Systeme von $N$ ununterscheidbaren Teilchen und FockraumSysteme von N ununterscheidbaren Teilchen und Fockraum

Die Argumente, die wir eben im Falle eines Systems aus zwei ununterscheidbaren Teilchen angewendet haben, können wir uns wörtlich wiederholt denken für $N$ identische Teilchen. Freilich ist dann die Gruppe $\mathrm{S}_N$ der Permutationen von $N$ Elementen größer, besteht nämlich aus $N!=1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot N$ Funktionen. Für $N \geq 3$ ist diese Gruppe auch nicht mehr Abels, und die Permutationsoperatoren $\mathscr{P}_P$ auf dem $N$ -fachen Produkt des Einteilchenraumes mit sich selbst $\mathcal{H}_N$ sind daher nicht mehr simultan diagonalisierbar. Andererseits gilt nach wie vor unser physikalisches Argument, daß die Observablen unseres Systems allesamt mit allen Permutationsoperatoren vertauschen müssen und also nur solche Unterräume von $\mathcal{H}_N$ zur Beschreibung von $N$ ununterscheidbaren Teilchen geeignet sein können, in denen alle $\mathcal{P}_P$ simultan diagonalisierbar sind und also das Bild dieser Darstellung abelsch sein muß. Die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe (vgl. z.B. [Smi61] Bd. III/1) besagt nun, daß es genau zwei abelsche Darstellungen gibt, nämlich die triviale, für die alle Permutationen durch den Einheitsoperator oder die alternierende, für die

$$\mathcal{P}_P^-=(-1)^{\sigma(P)} \quad \sigma(P)=\begin{cases}0 & \text{falls $P$ gerade Permutation} 1 & \text{falls $P$ ungerade Permutation}. \end{cases}$$ (8.2.1)

Dabei heißt eine Permutation $P:\N_N=\{1,2,\ldots,N\} \rightarrow \N_N$ gerade (ungerade), wenn man eine gerade (ungerade) Anzahl von Vertauschungen von Paaren, um das $N$ -Tupel $(1,2,\ldots,N)$ in die durch die Permutation $P$ vorgegebene Reihenfolge $(P(1),P(2),\ldots,P(N))$ zu bringen.

Es ist dann weiter klar, daß die entsprechenden Bosonen- bzw. Fermionen-$N$ -Teilchenräume von den vollständig symmetrisierten bzw. antisymmetrisierten Produktzuständen einer beliebigen vollständigen Einteilchenbasis aufgespannt werden. Wir wählen zunächst wieder die Orts-Spin-Eigenbasis $\{ \ket{\vec{x},\sigma}\}$ als Einteilchenbasis. Dann haben wir

$$\begin{split}\ket{\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm} &= \frac{1}{\sqrt... ... \ket{\xi_{P(1)} \otimes \ldots \otimes \xi_{P(N)}} \end{split}$$ (8.2.2)

als eine vollständige Basis für den bosonischen bzw. fermionischen $N$ -Teilchenraum $\mathcal{H}_N^{\pm}$ . Man rechnet leicht nach, daß der Symmetrisierungs- bzw. Antisymmetrisierungsoperator

$$\mathscr{P}_N^{\pm} = \frac{1}{N!} \sum_{P \in \mathrm{S}_N} (\pm1)^{\sigma(P)} \mathscr{P}_P$$ (8.2.3)

in vollständigen Produktraum $\mathcal{H}_N$ hermitesch und unitär ist sowie die Projektionseigenschaft

$$(\mathscr{P}^{\pm})^2=\mathscr{P}^{\pm}$$ (8.2.4)

besitzt, d.h. er projiziert beliebigen Zustände in $\mathcal{H}_N$ auf den vollständig symmetrisierten bzw. antisymmetrisierten Teilraum $\mathcal{H}_N^{\pm}$ .

Das Rechnen in diesen Räumen erweist sich jedoch als recht kompliziert. Zum Glück existiert ein Formalismus, die sog. Feldquantisierung, die Vielteilchenrechnungen erheblich vereinfacht. Um zu diesem Formalismus zu gelangen, müssen wir das Konzept einer festen Teilchenzahl verlassen. Wir betrachten stattdessen einen größeren Hilbertraum, in dem wir alle $N$ simultan behandeln können, den sog. Fockraum. Wir postulieren dazu, daß es genau einen Zustand, das Vakuum $\ket{\Omega}$ gibt, der den Fall beschreibt, daß kein Teilchen vorhanden ist, d.h. der dazugehörige Hilbertraum ist eindimensional und addieren weiter orthogonal alle $N$ -Teilchenräume auf:

$$\mathcal{H}_F^{\pm} = \bigoplus_{N=0}^{\infty} \mathcal{H}_N^{\pm}.$$ (8.2.5)

In diesem Hilbertraum gilt für das Skalarprodukt der (anti-)symmetrisierten Produktzustände

$$\begin{split}^{\pm}\braket{\xi_1,\ldots,\xi_N}{\xi_1',\ldots,... ...igma(P)} \prod_{k=1}^{N} \delta(\xi_k-\xi_{P(k)}'), \end{split}$$ (8.2.6)

und die Vollständigkeitsrelation für diese Basiszustände lautet

$$\sum_{N=0}^{\infty} \frac{1}{N!} \int \dd \xi_1 \ldots \int \dd \... ...s \xi_N}^{\pm} {}^{\pm} \bra{\xi_1,\ldots \xi_N} = \einsop_{\text{Fock}}^{\pm}.$$ (8.2.7)

