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Funktionale Methoden

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Frage, wie wir das Pfadintegral direkt berechnen können, ohne die mühsame Diskretisierung der Wirkung und die anschließende Bildung des Kontinuumlimes' durchführen zu müssen. Freilich werden wir uns auch hier auf Gaußsche Pfadintegrale, also im wesentlichen auf das freie Teilchen und den harmonischen Oszillator beschränken müssen.

Wir gehen dazu von der Kontinuumsform (7.1.14) des Pfadintegrals in der Hamilton-Formulierung aus:

$\displaystyle U(t',x';t,x) = \int_{(t,x)}^{(t',x')} \D x \int \D p \, \exp \left ( \frac{\ii}{\hbar} S[x,p] \right ).$ (7.4.1)

Wir folgen der Rechnung in der gegitterten Version und führen zuerst das Pfadintegral bzgl. des kanonisch konjugierten Impulses $ p$ aus. Dieses Integral ist offenbar unabhängig vom Potential, denn es gilt

\begin{displaymath}\begin{split}U(t',x';t,x) = & \int_{(t,x)}^{(t',x')} \D x \ex...
...'') p(t'') - \frac{p^2(t'')}{2m} \right ) \right ]. \end{split}\end{displaymath} (7.4.2)

In dem Pfadintegral bzgl. $ p$ in der zweiten Zeile haben wir $ \dot{x}$ als unabhängige von $ p$ unabhängige Variable zu sehen. Daher können wir die Integration formal bis auf eine von $ t$ und $ t'$ aber nicht von $ x$, $ x'$ und dem Potential $ V$ abhängige multiplikative Konstante ausführen. Wie wir aus der Rechnung im Gitterformalismus wissen, ist diese Konstante für $ \Delta t \rightarrow 0$ divergent, und erst zuammen mit der Ausführung auch des Pfadintegrals bzgl. $ x$ ergibt sich ein sinnvoller Limes. Daher lassen wir die besagte Konstante zunächst unbestimmt. Demnach gilt

$\displaystyle U(t',x';t,x)= N(t,t') \int_{(t,x)}^{(t',x')} \D x \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} S[x] \right ).$ (7.4.3)

Um die unbestimmte Konstante $ N(t,t')$ sinnvoll festzulegen, müssen wir das $ x$-Pfadintegral für einen beliebigen Spezialfall ausrechnen, und dazu bietet sich das freie Teilchen an, für das wir den Propagator (2.11.25) bereits mehrfach berechnet haben.



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