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Der Hilbertraum

Erinnern wir uns zur Erläuterung dieser Grundpostulate zunächst an den Begriff des Hilbertraums. Dieser ist zunächst einmal ein Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen, d.h. für irgendwelche Elemente $ \ket{\psi_1}, \ket{\psi_2}, \ket{\psi_3} \in
\mathcal{H}$ und Zahlen $ \lambda_1,\lambda_2 \in \C$ gibt es die Verknüpfung der Addition von Vektoren $ \ket{\psi}+\ket{\phi}$ und der Multiplikation eines Vektors mit einer komplexen Zahl $ \lambda_1 \ket \psi$, die folgende Eigenschaften besitzen:

  $\displaystyle \ket{\psi_1}+\ket{\psi_2}=\ket{\psi_2}+\ket{\psi_1}$ (2.3.1)
  $\displaystyle (\ket{\psi_1}+\ket{\psi_2})+\ket{\psi_3}=\ket{\psi_1}+(\ket{\psi_2}+\ket{\psi_3})$ (2.3.2)
  $\displaystyle \exists 0 \in \mathcal{H}: \quad \ket{\psi_1}+0=\ket{\psi_1},$ (2.3.3)
  $\displaystyle \lambda_1 (\ket{\psi_1} + \ket{\psi_2}) = \lambda_1 \ket{\psi_1} + \lambda_1 \ket{\psi_2},$ (2.3.4)
  $\displaystyle (\lambda_1+\lambda_2) \ket{\psi_1}=\lambda_1 \ket{\psi_1} + \lambda_2 \ket{\psi_1},$ (2.3.5)
  $\displaystyle \underbrace{0}_{\in \C} \ket{\psi_1}= \underbrace{0}_{\in \mathcal{H}} \, , \quad 1 \ket{\psi}=\ket{\psi}.$ (2.3.6)

Daraus ergibt sich unter anderem auch, daß es zu jedem Vektor $ \ket{\psi}$ einen Vektor $ \ket{-\psi}:=(-1) \ket{\psi}=:-\ket{\psi}$ gibt, so daß $ \ket{\psi}+\ket{-\psi}=0$. Wegen (2.3.6) und (2.3.5) ist nämlich

$\displaystyle 0=(1-1) \ket{\psi}=1 \ket{\psi} + (-1) \ket{\psi}=:\ket{\psi}+\ket{-\psi}.$ (2.3.7)

Weiter ist auf dem Hilbertraum noch ein Skalarprodukt, das zwei Vektoren $ \ket{\psi_1}, \ket{\psi_2} \in \mathcal{H}$ auf eine komplexe Zahl $ \braket{\psi_1}{\psi_2}$ abbildet, definiert. Es besitzt die folgenden Eigenschaften:

  $\displaystyle \braket{\psi_1}{\lambda_1 \psi_2 + \lambda_2 \psi_3}=\lambda_1 \braket{\psi_1}{\psi_2} + \lambda_2 \braket{\psi_1}{\psi_3},$ (2.3.8)
  $\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_2}=\braket{\psi_2}{\psi_1}^*$ (2.3.9)
  $\displaystyle \braket{\psi}{\psi} \geq 0,$ (2.3.10)
  $\displaystyle \braket{\psi}{\psi}=0 \, \Leftrightarrow \, \ket{\psi}=0.$ (2.3.11)

Eine wichtige Folgerung aus (2.3.8) und (2.3.9) ist

$\displaystyle \braket{\lambda_1 \psi_1+\lambda_2 \psi_2}{\psi_3}=\lambda_1^* \braket{\psi_1}{\psi_3} + \lambda_2^* \braket{\psi_2}{\psi_3},$ (2.3.12)

d.h. das Skalarprodukt ist bzgl. des zweiten Arguments linear aber bzgl. des ersten Arguments antilinear, d.h. die Zahlenfaktoren in der Linearkombination sind beim Herausziehen aus dem ersten Argument komplex zu konjugieren. Der Beweis folgt einfach aus (2.3.9) und (2.3.8) sowie einfachen Eigenschaften der komplexen Konjugation für komplexe Zahlen:

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{\lambda_1 \psi_1+\lambda_2 \psi_2}{\psi_...
...i_1}{\psi_3} + \lambda_2^* \braket{\psi_2}{\psi_3}. \end{split}\end{displaymath} (2.3.13)

Auf dem Hilbertraum wird mit dem Skalarprodukt zugleich auch eine Norm definiert:

$\displaystyle \Vert\psi\Vert=\sqrt{\braket{\psi}{\psi}} \geq 0.$ (2.3.14)

Diese Definition erfüllt in der Tat die Eigenschaften einer Vektrraumnorm, d.h. es gilt

$\displaystyle \Vert\lambda \psi \Vert=\vert\lambda\vert \; \Vert\psi \Vert.$ (2.3.15)

Der Beweis ist eine sehr einfache Übungsaufgabe.

Etwas schwieriger ist der Beweis der Dreiecksungleichung

$\displaystyle \Vert\psi_1+\psi_2 \Vert \leq \Vert\psi_1 \Vert + \Vert\psi_2 \Vert.$ (2.3.16)

Dazu betrachten wir

\begin{displaymath}\begin{split}\Vert\psi_1+\psi_2 \Vert^2&=\braket{\psi_1+\psi_...
... \braket{\psi_1}{\psi_2} + \braket{\psi_2}{\psi_1}. \end{split}\end{displaymath} (2.3.17)

Nun ist (2.3.16) offenbar gleichbedeutend mit

$\displaystyle \Vert\psi_1 + \psi_2 \Vert^2 \stackrel{?}{\leq} \Vert\psi_1\Vert^2+\Vert\psi_2\Vert^2 + 2 \Vert\psi_1\Vert \; \Vert\psi_2 \Vert.$ (2.3.18)

Wir müssen also nachweisen, daß

$\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_2} + \braket{\psi_2}{\psi_1}=2 \re(\braket{\psi_1}{\psi_2}) \stackrel{?}{\leq} 2 \Vert\psi_1 \Vert \; \Vert\psi_2 \Vert.$ (2.3.19)

Dazu beweisen wir die auch für sich genommen wichtige Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

$\displaystyle \vert\braket{\psi_1}{\psi_2}\vert \leq \Vert\psi_1 \Vert \; \Vert\psi_2 \Vert.$ (2.3.20)

Wir können dabei annehmen, daß $ \ket{\psi_1} \neq 0$ und $ \ket{\psi_2}
\neq 0$, denn andernfalls wären beide Seiten der Ungleichung $ =0$, und somit die Behauptung erfüllt.

Zum Beweis von (2.3.20) setzen wir

$\displaystyle \ket{\psi}=\ket{\psi_1}-\frac{\braket{\psi_2}{\psi_1}}{\Vert\psi_2\Vert^2} \ket{\psi_2}.$ (2.3.21)

Dann folgt aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts (2.3.10)

$\displaystyle 0 \leq \braket{\psi}{\psi} = \Vert\psi_1\Vert^2 + \frac{\vert\bra...
...\psi_1\Vert^2 - \frac{\vert\braket{\psi_2}{\psi_1}\vert^2}{\Vert\psi_2\Vert^2},$ (2.3.22)

und daraus folgt durch einige einfache Umformungen (2.3.20). Daraus ergibt sich aber sofort auch (2.3.19), denn es gilt

$\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_2} + \braket{\psi_2}{\psi_1} \leq \vert\brak...
...\vert\braket{\psi_1}{\psi_2}\vert \leq 2 \Vert\psi_1 \Vert \, \Vert\psi_2\Vert.$ (2.3.23)

Damit ist die Dreiecksungleichung (2.3.18) bewiesen.

Physikalisch impliziert die Hilbertraumstruktur der Zustände das Superpositionsprinzip, dem gemäß für zwei oder mehr Zustandsvektoren auch jede Linearkombination wieder einen möglichen Zustand repräsentiert.

