Lineare Operatoren im Hilbertraum

Mit diesen Betrachtungen haben wir das 1. Postulat für unsere Zwecke hinreichend erläutert. Wenden wir uns also dem 2. Postulat zu. Dazu rekapitulieren wir zunächst einmal den Begriff des linearen Operators. Es sei $\mathcal{D} \subseteq \mathcal{H}$ ein Untervektorraum von $\mathcal{H}$ . Ein Operator $\op{O}: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{H}$ heißt linear, wenn für alle Vektoren $\ket{\psi_1},\; \ket{\psi_2} \in \mathcal{D}$ und alle Zahlen $\lambda_1,\lambda_2 \in \C$ (für die voraussetzungsgemäß auch der Vektor $\lambda_1 \ket{\psi_1} + \lambda_2 \ket{\psi_2} \in \mathcal{D}$ ist)

$$\op{O} (\lambda_1 \ket{\psi_1} + \lambda_2 \ket{\psi_2}) = \lambda_1 \op{O} \ket{\psi_1} + \lambda_2 \op{O} \ket{\psi_2}$$ (2.4.1)

gilt.

Existiert zu dem linearen Operator $\op{O}$ ein linearer Operator $\op{O}^{\dagger}:\mathcal{D} \rightarrow \mathcal{H}$ , so daß für alle $\ket{\psi_1}, \ket{\psi_2} \in \mathcal{D}$

$$\braket{\psi_1}{\op{O} \psi_2} = \braket{\op{O}^{\dagger} \psi_1}{\psi_2}$$ (2.4.2)

gilt, so heißt $\op{O}^{\dagger}$ der zu $\op{O}$ adjungierte Operator. Gilt für einen Operator $\op{O}^{\dagger}=\op{O}$ , so heißt er hermitesch. Ist für jeden Vektor $\ket{\psi} \in \mathcal{D}$ auch $\op{O} \ket{\psi} \in \mathcal{D}$ und ist $\mathcal{D}$ dicht im Hilbertraum $\mathcal{H}$ , so heißt $\op{O}$ selbstadjungiert. Ein Untervektorraum $\mathcal{D}$ heißt dabei dicht im Hilbertraum, wenn es zu jedem $\ket{\psi} \in \mathcal{H}$ eine Folge $(\ket{\psi_n})_{n \in \N}$ mit $\ket{\psi_n} \in \mathcal{D}$ gibt, so daß

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \ket{\psi_n}=\ket{\psi}.$$ (2.4.3)

Postulat 2 besagt nun, daß die Observablen im quantenmechanischen Formalismus durch selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum repräsentiert werden.

Beispiele für selbstadjungierte Operatoren im Funktionenraum sind die Operatoren für die Orts- und Impulskomponenten $\op{x}_k$ und $\op{p}_k$ ( $k \in \{1,2,3\}$ ), die durch

$$\op{x}_k \psi(\vec{x})=x_k \psi(\vec{x}), \quad \op{p}_k \psi(\vec{x})=\frac{\hbar}{\ii} \frac{\partial}{\partial x_k} \psi(\vec{x})$$ (2.4.4)

gegeben sind. Es ist offensichtlich, daß diese Operatoren nicht auf dem ganzen Hilbertraum definiert sein können. Betrachten wir zum Beispiel die Funktion

$$\psi(\vec{x})=\frac{\sin(\vec{k} \cdot \vec{x})}{\vec{k} \cdot \vec{x}} \in \mathrm{L}^2,$$ (2.4.5)

so ist $\op{x}_k \psi(\vec{x}) \notin \mathrm{L}^2$ . Entsprechendes gilt für den Impulsoperator. Ohne dies hier formal beweisen zu wollen, können wir als dichten Teilraum $\mathcal{D}$ für den Definitionsbereich für die Orts- und Impulsoperatoren den sog. Schwartzschen Raum der schnell fallenden Funktionen wählen. Dies ist der Raum der beliebig oft stetig partiell differenzierbaren Funktionen, deren Beträge im Unendlichen schneller abfallen als jedes Polynom $P(\vec{x})$ , d.h. für jedes $\psi \in \mathcal{D}$ strebt für jedes Polynom $P(\vec{x}) \psi(\vec{x}) \rightarrow 0$ , wenn $\vec{x}$ in irgendeiner Richtung $\rightarrow \infty$ gesetzt wird. Es ist eine einfache Übungsaufgabe, zu zeigen, daß die so definierten Operatoren selbstadjungiert sind.

