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Der Propagator für das freie Teilchen (Gitterrechnung)

Für das freie Teilchen, also den Fall $ V=0$ läßt sich das Ortsraumpfadintegral (7.1.17) in der Gitterversion (7.1.16) relativ leicht lösen. Dazu beachten wir, daß der Gitterpunkt $ x_j$ in der Summe in der Exponentialfunktion in nur zwei Termen vorkommt, nämlich für $ k=j$ und $ k=j+1$. Es handelt sich offenbar um die Faltung zweier Gauß-Integrale, die freilich wieder ein Gauß-Integral ist. Die allgemeine Formel lautet

$\displaystyle \int_{\R} \dd x \exp[-a_1(x-y_1)^2] \exp[-a (x-y_2)^2]=\sqrt{\frac{\pi}{a_1+a_2}} \exp \left [-\frac{a_1 a_2}{a_1+a_2} (y_1-y_2)^2 \right ].$ (7.2.1)

Damit können wir nun (7.1.16) leicht iterativ berechnen. Es ergibt sich schließlich wieder das bereits bekannte Resultat (vgl. )

$\displaystyle U(t',x';t,x)=\sqrt{\frac{m}{2 \pi \ii \hbar(t'-t)}} \exp \left (\frac{\ii m (x'-x)^2}{2(t'-t)} \right ).$ (7.2.2)