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Die Feynman-Kac-Formel

Während Feynman (zumindest zeitweise) die Pfadintegralformulierung als alternativen Zugang zur Quantenmechanik gegenüber der historisch älteren in diesem Skript verwendeten kanonischen Quantisierung im Rahmen der Operatorformulierung der Quantentheorie betrachtete verwenden wir hier umgekehrt die Operatormethoden, um die Pfadintegrale zu begründen. Diese stellen insbesondere die Unitarität der Zeitentwicklung sicher, und wie wir sehen werden, ist die naive Korrespondenz zwischen dem klassischen Lagrangeformalismus der Mechanik und den Pfadintegralen nur für bestimmte Hamilton-Operatoren gültig.

Wir betrachten zunächst den einfachen Fall eines Teilchens, das sich in einer Raumdimension in einem vorgegebenen äußeren Potential $ V(x)$ bewegt. Unser erstes Ziel ist die Berechnung des Zeitentwicklungskerns $ U(t',x';t,x)$ mittels Pfadintegralen. Im Heisenbergbild gilt

$\displaystyle \braket{x',t'}{x,t}=\matrixe{x',0}{\exp \left [-\frac{\ii}{\hbar} \op{H}(t'-t) \right]}{x,0}.$ (7.1.1)

Dabei haben wir die Lösung der Bewegungsgleichung für die Operatoren im Heisenbergbild (2.10.10) mit $ \op{X}=\op{H}$ verwendet. Die Lösung für den nicht explizit zeitabhängigen Ortsoperator ist nämlich

$\displaystyle \op{x}(t)=\exp \left (\frac{\ii}{\hbar} \op{H} t \right ) \op{x}_0 \exp \left(-\frac{\ii}{\hbar} \op{H} t \right),$ (7.1.2)

wie man sich durch Ableiten nach der Zeit überzeugt. Dabei ist zu berücksichtigen, daß $ \op{H}$ im Heisenbergbild zeitunabhängig ist, solange keine explizite Zeitabhängigkeit vorliegt, wovon wir hier ausgehen wollen. Daraus folgt aber für die Ortseigenvektoren

$\displaystyle \ket{x,t}=\exp \left (\frac{\ii}{\hbar} \op{H} t \right) \ket{x,0}.$ (7.1.3)

Wir betrachten nun den einfachsten Fall eines Hamiltonoperators für ein sich entlang der $ x$-Achse in einem Potential $ V$ bewegenden Teilchens. Der entsprechende Hamiltonoperator lautet

$\displaystyle \op{H}=\frac{\op{p}^{2}}{2m} + V(\op{x}).$ (7.1.4)

Im allgemeinen können wir (7.1.1) nicht geschlossen ausrechnen, da die Exponentialfunktion wegen der Nichtkommutativität des Orts- und Impulsoperators nicht einfach zu berechnen ist.

Die grundlegende Idee der Pfadintegralmethode zur Berechnung von (7.1.1) besteht daher darin, das Zeitintervall $ (t,t')$ in $ N$ Teilintervalle der Länge $ \Delta t=(t-t')/N$ aufzuteilen. Da $ \op{H}$ nicht explizit zeitabhängig ist (und also im Heisenbergbild überhaupt nicht von der Zeit abhängt), können wir schreiben

$\displaystyle \exp \left [-\frac{\ii}{\hbar} \op{H}(t'-t) \right ]=\underbrace{...
... \left (-\frac{\ii}{\hbar} \op{H} \Delta t \right) }_{N \quad \text{Faktoren}}.$ (7.1.5)

Durch Entwicklung des Faktors nach $ \Delta t$ gemäß

$\displaystyle \exp \left (-\frac{\ii}{\hbar} \op{H} \Delta t \right) = \einsop-\frac{\ii}{\hbar} \op{H} \Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^2)$ (7.1.6)

wird klar, daß zu jedem Zeitpunkt $ t$

$\displaystyle \exp\left (-\frac{\ii}{\hbar} \Delta t \op{H} \right)=\exp \left ...
...t [-\frac{\ii}{\hbar} V(\op{x}(t)) \Delta t \right] + \mathcal{O}(\Delta t^{2})$ (7.1.7)

gilt.

Setzen wir diese Näherung in (7.1.5) und dann in (7.1.1) ein, können wir an der jeweils geeigneten Stelle einen Einsoperator in der Form

$\displaystyle \einsop=\int_{\R} \dd p \ketbra{p,t}{p,t}$   bzw.$\displaystyle \quad \einsop=\int_{\R} \dd x \ketbra{x,t}{x,t}$ (7.1.8)

einschieben. Dabei verwenden wir die Zeiten

$\displaystyle t_j=t+j \Delta t, \quad j \in \{0,1,\ldots, N \}.$ (7.1.9)

Schreiben wir zur Abkürzung $ p(t_j)=p_j$ und $ x(t_j)=x_j$, erhalten wir

\begin{displaymath}\begin{split}U(t',x';t,x) & = \int_{\R^N} \dd p_{1} \ldots \d...
...-\frac{\ii}{\hbar} V(\op{x}) \Delta t \right ]}{x}. \end{split}\end{displaymath} (7.1.10)

Nun gilt

\begin{displaymath}\begin{split}&\matrixe{x_{k+1}}{\exp \left (-\frac{\ii}{\hbar...
...i}{\hbar} x_{k} p_{k} \right)}{\sqrt{2 \pi \hbar}}. \end{split}\end{displaymath} (7.1.11)