Ist nun $\op{O}$ ein linearer Operator, so heißt $\ket{u_o}$ Eigenvektor von $\op{O}$ zum Eigenwert $o$ , wenn

$$\op{O} \ket{u_o}=o \ket{u_o}$$ (2.4.6)

ist.

In der Quantentheorie müssen wir aber diesen Begriff des Eigenvektors verallgemeinern. Wir gehen hier auf die mathematisch strenge Begründung dieser Verallgemeinerung nicht ein, sondern verweisen diesbezüglich auf die mathematische Spezialliteratur (z.B. [FK08]) oder für eine modernere Formulierung mittels sogenannten ,,rigged Hilbert spaces`` [Bal98,GP90]. Hier begnügen wir uns mit der übliche weniger strikten Handhabung, wie sie in der Physik üblich ist.

Machen wir uns daher die Problematik an einem typischen Beispiel klar und betrachten den Impulsoperator (2.4.4) im $\mathrm{L}^2$ . Der Einfachheit halber betrachten wir ein Teilchen, das sich nur eindimensional entlang der $x$ -Achse bewegt. Der Hilbertraum ist dann einfach $\mathrm{L}^2(\R)$ , der Raum der quadratintegrablen Funktionen $\psi:\R \rightarrow \C$ . Wir suchen also Eigenwerte und Eigenfunktionen für den Differentialoperator $\op{p}=\frac{\hbar}{\ii} \frac{\dd}{\dd x}$ , d.h. wir suchen Lösungen der Differentialgleichung

$$\op{p} u_p(x)=\frac{\hbar}{\ii} \frac{\dd}{\dd x} u_p(x)=p u_p(x).$$ (2.4.7)

Offensichtlich gibt es zunächst für $p \in \C$ eine Lösung, nämlich

$$u_p(x)=N_p\exp\left (\frac{\ii p x}{\hbar} \right ).$$ (2.4.8)

Dabei ist $N_p=$const . Offensichtlich ist für kein $p$ die Funktion $u_p \in \mathcal{D}$ . Sie liegt noch nicht einmal in $\mathrm{L}^2$ ! Für $p \in \R$ ist allerdings die Funktion wenigstens beschränkt, während sie für $\im p \neq 0$ für $x \rightarrow \infty$ unbeschränkt ist. Wie wir gleich noch sehen werden, ist es für die Quantenmechanik allerdings nicht so wichtig, daß wir es mit echten Eigenvektoren zu tun haben. Vielmehr ist die Entwicklung beliebiger Zustandsvektoren nach Eigenvektoren, die im Falle selbstadjungierter Operatoren orthornormiert gewählt werden können, wichtig. Existieren wie hier keine echten Eigenvektoren, so existieren doch welche im Sinne verallgemeinerter Funktionen oder Distributionen. In der Tat gilt im gegebenen Fall der verallgemeinerten Impulseigenfunktionen für $p,p' \in \R$

$$\begin{split}\braket{u_{p'}}{u_p} &= N_{p'}^* N_p \int_{\R} \... ...\hbar \left \vert N_{p} \right\vert^2 \delta(p-p'). \end{split}$$ (2.4.9)

Hierbei ist $\delta$ die Diracsche $\delta$ -Distribution^2.4. Üblicherweise wählt man in der nichtrelativistischen Quantentheorie die Normierungskonstante in (2.4.8) so, daß

$$\braket{u_{p'}}{u_p}=\delta(p-p') \Rightarrow \left \vert N_p \right\vert = \sqrt{\frac{1}{2 \pi \hbar}}$$ (2.4.10)

gilt. Wie wir weiter unten noch genauer ausführen werden, ist die nun immer noch unbestimmte Phase der Wellenfunktion irrelevant. Wir können also $N_p=1/\sqrt{2 \pi \hbar}$ wählen. Damit sind unsere verallgemeinerten Impulseigenfunktionen durch die ebenen Wellen

$$u_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp \left (\frac{\ii p x}{\hbar} \right)$$ (2.4.11)

gegeben.

