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Der Propagator des freien Teilchens

Der erste Schritt ist die Zurückführung auf ein Pfadintegral mit homogenen Randbedingungen durch Substitution im Pfadintegral auf die neuen Integrationsvariable $ y(t)=x(t)-x_{\text{cl}}(t)$, wobei $ x_{\text{cl}}(t)$ die klassische Trajektorie ist, welche die Randbedingungen $ x_{\text{cl}}(t)=x$ und $ x_{\text{cl}}(t')=x'$ erfüllt. Die klassische Trajektorie ist durch den stationären Punkt des Wirkungsfunktionals, also die klassische Bewegungsgleichung gegeben. Für das freie Teilchen ist die Lagrangefunktion

$\displaystyle L=\frac{m}{2} \dot{x}^2,$ (7.4.4)

und die Euler-Lagrange-Gleichung lautet

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \ddot{x} \stackrel{!}{=} \frac{\partial L}{\partial x}=0.$ (7.4.5)

Die Lösung der Bewegungsgleichung, welche die Randbedingungen erfüllt, ist folglich

$\displaystyle x_{\text{cl}}(t'')=x + \frac{x'-x}{t'-t}(t''-t).$ (7.4.6)

Wegen $ \D y=\D x$ ergibt sich durch Entwicklung der Wirkung um $ x_{\text{cl}}$

$\displaystyle S[x_{\text{cl}}+y]=S[x_{\text{cl}}] + \int_{t}^{t'} \dd t'' \frac{m}{2} \dot{y}^2(t''),$ (7.4.7)

wobei wir verwendet haben, daß $ \delta S[x_{\text{cl}}]/\delta x=0$ ist. Für die Wirkung der klassischen Trajektorie ergibt sich also

$\displaystyle S[x_{\text{cl}}]=\frac{m}{2} \frac{(x'-x)^2}{t'-t}$ (7.4.8)

und folglich für das Pfadintegral (7.4.3)

$\displaystyle U(t',x';t,x) = N(t',t) \exp \left (\frac{\ii m (x'-x)^2}{2 \hbar ...
...t (\frac{\ii}{\hbar} \int_{t}^{t'} \dd t'' \frac{m}{2} \dot{y}^2(t'') \right ).$ (7.4.9)

Das verbliebene Pfadintegral können wir nun formal lösen, indem wir es in der Form

\begin{displaymath}\begin{split}F_0(t',t) &= N(t',t) \int_{(t,0)}^{(t',0)} \D y ...
...dd t'' \frac{m}{2} y(t'') (-\d_t^2) y(t'') \right ) \end{split}\end{displaymath} (7.4.10)

schreiben. Wir haben dabei im Wirkungsfunktional im Exponenten unter Verwendung der homogenen Randbedingungen partiell integriert. Wir fassen nun $ \hat{eta}=-\dd_t^2$ als linearen Operator auf, der auf dem Raum der Trajektorien mit den homogenen Randbedingungen definiert ist, den wir mit dem Skalarprodukt

$\displaystyle (x_1,x_2)=\int_{t}^{t'} \dd t'' x_1(t'') x_2(t'')$ (7.4.11)

zum Hilbertraum $ L^2([t,t'],\R)$ machen. Auf diesem Hilbertraum ist $ \mathrm{i} \dd_t$ bis auf Faktoren analog zum Impulsoperator in der Ortsdarstellung und folglich $ -\dd_t^2$ selbstadjungiert. Freilich ist $ \ii \dd_t$ selbst kein selbstadjungierter Operator, weil wir nur reellwertige $ x(t)$ zulassen. Wir können dann (7.4.10) als Gauß-Integral lesen und einerseits durch Zeitgitterung tatsächlich auf ein vieldimensionales Gauß-Integral abbilden. Die entsprechende Rechnung haben wir für den harmonischen Oszillator schon oben durchgeführt. Hier wollen wir direkt eine Funktionaldeterminante für den kontinuierlichen Operator definieren. Da $ -\dd_t^2$ ein positiv definiter Operator ist, wie wir gleich noch nachweisen werden, müssen wir freilich im Exponenten von (7.4.10) $ \ii \rightarrow \ii-0^+$ setzen. Dann ergibt sich aus der gegitterten Form des Gauß-Integrals

$\displaystyle F(t',t)=N(t',t) \left \{ \det \left [\frac{m}{2 \pi \ii \hbar} (-\dd_t^2) \right ] \right \}^{-1/2}.$ (7.4.12)

Die Funktionaldeterminante ergibt sich nun als Produkt der Eigenwerte des entsprechenden Operators. Die Eigenwerte sind nun aber durch

$\displaystyle -\d_t^2 y=\omega^2 y$ (7.4.13)

bestimmt. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

$\displaystyle y(t'')=A \cos(\omega t'') + B \sin(\omega t'').$ (7.4.14)

Offenbar befriedigen genau die Funktionen

$\displaystyle y_n(t'') = A \sin \left (\frac{n \pi (t''-t)}{t'-t} \right )$   mit$\displaystyle \quad n \in \N$ (7.4.15)

die Randbedingungen $ y_n(t)=y_n(t')=0$. Die Eigenwerte des Operators unter der Determinante (7.4.12) sind also

$\displaystyle \lambda=\frac{m}{2 \pi \ii \hbar} \omega_n^2$   mit$\displaystyle \quad \omega_n=\frac{n \pi}{t'-t}.$ (7.4.16)

Die Determinante ist also divergent wie zu erwarten, denn auch $ N(t',t)$ ist im Kontinuumslimes divergent. Andererseits kennen wir von (2.11.25) die Lösung

$\displaystyle F(t',t)=\sqrt{\frac{m}{2 \pi \ii \hbar (t'-t)}}$ (7.4.17)

und damit haben wir formal

$\displaystyle N(t',t) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi \ii \hbar (t'-t)}} \sqrt{\det \left [\frac{m}{2 \pi \ii \hbar} (-\dd_t^2) \right ]}.$ (7.4.18)




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