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Die Zusammensetzungsregel für Pfadintegrale

Im folgenden leiten wir einige einfache allgemeine Eigenschaften von Pfadintegralen her. Als erstes bemerken wir, daß für den Zeitentwicklungsoperator die Zusammensetzungsregel

$\displaystyle \op{U}(t_3,t_1)=\op{U}(t_3,t_2) \op{U}(t_2,t_1)$   für$\displaystyle \quad t_1 \leq t_2 \leq t_3$ (7.5.1)

gilt. Diese folgt unmittelbar aus

$\displaystyle \op{U}(t',t)=\exp \left[-\frac{\ii}{\hbar} \op{H} (t'-t) \right ].$ (7.5.2)

Multiplikation von (7.5.1) von links mit $ \bra{x_3,0}$ und von rechts mit $ \ket{x_1,0}$ und Einschieben einer Zerlegung der $ \einsop$ mittels Orteigenzuständen, ergibt wegen (7.1.1)

$\displaystyle U(x_3,t_3;x_1,t_1)= \int_{-\infty}^{\infty} \dd x_2 \; U(x_3,t_3;x_2,t_2) U(x_2,t_2;x_1,t_1).$ (7.5.3)

Drücken wir die Zeitentwicklungskerne durch Pfadintegrale aus, erhalten wir daraus die Zusammensetzungsregel für Pfadintegrale

$\displaystyle \int_{(t_1,x_1)}^{(t_3,x_3)} \mathcal{D}x \exp \left ( \frac{\ii}...
...x_2)}^{(t_3,x_3)} \mathcal{D}x \exp \left ( \frac{\ii}{\hbar}\ii S[x] \right ),$ (7.5.4)

die man auch direkt mittels der diskretisierten Version der Pfadintegralformel zeigen kann.

Eine eher intuitive Erklärung der Zusammensetzungsregel folgt wieder aus der Vorstellung, daß das Pfadintegral die kohäherente Überlagerung der Phasen für alle möglichen Ortsraumtrajektorien, die $ x_1$ und $ x_3$ zu den festgelegten Zeitpunkten $ t_1$ und $ t_3$ erreichen, ist. Diese Summe kann auch dadurch berechnet werden, daß zunächst das Teilchen zu der Zwischenzeit $ t_2$ bei $ x_2$ angelangt ist und von dort schließlich zur Zeit $ t_3$ den Ort $ x_3$ erreicht. Sämtliche möglichen Trajektorien erhält man schließlich, indem man auch über $ x_2$ integriert.

Wir bemerken schließlich noch, daß wir auch die Übergangsmatrixelemente beliebiger zeitgeordneter Produkte von Ortsoperatoren über ein Ortsraumpfadintegral ausdrücken können. Dazu muß man nur die Kompositionsregel mehrfach anwenden und entsprechende Zeitentwicklungsoperatoren und Zerlegungen der $ \einsop$ einschieben (Übung!). Das Resultat lautet für $ t_j \in (t,t')$ für $ j \in \{1,\ldots,k \}$

$\displaystyle \matrixe{x',t'}{T_c \op{x}(t_1) \op{x}(t_2) \ldots \op{x}(t_k)}{x...
...D}x \; x(t_1) x(t_2) \ldots x(t_k) \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} S[x] \right ).$ (7.5.5)




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