Setzen wir dies in wiederum (7.1.10) ein, erhalten wir

\begin{displaymath}\begin{split}U(t',x';t,x) =&\lim_{N \rightarrow \infty} \int_...
...\hbar} \sum_{k=1}^{N} p_{k}(x_{k}-x_{k-1}) \right], \end{split}\end{displaymath} (7.1.12)

Die Paare von Eigenwerten $ (x_k,p_k)$ können wir nun als diskrete Näherung von Teilchenbahnen im Phasenraum interpretieren. Dann wird die Summe im Exponenten im Limes $ N \rightarrow \infty$ zu dem Integral entlang einer vorgegebenen Phasenraumtrajektorie $ [x(t''),y(t'')]$ mit $ t'' \in (t,t')$. Der Exponent wird dadurch zum Wirkungsfunktional

$\displaystyle S[x,p]=\int_{t}^{t'} \dd t'' \left[ -H(x,p)+p \frac{\dd x}{\dd t} \right ].$ (7.1.13)

Dabei sind die Endpunkte $ x(t)=x$ und $ x(t')=x'$ fixiert, während die Impulse keine Einschränkungen an den Endpunkten besitzen. Damit läßt sich (7.1.12) als das Integral über alle Phasenraumtrajektorien mit festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt im Konfigurationsraum interpretieren. Dabei ist über solche Trajektorien zu integrieren, für die im Ortsraum die Randbedingungen $ x(t)=x$ und $ x(t')=x'$ gelten, während die kanonischen Impulse keinerlei Randbedingungen unterworfen sind. Dies weist schon auf einen engen Zusammenhang der Pfadintegralmethoden mit dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip hin, wo genau diese Randbedingungen zu stellen sind. Wir schreiben nun den Kontinuumslimes von (7.1.12) symbolisch als

$\displaystyle U(t',x';t,x)=\int_{(t,x)}^{(t',x')} \D p \; \D x \, \exp \left ( \frac{\ii}{\hbar} S[x,p] \right ).$ (7.1.14)

Wir können $ U(t',x';t,x)$ als Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude interpretieren, d.h.
$ \vert U(t',x';t,x)\vert^2 \dd x \dd x'$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, daß ein Teilchen, das sich zur Zeit $ t$ in einem kleinen Ortsintervall $ \dd x$ um den Punkt $ x$ befunden hat, zur Zeit $ t'$ in einem Ortsintervall $ \dd x'$ um $ x'$ herum beobachtet wird.

Der entscheidende Schritt für eine Formulierung des Pfadintegrals als Summe über Ortsraumtrajektorien und nicht Phasenraumtrajektorien ist nun, daß wir die Integrale über die Impulse in (7.1.12) ausführen können. Dazu müssen wir die Integrale zunächst regularisieren, indem wir $ \Delta t$ durch $ \Delta t-\ii 0^+$ ersetzen. Dann werden die Impulsintegrale zu GaußIntegralen, die wir geschlossen ausrechnen können. Es ergibt sich dabei

$\displaystyle I_k=\int \dd p_k \exp \left [ -\frac{\ii}{\hbar} \Delta t \frac{p...
...a t}} \exp \left [ \frac{\ii m (x_k - x_{x-1})^{2}}{2 \Delta t \hbar} \right ].$ (7.1.15)

Setzen wir dieses Resultat in (7.1.12) ein, finden wir das Ortsraumpfadintegral für die Zeitentwicklungskern

\begin{displaymath}\begin{split}U(t',x';t,x)=\lim_{N \rightarrow \infty} \int_{\...
...{k-1})^2}{2 \Delta t^2} -V(x_k) \right ] \right \}. \end{split}\end{displaymath} (7.1.16)

Im gleichen Sinne wie oben sehen wir, daß dies die diskretisierte Version des Pfadintegrals über Trajektorien im Ortsraum

$\displaystyle U(t',x';t,x)=\int_{(t,x)}^{(t',x')} \mathcal{D} x \exp \left ( \frac{\ii}{\hbar} S[x] \right ),$ (7.1.17)

ist, wobei nunmehr die Lagrangesche Form des Wirkungsfunktionals

$\displaystyle S[x]=\int_t^{t'} \dd t L(\dot{x},x)$   mit$\displaystyle \quad L(\dot{x},x)=\frac{m}{2} \dot{x}^2-V(x)$ (7.1.18)

als Argument der Exponentialfunktion auftaucht. Wir haben das Pfadintegralmaß nun mit $ \mathcal{D} x$ bezeichnet, um an die zusätzlichen Faktoren in (7.1.16) zu erinnern.

In dieser Form besitzt das Pfadintegral die folgende intuitive Bedeutung: Die Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude dafür, daß ein zur Zeit $ t$ am Ort $ x$ lokalisiertes Teilchen sich zur Zeit $ t'$ bei $ x'$ befindet, ist durch die kohärente Summe der Phasenfaktoren über alle möglichen Ortsraumpfade gegeben, wobei Anfangs- und Endpunkt entsprechend bei $ x$ bzw. $ x'$ fixiert sind.

Im nächsten Abschnitt berechnen wir als eines der sehr wenigen Beispiele, bei dem sich das Pfadintegral (7.1.18) tatsächlich analytisch auswerten läßt, erneut den Zeitentwicklungskern des harmonischen Oszillators, den wir bereits in Abschnitt 3.5.2 berechnet haben.




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