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Der Propagator für den harmonischen Oszillator (Gitterrechnung)

Die Lagrange-Funktion für den harmonischen Oszillator lautet

$\displaystyle L=\frac{m}{2} \dot{x}^2 - \frac {m \omega^2}{2} x^2.$ (7.3.1)

Der entsprechende Hamiltonoperator ist wegen $ p=\partial L/\partial \dot{x}=m\dot{x}$

$\displaystyle H=p \dot{x}-L=\frac{p^2}{2m}+\frac{m \omega^2}{2} x^2$ (7.3.2)

gegeben und nicht nur in $ p$ sondern auch in $ x$ quadratisch. Deshalb können wir in diesem Fall über die diskretisierte Form (7.1.16) auch das Ortsraumpfadintegral (7.1.17) berechnen.

Zunächst müssen wir uns mit der Frage befassen, wie die Randbedingungen $ x(t)=x$ und $ x(t')=x'$ an Anfang und Ende der Trajektorien, über die zu integrieren ist, berücksichtigt werden können. Wie wir gleich sehen werden, wird dies am bequemsten dadurch bewerkstelligt, daß wir zunächst die klassische Trajektorie, die durch den stationären Punkt des Wirkungsfunktionals unter diesen Randbedingungen gegeben ist, berechnen. Wir suchen also die Trajektorie, für die

$\displaystyle \left . \frac{\delta S[x]}{\delta x} \right\vert _{x=x_{\mathrm{cl}}}=0$   mit$\displaystyle \quad x(t)=x, \; x(t')=x'.$ (7.3.3)

Da die Wirkung quadratisch ist, können wir das Wirkungsfunktional um die klassische Trajektorie entwickeln, wobei die Entwicklung nach dem Glied zweiter Ordnung abbricht. Setzen wir $ y=x-x_{\text{cl}}$, bedeutet dies

$\displaystyle S[y+x_{\text{cl}}]=S[x_{\text{cl}}] + \frac{1}{2} \funcint{\left....
...{\delta x_1 \delta x_2} \right \vert _{x=x_{\mathrm{\text{cl}}}} y_1 y_2}_{12},$ (7.3.4)

wobei die geschweifte Klammer eine Abkürzung für mehrfache Zeitintegrale

$\displaystyle \funcint{f_{12 \ldots n}}_{12 \ldots n}=\int_t^{t'} \dd t_1 \int_{t}^{t'} \d t_2 \ldots \int_{t}^{t'} \dd t_n \; f(t_1,t_2,\ldots,t_n)$ (7.3.5)

bedeutet. Es ist klar, daß wegen (7.3.3) kein in $ y$ linearer Term in (7.3.4) auftritt.

Da wir weiter das Pfadintegral über alle Trajektorien mit den in (7.3.3) angegebenen Randbedingungen zu erfolgen hat, können wir im Pfadintegral $ y$ zugunsten von $ x$ substituieren, wobei $ y$ die homogenen Randbedingungen

$\displaystyle y(t)=y(t')=0$ (7.3.6)

zu erfüllen hat. Wir erhalten also

$\displaystyle U(t',x';t,x)=\exp \left (\frac{\ii}{\hbar} S[x_{\mathrm{cl}}] \ri...
...\erw{\frac{\delta S[x_{\mathrm{cl}}]}{\delta x_1 \delta x_2} y_1 y_2} \right ].$ (7.3.7)

Als erstes berechnen wir die Wirkung entlang der klassischen Trajektorie. Wir erinnern zunächst an die Herleitung der Bewegungsgleichung aus dem Variationsprinzip (7.3.3), welches nichts anderes als das Hamiltonsche Prinzip der klassischen Mechanik ist, welches hier bezeichnenderweise im Rahmen der Quantentheorie auftritt. Wir werden weiter unten noch näher auf diese Beziehung der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik eingehen. Jedenfalls variieren wir die klassissche Trajektorie um $ \delta x$:

$\displaystyle \delta S=\int_t^{t'} \dd t'' \left [ \frac{\partial L}{\partial x} \delta x + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta \dot{x} \right].$ (7.3.8)

Eine partielle Integration liefert unter Berücksichtigung der Randbedignungen $ \delta x(t)=\delta x(t')=0$

$\displaystyle \delta S=\int_t^{t'} \dd t \left [ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right] \delta x.$ (7.3.9)

Da ansonsten $ \delta x$ eine beliebige Funktion von $ t$ sein darf, ergibt die Stationaritätsforderung (7.3.3) die Euler-Lagrange-Gleichungen für die klassische Trajektorie

