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Propagator des harmonischen Oszillators

Wir können nun unser Resultat (7.4.18) verwenden, um abermals den Propagator für den harmonischen Oszillator direkt mit Kontinuumsmethoden zu berechnen. Dazu können wir gleich von (7.3.7) ausgehen, schreiben diese Formel aber mit Hilfe unseres universellen Faktors (7.4.18) in der Form

$\displaystyle U(t',x';t,x)=F(t',t) \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} S[x_{\text{cl}...
...N(t',t) \int_{(t,0)}^{(t',0)} \D y \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} S[y] \right ).$ (7.4.19)

Nun ist das Pfadintegral ebenfalls ein Gauß-Integral. Der einzige Unterschied ist, daß in (7.4.12) $ -\dd_t^2$ durch $ -\dd_t^2-\omega^2$ zu ersetzen ist. Die Eigenwerte des ensprechenden Operators unter der Determinante sind aber offensichtlich

$\displaystyle \lambda_n = \frac{m}{2 \pi \ii \hbar} (\omega_n^2-\omega^2).$ (7.4.20)

Mit (7.4.18) folgt damit aus (7.4.19)

$\displaystyle F^2(t',t)=\frac{m}{2 \pi \ii \hbar (t'-t)} \left [\prod_{n=1}^{\infty} \left (1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right ) \right ]^{-1}.$ (7.4.21)

Mit $ \alpha=\omega(t'-t)/\pi$ müssen wir also das unendliche Produkt

$\displaystyle D(\alpha)=\prod_{n=1}^{\infty} \left (1-\frac{\alpha^2}{n^2} \right )$ (7.4.22)

bzw.

$\displaystyle \ln D(\alpha)=\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left (1-\frac{\alpha^2}{n^2} \right )$ (7.4.23)

berechnen. Eine Methode ist die Anwendung von Summationsformeln mit Hilfe des Residuensatzes, die wir in Anhang C angeben. Das Resultat lautet im gegebenen Falle

$\displaystyle D(\alpha)=\frac{\sin(\alpha \pi)}{\alpha \pi}$ (7.4.24)

und damit

$\displaystyle F(t,t')=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi \ii \hbar \sin[\omega(t'-t)]}}.$ (7.4.25)

Setzt man dies in (7.4.19) ein und beachtet (7.3.12), erhält man in der Tat wieder (7.3.19).




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