Wichtige Beispiele für konkrete Hilberträume, die in der Quantentheorie eine Rollen spielen, sind der Hilbertsche Funktionenraum der quadratintegrablen Funktionen $ \mathrm{L}^2(\R^3)$ und der Hilbertsche Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen $ \ell^2$.

Der erste Fall $ \mathrm{L}^2(\R^3)$ entspricht der Formulierung der Quantentheorie als Schrödingersche Wellenmechanik. Dabei werden die quantenmechanischen Zustände durch Funktionen $ \psi:\R^3
\rightarrow \C$ repräsentiert, für die das Integral

$\displaystyle \braket{\psi}{\psi}=\Vert\psi\Vert^2=\int_{\R^3} \dd^3 x \; \vert\psi(\vec{x})\vert^2$ (2.3.24)

existiert. Für zwei solcher Funktionen existiert dann auch das Skalarprodukt

$\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_2} := \int_{\R^3} \dd^3 x \; \psi_1^*(\vec{x}) \psi_2(\vec{x}).$ (2.3.25)

Es ist eine einfache Übungsaufgabe nachzuweisen, daß die Axiome (2.3.1-2.3.6) und (2.3.8-2.3.11) gelten. Hinsichtlich (2.3.11) müssen wir allerdings vereinbaren, daß wir Funktionen, für die (2.3.24) verschwindet mit der Funktion $ \psi(\vec{x}) \equiv 0$ identifizieren. Das bedeutet anders ausgedrückt, daß zwei Funktionen bereits als gleich angesehen werden, wenn sie sich nur in abzählbar vielen Stellen des $ \R^3$ voneinander unterscheiden.

Entsprechend besteht der Folgenraum $ \ell^2$ aus allen Folgen $ \psi=(\psi_n)_{n \in \N}$, für die

$\displaystyle \braket{\psi}{\psi} = \Vert\psi\Vert^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \vert a_n\vert^2$ (2.3.26)

existiert, und das Skalarprodukt wird durch

$\displaystyle \braket{\psi_1}{\psi_{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \psi_{1n}^* \psi_{2n}$ (2.3.27)

definiert. Die Darstellung der quantenmechanischen Zustandsvektoren als solche Folgen führt zur Formulierung der Quantentheorie als Heisenbergsche Matrizenmechanik.

Der Zusammenhang zwischen diesen verschiedenen Darstellungen der Quantentheorie ist durch den Diracschen darstellungsfreien Formalismus im abstrakten Hilbertraum $ \mathcal{H}$, wie wir ihn hier zusammenfassen, gegeben. Wir kommen darauf weiter unten noch zurück.

Betrachten wir also wieder den abstrakten Hilbertraum $ \mathcal{H}$. Die wichtigste Begriffsbildung, die wir aus dem gegebenen Axiomensystem aufbauen können, ist der der Konvergenz und der damit zusammenhängenden vollständigen Orthonormalsysteme. Eine Folge von Vektoren $ (\ket{\psi_n})_{n \in \N}$ heißt konvergent gegen einen Vektor $ \ket{\psi}$ im Sinne der Hilbertraum-Norm (2.3.14), wenn

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \Vert\psi_n - \psi \Vert=0$ (2.3.28)

gilt.

Im folgenden wird weiterhin postuliert, daß der Hilbertraum vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge zu einem Vektor im Hilbertraum konvergiert. Dabei heißt $ (\ket{\psi_n})_{n \in \N}$ definitionsgemäß Cauchy-Folge genau dann, wenn zu jedem $ \epsilon>0$ eine natürliche Zahl $ N \in \N$ existiert, so daß für alle $ m,n \in
\N$ mit $ m,n > N$

$\displaystyle \Vert\psi_m - \psi_n \Vert < \epsilon$ (2.3.29)

gilt. Wir bemerken ohne Beweis, daß sowohl der Hilbertsche Funktionenraum $ \mathrm{L}^2$ als auch der Hilbertsche Folgenraum $ \ell^2$ vollständig ist (zu solchen eher mathematischen Fragestellungen sei auf [FK07,FK08,FK06] verwiesen).

