relativistischen Raumzeit (Minkowski-Raum) unter Poincaré-Transformationen ergeben wird.

Eine interessante Folgerung aus dem Transformationsverhalten (6.11.47) ist, daß es in Theorien mit mehreren Teilchensorten keine Überlagerungen von Zustandsvektoren (bzw. Wellenfunktionen in der Ortsdarstellung) zu Teilchen mit verschiedener Ladung geben darf, weil für solche Überlagerungen die Theorie nicht mehr eichinvariant wäre, weil dann die Phasenfaktoren für die verschiedenen Wellenfunktionen verschieden wären, denn diese enthält explizit die jeweilige Ladung der Teilchen. Dieses Verbot von Superpositionen heißt Ladungs-Superauswahlregel.

Wir leiten schließlich noch die Erhaltung der Norm der Wellenfunktion unter Zeitentwicklungen aus der Pauli-Gleichung her, die im abstrakten Bra-Ket-Formalismus (z.B. im Schrödingerbild) schon aus der Selbstadjungiertheit von $\op{H}$ folgt. Allerdings ergibt sich bei der Herleitung für die Wellenfunktion der Wahrscheinlichkeitsstrom für Spin-1/2-Teilchen im elektromagnetischen Feld, der uns im nächsten Kapitel noch nützlich sein wird. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Messung eines Teilchens am Ort $\vec{x}$ mit Spin-$z$ -Komponente $\sigma =\pm 1/2$ ist nach dem Bornschen Postulat durch

$$P(t,\vec{x},\sigma)=\vert\braket{\vec{x},\sigma}{\psi(t)}\vert^2 = \vert\psi_{\sigma}(t,\vec{x})\vert^2$$ (6.11.48)

gegeben^6.7. Interessiert man sich für die reine Teilchendichte, unabhängig davon, welche Spineinstellung man vorfindet, folgt

$$P(t,\vec{x})=\sum_{\sigma} \vert\psi_{\sigma}(t,\vec{x})\vert^2 =\psi^{\dagger}(t,\vec{x}) \psi(t,\vec{x}).$$ (6.11.49)

Wir wollen nun zeigen, daß es eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte $\vec{j}(t,\vec{x})$ gibt, so daß die Kontinuitätsgleichung

$$\frac{\partial P}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot \vec{j}=0$$ (6.11.50)

gilt. Dazu leiten wir (6.11.49) nach der Zeit ab und verwenden die Pauli-Gleichung für die Zeitableitungen. Wir benötigen dazu zunächst die Pauligleichung für den adjungierten Weyl-Spinor $\psi^{\dagger}$ . Bilden wir also die hermitesch Adjungierte der Gleichung (6.11.31):

$$-\ii \frac{\partial \psi^{\dagger}}{\partial t} = -\frac{1}{2m} (... ..._B \psi^{\dagger} \hat{\vec{S}} \cdot \vec{B}+q \Phi(t,\vec{x}) \psi^{\dagger}.$$ (6.11.51)

dabei haben wir die Selbstadjungiertheit der Spinmatrizen verwendet. Nach einigen Umformungen (Übung) gelangt man schließlich zu der folgenden Form des Wahrscheinlichkeitsstromes

$$\vec{j}=\frac{1}{2m \ii} [\psi^{\dagger} \vec{\nabla} \psi - (\vec{\nabla} \psi^{\dagger}) \psi -2 \ii q \vec{A} \psi^{\dagger} \psi].$$ (6.11.52)

Es läßt sich auch leicht zeigen (Übung), daß dieser Ausdruck unter der Eichtransformation (6.11.47) invariant ist, wie es für physikalisch beobachtbare Größen wie den Wahrscheinlichkeitsstrom sein muß^6.8.

Wir bestimmen noch den Operator der elektrischen Stromdichte. Dazu müssen wir den Erwartungswert der Teilchenenergie

$$E=\erw{\op{H}}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \psi^{\dagger} \op{H} \psi$$ (6.11.53)

mit dem Hamilton-Operator (6.11.25) betrachten. Den Zusammenhang zur elektrischen Stromdichte ergibt sich aus dem Korrespondenzprinzip. In der Lagrangefunktion (6.11.3) hat man den Anteil

$$L_{\text{mag}}=q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A}$$ (6.11.54)

bzw. für eine kontinuierliche Ladungsverteilung

$$L_{\text{mag}}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \vec{J} \cdot \vec{A} \quad \text{mit} \quad \vec{J}=\rho \vec{v},$$ (6.11.55)

wo $\rho$ die Ladungsdichte der Ladungsverteilung bezeichnet. Variiert man also in der Lagrangefunktion $\vec{A}$ , erhält man

$$\delta L=\delta L_{\text{mag}} = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \delta \vec{A} \cdot \vec{J}.$$ (6.11.56)

Die entsprechende Variation im Hamilton-Operator ist

$$\delta H =-\delta L=-\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \delta \vec{A} \cdot \vec{J}.$$ (6.11.57)

Genauso zeigt man (Übung), daß eine Variation nach dem skalaren Potential $\Phi$

$$\delta H = - \delta L=+\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \delta \Phi \rho$$ (6.11.58)

zur elektrischen Ladungsdichte führt.

Wenden wir diese Gleichungen auf (6.11.53) mit dem Hamilton-Operator (6.11.25) an, erhalten wir für die elektrische Ladungs- und Stromdichte

$$\rho=q \psi^{\dagger} \psi = q P, \quad \vec{J}=q \vec{j} + \mu_B g_s \vec{\nabla} \times (\psi^{\dagger} \hat{\vec{S}} \psi).$$ (6.11.59)

Neben der konvektiven Stromdichte $\rho \vec{v}=q \vec{j}$ erhalten wir also noch einen Beitrag vom intrinsischen magnetischen Moment der Teilchen, den sie aufgrund ihres Spins besitzen. Es ist klar, daß wegen (6.11.50) und der Relation $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V})=0$ für ein beliebiges Vektorfeld $\vec{V}$ die Kontinuitätsgleichung auch für die elektrische Ladung gilt,

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{J}=0,$$ (6.11.60)

d.h. die elektrische Ladung ist eine Erhaltungsgröße. Wir weisen noch darauf hin, daß bei einer Normierung von $\psi$ auf $1$ die hier betrachteten Ladungen und Ströme sich auf ein Teilchen im Sinne der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantentheorie beziehen. Will man reale Ensembles aus $N$ Teilchen beschreiben, wobei man die Korrelationen zwischen den Teilchen vernachlässigen kann, kann man die entsprechenden Größen mit $N$ multiplizieren, um die im realen Experiment auftretenden Ladungs- und Stromverteilungen zu berechnen.