Untersuchen wir nun, in welchem Sinne dieses verallgemeinerte Orthonormalsystem vollständig ist. Zunächst müssen wir für eine Funtion $\psi \in \mathrm{L}^2$ gemäß (2.3.48) das verallgemeinerte Skalarprodukt

$$\tilde{\psi}(p)=\braket{u_p}{\psi}=\int_{\R} \frac{\dd x}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \exp \left(-\frac{\ii p x}{\hbar} \right ) \psi(x)$$ (2.4.12)

bilden. Weiter haben wir die Funktion

$$\psi'(x)=\int_{\R} \dd p \; \tilde{\psi}(p) u_p(x) = \int_{\R} \f... ...}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \tilde{\psi}(p) \exp \left(+\frac{\ii p x}{\hbar} \right)$$ (2.4.13)

zu betrachten. Wegen der Fourierschen Umkehrformel gilt in der Tat

$$\psi'(x)=\psi(x),$$ (2.4.14)

so daß also unser verallgemeinertes orthonormales System $u_p$ von Impulseigenfunktionen in der Tat vollständig ist. Man spricht auch vom Übergang von der Ortsdarstellung $\psi(x)$ des quantenmechanischen Zustandes zur Impulsdarstellung $\tilde{\psi}(p)$ .

Genauso können wir natürlich auch nach den Eigenfunktionen des Ortsoperators fragen. Es sei also $u_x(x')$ Eigenvektor zum Ortsoperator, d.h. es soll gelten

$$\op{x} u_x(x')=x' u_x(x') \stackrel{!}{=} x u_x(x') \Rightarrow (x-x') u_x(x')=0.$$ (2.4.15)

Folglich muß also $x \in \R$ und

$$u_x(x')=\delta(x'-x)$$ (2.4.16)

sein, wobei wir wieder die Normierung in der üblichen Form für kontinuierliche Eigenwerte gewählt haben. Es ist klar, daß dies wieder ein vollständiger Satz verallgemeinerter Eigenfunktionen ist, denn es gilt für $\psi \in \mathcal{D}$

$$\psi(x')=\int_{\R} \dd x u_x^*(x') \psi(x')=\int_{\R} \dd x \delta(x-x') \psi(x').$$ (2.4.17)

Wir können nun den Zusammenhang dieser wellenmechanischen Formulierung zum abstrakten Hilbertraumformalismus vollziehen. Es sei also $\ket{\psi}$ ein Zustandsket im Definitionsbereich $\mathcal{D}$ der Operatoren $\op{x}$ und $\op{p}$ . Mit $\ket{x}$ bzw. $\ket{p}$ bezeichnen wir die verallgemeinerten Eigenvektoren dieser Operatoren. Dann ist

$$\psi(x)=\braket{x}{\psi}, \quad \tilde{\psi}(p)=\braket{p}{\psi},$$ (2.4.18)

$$u_x(x')=\braket{x'}{x}=\delta(x'-x),$$ (2.4.19)

$$u_p(x)=\braket{x}{p}=\sqrt{\frac{1}{2 \pi \hbar}} \exp \left(\frac{\ii p x}{\hbar} \right),$$ (2.4.20)

$$u_x(p)=\braket{p}{x}=\braket{x}{p}^*=\sqrt{\frac{1}{2 \pi \hbar}} \exp \left(-\frac{\ii p x}{\hbar} \right).$$ (2.4.21)

Die Vollständigkeitsrelationen für die verallgemeinerten Eigenkets lauten dann

$$\int_{\R} \dd x \ketbra{x}{x}=\einsop, \quad \int_{\R} \dd p \ketbra{p}{p} = \einsop.$$ (2.4.22)

Durch Einschieben solcher Identitäten können wir leicht von einer Darstellung in die andere umrechnen. Deshalb hat man in der Frühzeit der Quantentheorie diesen auf Dirac zurückgehenden Formalismus auch als Transformationstheorie bezeichnet. Wollen wir z.B. den Ortsoperator in der Impulsdarstellung finden, müssen wir berechnen

$$\op{x} \tilde{\psi}(p) := \braket{p}{\op{x} \psi}.$$ (2.4.23)

Es ist klar, daß sich hier ein Einschieben der Identität $\einsop$ mit verallgemeinerten Ortseigenvektoren empfiehlt:

$$\op{x} \tilde{\psi}(p) = \int_{\R} \dd x \braket{p}{x} \braket... ...x} \braket{\op{x} x}{\psi}=\int_{\R} \dd x x \braket{p}{x} \braket{x}{\psi}.$$ (2.4.24)

Nun ist aber

$$\braket{p}{x}=\braket{x}{p}^*=\sqrt{\frac{1}{2 \pi \hbar}} \exp \... ...htarrow x \braket{p}{x}=\ii \hbar \frac{\partial}{\partial p} \braket{p}{x}.$$ (2.4.25)

Wir können also schreiben

$$\op{x} \tilde{\psi}(p)=\ii \hbar \frac{\dd}{\dd p} \int_{\R} \dd x \braket{p}{x} \braket{x}{\psi} = \ii \hbar \frac{\dd}{\dd p} \tilde{\psi}(p).$$ (2.4.26)

Der Ortsoperator in der Impulsdarstellung ist also $\ii \hbar \dd/\dd p$ .