Wir definieren nun Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren im Fockraum, indem wir zunächst die Wirkung eines Erzeungsoperators auf die $N$ -Teilchenbasiszustände definieren:

$$\op{\psi}^{\dagger}(\xi) \ket{\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm}:=\ket{\xi,\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm}.$$ (8.2.8)

Der Erzeugungsoperator führt also den $N$ -Teilchenbasiszustand in einen $N+1$ -Teilchenbasiszustand über oder bildet im fermionischen Falle diesen Vektor auf 0 ab, wenn $\ket{\xi}$ schon in dem ursprünglichen (anti-)symmetrisierten Produktbasisvektor enthalten ist. Multiplizieren wir also die Vollständigkeitsrelation (8.2.7) mit dem Erzeungsoperator, folgt sofort

$$\op{\psi}^{\dagger}(\xi)=\ket{\xi}^{\pm} {}^{\pm} \bra{\Omega} + ... ... \dd \xi_N \ket{\xi,\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm} {}^{\pm}\bra{\xi_1,\ldots,\xi_N}.$$ (8.2.9)

Durch hermitesche Adjunktion folgt, daß entsprechend

$$\op{\psi}(\xi)=\ket{\Omega} {}^{\pm} \bra{\xi} + \sum_{N=1}^{\inf... ... \dd \xi_N \ket{\xi_1,\ldots,\xi_N} ^{\pm} {}^{\pm}\bra{\xi,\xi_1,\ldots,\xi_N}$$ (8.2.10)

ein Vernichtungsoperator ist, der den durch $\xi$ gekennzeichneten Einteilchenzustand aus einem (anti-)symmetrisierten Basiszustand entfernt, sofern er enthalten war oder andernfalls den entsprechenden Vektor auf 0 abbildet. Insbesondere annuliert $\op{\psi}(\xi)$ für alle $\xi$ den Vakuumzustand:

$$\op{\psi}(\xi) \ket{\Omega}=0, \quad \bra{\Omega} \op{\psi}^{\dagger}(\xi)=0.$$ (8.2.11)

Mit Hilfe der Darstellungen (8.2.9) und (8.2.10) folgen unter Verwendung von (8.2.6) die folgenden Vertauschungsregeln:

$$\mpcomm{\op{\psi}(\xi_1)}{\op{\psi}(\xi_2)}= \mpcomm{\op{\psi}^{\... ...uad \mpcomm{\op{\psi}(\xi_1)}{\op{\psi}^{\dagger}(\xi_2)} =\delta(\xi_1-\xi_2).$$ (8.2.12)

Wir bemerken, daß wir es im bosonischen Falle formal mit einer Algebra zu tun haben, die den Leiteroperatoren für kontinuierlich viele durch $\xi$ durchnumerierte harmonische Oszillatormoden entspricht (vgl. Kap. 3.5). Wie wir bei dessen Behandlung gesehen haben, ergeben sich allein aufgrund der Vertauschungsrelationen (8.2.12) bereits die (anti-)symmetrisierten Basiszustände. Sie entsprechen Besetzungszahlzuständen für Oszillatormoden. Hier handelt es sich um Besetzungszahlzustände für Teilchen. Es läßt sich auch leicht zeigen, daß im fermionischen Fall die Konstruktion des Fockraums allein aufgrund der Antikommutatorrelationen (8.2.12) möglich ist. Die Antikommutatorrelationen sorgen dabei automatisch für die Einhaltung des Pauliprinzips, wonach es keine Zustände gibt, in denen zwei oder mehr Teilchen ein und denselben Einteilchenzustand besetzen können. Freilich sorgen die (Anti-)Kommutatorrelationen auch für die korrekte (Anti-)Symmetrisierung der Fockraumbasiszustände.

Im folgenden wollen wir nun zeigen, daß wir die Quantenmechanik von Vielteilchensysteme identischer Bosonen oder Fermionen mit Hilfe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren formulieren können. In dem hier betrachteten nichtrelativistischen Fall hat das den Vorteil, daß es sich mit den Feldoperatoren i.a. einfacher rechnen läßt als im Hilbertraum fester Teilchenzahl mit (anti-)symmetrisierten Produktzuständen. Da die Teilchenzahl für nichtrelativistische Prozesse i.a. erhalten bleibt, sind diese Formalierungen der Vielteilchenquantenmechanik also vollständig äquivalent. Im relativistischen Falle stellt sich allerdings heraus, daß eine physikalisch befriedigende Beschreibung für Vielteilchensysteme fester Teilchenzahl problematisch ist und auch nicht der Erfahrung entspricht, denn bei Stoßprozessen mit relativistischen Energien können Teilchen-Antiteilchenpaare oder z.B. elektromagnetische Strahlen (im quantentheoretischen Bild also Photonen) erzeugt und/oder vernichtet werden.