$\displaystyle 0=\left. \frac{\delta S}{\delta x} \right\vert _{x=x_{\mathrm{cl}...
...c{\dd}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right )_{x=x_{\mathrm{cl}}}.$ (7.3.10)

Wir erhalten in der Tat die klassische Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator, und unter Berücksichtigung der Randbedingungen in (7.3.3) lautet deren Lösung

$\displaystyle x_{\mathrm{cl}}(\tau)=x \cos[\omega(\tau-t)] + \frac{x'-x \cos[\omega(t'-t)]}{\sin[\omega(t'-t)]} \sin[\omega(\tau-t)].$ (7.3.11)

Das Wirkungsfunktional nimmt entlang dieser Trajektorie den Wert

$\displaystyle S[x_{\mathrm{cl}}]=\frac{m \omega \{ (x^2+{x'}^2) \cos[\omega(t'-t)] - 2x x' \}}{2 \sin[\omega(t'-t)]}$ (7.3.12)

an.

Schließlich müssen wir noch das verbliebende Pfadintegral in (7.3.7) berechnen. Dazu müssen wir wieder zu seiner diskretisierten Version gemäß (7.1.16) übergehen, wobei jedoch die einfacheren Randbedingungen $ y(t)=y(t')=0$ zur Anwendung kommen. Das Pfadintegral ist also durch

\begin{displaymath}\begin{split}A= \lim_{N \rightarrow \infty} \left ( \frac{m N...
...{m^2}{2} \omega^2 y_k^2 \Delta t \right ] \right \} \end{split}\end{displaymath} (7.3.13)

gegeben. Da $ y_0=y_N=0$, können wir das Argument in der Exponentialfunktion in der Form

$\displaystyle \frac{1}{\hbar} \sum_{k=1}^N \left [ \frac{m(y_k-y_{k-1})^2}{2 \D...
..._k^2 \Delta t \right ] = \frac{m}{2 \hbar \Delta t} \vec{y}^{\,t} M_{N} \vec{y}$ (7.3.14)

schreiben, wobei $ \vec{y}$ den Spaltenvektor $ (y_1,y_2,\ldots,y_{N-1})^t$ und

$\displaystyle M_{N}=\left ( \begin{array}{cccccc} C & -1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \...
...ots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \right )$   mit$\displaystyle \quad C=2-\omega^2 \Delta t^2$ (7.3.15)

eine $ \R^{(N-1) \times (N-1)}$-Matrix bezeichnen.

Zunächst berechnen wir ein ähnliches $ k$-dimensionales Gaußsches Integral mit einer symmetrischen positiv definiten Matrix $ M$. Da solche Matrizen stets mit einer orthogonalen Transformation diagonalisiert werden können, erhalten wir

$\displaystyle \int_{\R^k} \d^k y \; \exp(-y^t M y)=\prod_{j=1}^k \int_{-\infty}^{\infty} \dd x_j \exp(-\lambda_j x_j^2).$ (7.3.16)

Dabei sind die $ \lambda_j$ die Eigenwerte der Matrix $ M$. Damit ist das Integral auf ein Produkt einfacher Gaußintegrale reduziert, was schließlich

$\displaystyle \int_{\R^k} \d^k y \exp(-y^t M y)=\sqrt {\frac{\pi^k}{\prod_{j=1}^k \lambda_j}} = \sqrt{\frac{\pi^k}{\mathrm{det} M}}$ (7.3.17)

ergibt. Dieses Resultat können wir nun auf (7.3.13), indem wir $ \Delta t \rightarrow \Delta t-\ii 0^+$ setzen. Das bedeutet, daß wir lediglich die Determinante der Matrix (7.3.15) zu berechnen haben. Die etwas längere Rechnung ergibt nach Ausführen des Kontinuumslimes $ N \rightarrow \infty$

$\displaystyle A=\sqrt{\frac{m\omega}{2 \pi \ii \hbar \sin[\omega(t'-t)]}}.$ (7.3.18)

Damit ergibt sich schließlich der Zeitentwicklungskern des harmonischen Oszillators in der Ortsdarstellung zu

$\displaystyle U[x',t';x,t] = \sqrt{\frac{m\omega}{2 \pi \ii \hbar \sin[\omega(t...
...2+{x'}^2) \cos[\omega(t'-t)] - 2x x' \}}{2 \hbar \sin[\omega(t'-t)]} \right \},$ (7.3.19)

wobei wir (7.3.7), (7.3.8) und (7.3.18) verwendet haben. Dies stimmt in der Tat mit den Ergebnissen unserer früheren Rechnungen überein.




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