Wie wir anhand dieser Beispiele gesehen haben, besitzen selbstadjungierte Operatoren stets ein reelles Spektrum^2.5, und die dazugehörigen (verallgemeinerten) Eigenvektoren zu verschiedenen Spektralwerte sind zueinander (im verallgemeinerten Sinne) orthogonal. Ohne Beweis nehmen wir an, daß diese (verallgemeinerten) Eigenzustände nach geeigneter Normierung insgesamt ein vollständiges (verallgemeinertes) Orthogonalsystem bilden. Im folgenden schreiben wir bei allgemeinen Betrachtungen die Gleichungen stets für diskrete Eigenwerte. Für verallgemeinerte Eigenwerte gelten die Gleichungen entsprechend im Sinne von Distributionen. Sind z.B. $o_1$ und $o_2$ echte voneinander verschiedene reelle Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators, so gilt

$$\braket{o_1}{o_2}=0 \quad o_1 \neq o_2.$$ (2.4.27)

Falls die Werte hingegen zum kontinuierlichen Teil des Spektrums des Operators gehören, gilt (nach entsprechender Normierung)

$$\braket{o_1}{o_2}=\delta(o_1-o_2).$$ (2.4.28)

Wir wollen die Orthogonalität (2.4.27) der Eigenvektoren und die Realität der Spektralwerte selbstadjungierter Operatoren beweisen. Seien also $\ket{o_k}$ Eigenvektoren des selbstadjungierten Operators $\op{O}$ zu den Eigenwerten $o_k$ . Wir nehmen an, daß all diese Vektoren auf $1$ normiert sind, d.h.

$$\braket{o_k}{o_k}=1.$$ (2.4.29)

Zum Beweis, daß die Eigenwerte reell sind, verwenden wir die Selbstadjungiertheit des Operators $\op{O}$ :

$$o_1=\braket{o_1}{\op{O} o_1}=\braket{\op{O}^{\dagger} o_1}{o_1} = \braket{\op{O} o_1}{o_1}=o_1^* \braket{o_1}{o_1}=o_1^*.$$ (2.4.30)

Das bedeutet aber in der Tat, daß $o_1 \in \R$ ist. Weiter gilt einerseits

$$\braket{o_1}{\op{O} o_2}=o_2 \braket{o_1}{o_2},$$ (2.4.31)

denn $\ket{o_2}$ ist Eigenvektor von $\op{O}$ zum Eigenwert $o_2$ . Andererseits gilt aber wegen der Selbstadjungiertheit von $\op{O}$ und der Realität von $o_1$

$$\braket{o_1}{\op{O} o_2} = \braket{\op{O}^{\dagger} o_1}{o_2} = \braket{\op{O} o_1}{o_2}=o_1 \braket{o_1}{o_2}.$$ (2.4.32)

Ziehen wir dieses Resultat von (2.4.31) ab, erhalten wir schließlich

$$(o_2-o_1) \braket{o_1}{o_2}=0.$$ (2.4.33)

Falls nun $o_1 \neq o_2$ , d.h. $o_2-o_1 \neq 0$ ist, folgt daraus in der Tat (2.4.28).

Falls es zu einem Eigenwert $o_k$ von $\op{O}$ mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor gibt, bezeichnen wir die Eigenzustände mit $\ket{o_k,\alpha}$ , wobei $\alpha$ eine diskrete oder kontinuierliche Variable ist, welche die verschiedenen Eigenvektoren zu diesem gleichen Eigenwert durchnumeriert. Man nennt diesen Eigenwert dann entartet. Diese Vektoren spannen den Eigenraum des Operators zum Eigenwert $o_k$ auf. Wir können dann mit Hilfe des Schmittschen Orthonormierungsverfahrens [CH10] dafür sorgen, daß die Eigenvektoren in diesem Unterraum wieder ein Orthonormalsystem bilden, d.h. im Falle diskreter Werte $\alpha$

$$\braket{o_k,\alpha}{o_k,\alpha'}=\delta_{\alpha,\alpha'} = \begin... ... \quad \alpha=\alpha',\ 0 & \text{falls} \quad \alpha \neq \alpha' \end{cases}$$ (2.4.34)

und für kontinuierliche Werte

$$\braket{o_k,\alpha}{o_k,\alpha'}=\delta(\alpha-\alpha').$$ (2.4.35)