Eine Folge von Vektoren $ (\ket{u_n})_{n \in \N}$ heißt Orthonormalsystem, wenn für alle $ m,n \in
\N$

$\displaystyle \braket{u_m}{u_n} = \delta_{mn}:=\begin{cases}1 & \text{falls} \quad m=n,\\ 0 & \text{falls} \quad m \neq n \end{cases}$ (2.3.30)

ist. Falls die Reihe

$\displaystyle \ket{\psi}=\sum_{n=1}^{\infty} \psi_n \ket{u_n}$ (2.3.31)

konvergiert, gilt offenbar

$\displaystyle \braket{u_m}{\psi}=\sum_{n=1}^{\infty} \psi_n \braket{u_m}{u_n}= \sum_{n=1}^{\infty} \psi_n \delta_{mn}=\psi_m.$ (2.3.32)

Ist umgekehrt ein beliebiger Vektor $ \ket{\psi}$ gegeben und definieren wir

$\displaystyle \psi_n=\braket{u_n}{\psi},$ (2.3.33)

so ist die Reihe (2.3.31) konvergent, denn für jede Partialsumme gilt

$\displaystyle 0 \leq \left \Vert\psi-\sum_{n=1}^{N} \psi_n \ket{u_n} \right \Ve...
...aket{\psi}{\sum_{n=1}^{N} \psi_n u_n} -\braket{\sum_{n=1}^{N} \psi_n u_n}{\psi}$ (2.3.34)

Nun ist aber

$\displaystyle \left \Vert\sum_{n} \psi_n \ket{u_n} \right \Vert^2=\sum_{n,m=1}^...
...nderbrace{\braket{u_m}{u_n}}_{=\delta_{mn}} = \sum_{n=1}^{n} \vert\psi_n\vert^2$ (2.3.35)

und

$\displaystyle \braket{\psi}{\sum_{n=1}^{N} \psi_n u_n} = \sum_{n=1}^N \psi_n \b...
...{\psi}{\sum_{n=1}^{N} \psi_n u_n}^* = \braket{\sum_{n=1}^{N} \psi_n u_n}{\psi}.$ (2.3.36)

Dies in (2.3.35) eingesetzt liefert die Besselsche Ungleichung

$\displaystyle \left \Vert \sum_{n=1}^{N} \psi_n \ket{u_n} \right \Vert^2 = \sum_{n=1}^{N} \vert\psi_n\vert^2 \leq \Vert\psi\Vert^2.$ (2.3.37)

Die Teilsummenfolge der aus den positiven Gliedern $ \vert\psi_n\vert^2$ gebildeten Reihe ist also beschränkt und diese folglich konvergent. Nennen wir den entsprechenden Grenzwert

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \vert\psi_n\vert^2=L^2.$ (2.3.38)

Daraus folgt, daß die Teilsummenfolge

$\displaystyle \ket{S_k}=\sum_{n=1}^{k} \psi_n \ket{u_n}$ (2.3.39)

eine Cauchyfolge ist, denn zu $ \epsilon>0$ können wir ein $ N>0$ angeben, so daß für alle $ n>N$

$\displaystyle \left \vert L^2-\sum_{k=1}^{n} \vert\psi_k\vert^2 \right \vert<\frac{\epsilon^2}{2}$ (2.3.40)

ist. Dann gilt aber für die Teilsummenfolge (2.3.39) für alle $ m>n>N$:

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$\displaystyle \Vert S_m-S_n \Vert^2= \left \Vert ...
...t\psi_k\vert^2 \right \vert \stackrel{\text{(\ref{hilb.37})}}{\leq} \epsilon^2,$ (2.3.41)

d.h. für alle $ m>n>N$ gilt

$\displaystyle \Vert S_m-S_n \Vert < \epsilon.$ (2.3.42)

