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Herleitung der Schrödinger-Gleichung

In diesem Abschnitt wollen wir die Schrödinger-Gleichung für den Zeitentwicklungskern aus der Pfadintegraldarstellung (7.1.17) herleiten. Beginnen wir also wieder mit dem Ortsraumpfadintegral

$\displaystyle U(t',x';t,x)=\int_{(t,x)}^{(t',x')} \mathcal{D}x \exp \left (\frac{\ii}{\hbar} S[x] \right ).$ (7.6.1)

Die Schrödingergleichung erhalten wir, indem wir die Zeitableitung bzgl. $ t'$ berechnen. Aufgrund der Zusammensetzungsregel (7.5.3) gilt

$\displaystyle U(t'+\epsilon,x';t,x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dd \xi \; U(t'+\epsilon,x';t',\xi) U(t',\xi;x,t).$ (7.6.2)

Dies entwickeln wir für kleine $ \epsilon$ bis zur linearen Ordnung. Den ersten Summanden können wir dann als Pfadintegral mit nur einem diskreten Zeitschritt von $ t'$ nach $ t'+\epsilon$ nähern. Daraus folgt

$\displaystyle U(t',x';t,x)=\int_{-\infty}^{\infty} \dd \xi \; \sqrt{\frac{m \hb...
...rac{\ii}{\hbar} \epsilon V(x')+\mathcal{O}(\epsilon^{2}) \right] U(t',\xi;t,x).$ (7.6.3)

Der Exponentialfaktor in diesem Integral oszilliert für $ \epsilon \rightarrow 0$ sehr schnell, außer für $ \xi \approx x'$. Der Hauptbeitrag zum Integral wird also von diesem Bereich herrühren. Substituieren wir also $ \delta=x'-\xi$, können wir den Zeitentwicklungskern um $ \delta=0$ entwickeln:

\begin{displaymath}\begin{split}U(t'+\epsilon,x';t,x) = &\int_{-\infty}^{\infty}...
...ght)^k U(t',x';t,x) \frac{(-\delta)^k}{k!} \right]. \end{split}\end{displaymath} (7.6.4)

Vertauschen wir Integration und Summation der Reihe, benötigen wir Integrale über eine Gaußfunktion, die mit einer beliebigen Potenz multipliziert sind. Diese gewinnt man am bequemsten aus der erzeugenden Funktion

$\displaystyle f(\Lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \dd \delta \; \sqrt{\frac{m \h...
... \exp \left ( \frac{\ii m \delta^2}{2 \hbar \epsilon} + \Lambda \delta \right).$ (7.6.5)

Nach der üblichen Regularisierung mit einem kleinen Imaginärteil positiven Imaginärtel $ m/\epsilon \rightarrow m/\epsilon+\ii 0^+$ erhalten wir

$\displaystyle f(\Lambda)=\hbar \exp \left(\frac{\ii \epsilon \Lambda^2}{2m} \right).$ (7.6.6)

Daraus folgt

$\displaystyle I_k:=\int_{-\infty}^{\infty} \dd \delta \; \sqrt{\frac{m \hbar}{2...
...ight)=\left . \frac{\dd^k f(\Lambda)}{\dd \Lambda^k} \right \vert _{\Lambda=0}.$ (7.6.7)

Für $ \epsilon \rightarrow 0$ benötigen wir lediglich die folgenden Gleichungen

$\displaystyle I_0=1, \; I_1=0, \quad I_2=\frac{ \ii \hbar \epsilon}{m}, \quad I_{2n}=\mathcal{O}(\epsilon^n), \quad I_{2n+1}=0$   für$\displaystyle \quad n \in \N.$ (7.6.8)

Setzen wir dies in (7.6.4) ein, erhalten wir

$\displaystyle U(t'+\epsilon,x';t,x)=\left [1-\frac{\ii}{\hbar} \epsilon V(x') +...
... \left (1+ \frac{\ii \hbar \epsilon}{2m} \partial_{x'}^2 \right ) U(t',x';t,x).$ (7.6.9)

Ziehen wir davon $ U(t',x';t,x)$ ab, multiplizieren mit $ \frac{\ii
\hbar}{\epsilon}$ und lassen schließlich $ \epsilon \rightarrow 0$ streben, erhalten wir in der Tat die Schrödingergleichung für den Zeitentwicklungskern

$\displaystyle \ii \hbar \partial_{t'} U(t',x';t,x)= \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_{x'}^2 + V(x') \right ] U(t',x';t,x)$   für$\displaystyle \quad t'>t.$ (7.6.10)

Die Anfangsbedingung lautet selbstverständlich

$\displaystyle U(t+0,x';t,x)=\delta(x'-x).$ (7.6.11)




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