Da wir oben $ \epsilon>0$ beliebig wählen konnten, ist also (2.3.39) eine Cauchyfolge und folglich (wegen der Vollständigkeit des Hilbertraums) die Reihe (2.3.31) mit den Koeffizienten (2.3.33) gegen einen Vektor $ \ket{\psi'}$ konvergent:

$\displaystyle \ket{\psi'}=\sum_{n=1}^{\infty} \psi_n \ket{u_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \ket{u_n} \braket{u_n}{\psi}.$ (2.3.43)

Ein Orthonormalsystem heißt vollständig, wenn für jeden Vektor $ \ket{\psi}$ die Reihe gegen diesen Vektor konvergiert, wenn also in (2.3.43) $ \ket{\psi'}=\ket{\psi}$ ist. Dies können wir symbolisch auch dadurch ausdrücken, daß wir

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ketbra{u_n}{u_n}=\einsop$ (2.3.44)

schreiben. Dabei ist $ \einsop$ der Einheitsoperator im Hilbertraum $ \mathcal{H}$, d.h. für jeden Vektor $ \ket{\psi} \in
\mathcal{H}$ gilt

$\displaystyle \einsop \ket{\psi}=\ket{\psi}.$ (2.3.45)

Weiter definieren wir das dyadische Produkt zweier Vektoren $ \ket{\psi_1}$ und $ \ket{\psi_2}$ als den Operator, der einen beliebigen Vektor $ \ket{\psi_3}$ in den Vektor

$\displaystyle (\ketbra{\psi_1}{\psi_2})\ket{\psi_3}=\ket{\psi_1} \braket{\psi_2}{\psi_3}$ (2.3.46)

abbildet. Eine Summe oder unendliche Reihe dyadischer Produkte wirkt entsprechend auf Vektoren gemäß

$\displaystyle \left (\sum_{n} \ketbra{\psi_1}{\phi_n} \right) \ket{\psi_2} = \sum_{n} \ket{\psi_1} \braket{\phi_n}{\psi_2}.$ (2.3.47)

Damit ist die Gültigkeit von (2.3.44) in der Tat gleichbedeutend mit

$\displaystyle \ket{\psi}=\sum_{n=1}^{\infty} \ket{u_n} \braket{u_n}{\psi}$ (2.3.48)

also mit der Vollständigkeit des Orthonormalsystems $ (\ket{u}_n)_{n \in \N}$.

Es ist sehr leicht, ein Beispiel für ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) im Folgenraum $ \ell^2$ anzugeben. Offenbar ist ein solches nämlich durch

$\displaystyle u_n=(0,0,\ldots,\underbrace{1}_{\text{n-ter Eintrag}} , 0 ,\ldots)$ (2.3.49)

gegeben. Es gilt jedenfalls

$\displaystyle \braket{u_n}{u_m}=\delta_{nm},$ (2.3.50)

und ist dann

$\displaystyle \psi=(\psi_1,\psi_2,\ldots,) \in \ell^2,$ (2.3.51)

so ist offenbar in der Tat

$\displaystyle \psi_n=\braket{u_n}{\psi}$ (2.3.52)

und weiter

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \psi_n u_n=(\psi_1,\psi_2,\ldots)=\psi.$ (2.3.53)

Also ist (2.3.49) tatsächlich ein VONS.

Auf dem Funktionenraum $ \mathrm{L}^2$ ist ein VONS z.B. durch die Energieeigenfunktionen des Harmonischen Oszillators gegeben. Wir können auf den Beweis hier nicht eingehen und verweisen diesbezüglich auf die oben zitierte mathematische Literatur.

Wir bemerken noch, daß ein Hilbertraum, in dem es wenigstens ein VONS aus abzählbar vielen Vektoren gibt, genauer als separabler Hilbertraum bezeichnet wird. Da die Hilberträume $ \ell^2$ und $ \mathrm{L}^2$ separabel sind und die Quantentheorie eines Teilchens in diesen Hilberträumen formulierbar ist, ist also der quantenmechanische Hilbertraum in diesem Falle separabel. Für die praktische Anwendung der Quantentheorie spielt dies allerdings eher eine untergeordnete Rolle.




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