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Potentialstreuung

Die Potententialstreuung ist besonders für die Pfadintegralformulierung geeignet. Die Resultate sind freilich schließlich die gleichen wie in der Operator- bzw. Wellenfunktionsformulierung (vgl. Kapitel 5). Wir betrachten wie dort die Streuung eines einzelnen Teilchens an einem vorgegebenen äußeren Potential, wobei wir davon ausgehen, daß das Potential hinreichend schnell im Unendlichen verschwindet, so daß Teilchen, die sich außerhalb der Reichweite $ \R$ des Potentials befinden, als asymptotisch frei betrachtet werden können.

Im Heisenbergbild der Zeitentwicklung lauten die $ S$-Matrixelemente

$\displaystyle S_{fi}=\lim_{t_i \rightarrow -\infty, t_f \rightarrow \infty} \braket{t_f,\vec{p}_f}{\vec{p}_i,t_i},$ (7.7.1)

wobei $ \ket{t_f,\vec{p}_f}$ und $ \ket{\vec{p}_i,t_i}$ diejenigen exakten Streulösungen sind, welche für $ t \rightarrow \pm \infty$ in asymptotisch freien End- bzw. Anfangszustände mit Impulsen $ \vec{p}_f$ bzw. $ \vec{p}_i$ übergehen.

Bislang haben wir die Pfadintegralformulierung benutzt, um den Zeitentwicklungskern bzgl. der Ortsdarstellung zu berechnen. Diesen können wir nun aber auch für die Berechnung der $ S$-Matrix verwenden, indem wir ihn in die Impulsdarstellung umrechnen. Mit (7.7.1) erhalten wir

$\displaystyle S_{fi}=\lim_{t_i \rightarrow -\infty,t_f \rightarrow \infty} \int...
...\braket{t_i,\vec{x}_2}{t_i,\vec{p}_i}}_{ \varphi_{\vec{p}_f}(t_{i},\vec{x}_2)}.$ (7.7.2)

Die $ S$-Matrixelemente können also in der Form

$\displaystyle S_{fi}=\lim \int \d^3 \vec{x}_1 \int \d^3 \vec{x}_2 \; \varphi_{\...
...,\vec{x}_1) U(t_f,\vec{x}_1;t_i,\vec{x}_2) \varphi_{\vec{p}_i}(t_{i},\vec{x}_2)$ (7.7.3)

geschrieben werden, wobei wir $ \lim$ als Abkürzung für den Limes $ t_i \rightarrow -\infty, t_f \rightarrow \infty$ geschrieben haben. Die Wellenfunktionen $ \varphi_{\vec{p}}$ können dabei durch die Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung für ein freies Teilchen mit Impuls $ \vec{p}$ ersetzt werden7.1:

$\displaystyle \varphi_{\vec{p}}(t,\vec{x})=\frac{1}{(2 \pi)^{(3/2)}} \exp \left (-\ii \frac{\vec{p}^2}{2m} t +\ii \vec{p} \vec{x} \right ).$ (7.7.4)

Im folgenden wollen wir die störungstheoretische Born-Reihe mit Hilfe der Pfadintegratlmethode herleiten. Der Ausgangspunkt ist wieder die Feynman-Kac-Formel für den Zeitentwicklungskern

$\displaystyle U(t_f,\vec{x}_1;t_i,\vec{x}_2)=\int_{(t_i,\vec{x}_1)}^{(t_f,\vec{x}_2)} \mathcal{D}{}^{3} \vec{x} \exp \{ \ii S[\vec{x}] \}.$ (7.7.5)

Nun gilt

$\displaystyle S[x]=\int_{t_i}^{t_f} \dd t \; [L_0(\vec{x},\frac{\d\vec{x}}{\dd t})-V(x)] \dd t$   mit$\displaystyle \quad L_0 \left (\vec{x},\frac{d\vec{x}}{dt} \right )=S_0[x]+S_I[x]=\frac{m}{2} \left ( \frac{dx}{dt} \right )^2.$ (7.7.6)

Dabei ist $ S_0[x]$ das Wirkunkgsfunktional für freie Teilchen und $ S_I[x]$ der Wechselwirkungsteil der vollen Wirkung. Wir entwickeln nun den Integranden des Pfadintegrals in Potenzen von $ S_I$:

\begin{displaymath}\begin{split}U (t_f,\vec{x}_f;&t_i,\vec{x}_i) = \int_{(t_i,\v...
...d\tau_2 V[x(\tau_1)]V[x(\tau_2)] +\ldots \right \}. \end{split}\end{displaymath} (7.7.7)

Daraus ergibt sich, daß die ,,0te Näherung`` durch den Zeitentwicklungskern freier Teilchen gegeben ist. Durch dieselben Argumente wie oben bei der Berechnung des Pfadintegrals für Erwartungswerte zeitgeordneter Produkte von Operatoren finden wir für die Näherung erster Ordnung

$\displaystyle U^{(1)}(t_f,\vec{x}_f;t_i,\vec{x}_i)= -\ii \int_{t_i}^{t_f} \d\ta...
...f,\vec{x}_f;\tau_1,\vec{y}_1) V(\vec{y}_1) U_0(\tau_1,\vec{y}_1;t_i,\vec{x}_i).$ (7.7.8)

Bevor wir die nächsthöhere zweite Ordnung der Näherung betrachten, interpretieren wir zuächst dieses Resultat. Dazu betrachten wir den Integranden unter dem Integral in (7.7.8) zu einem vorgegebenen Zeitpunkt $ \tau_1$. Um dies Interpretieren zu können, müssen wir die Formel entsprechend der Zeitordnung von rechts nach links lesen. Zunächst propagiert das Teilchen als freies Teilchen vom Anfangsort $ \vec{x}_i$ zur Zeit $ t_i$ zum Punkt $ \vec{y}_1$ zur Zeit $ \tau_1$, wo es vom Potential gestreut wird, von wo ab es sich wiederum als freies Teilchen bewegt, so daß es zur Zeit $ t_f$ zum Punkt $ \vec{x}_f$ gelangt (wo es ggf. vom Detektor registriert wird). Die Integrale über das Zeitintervall $ [t_i,t_f]$ sowie über alle Punkte $ \vec{y}_1$ ist wieder als kohäherente Summe der Wahrscheinlichkeitsamplituden über alle möglichen Streuprozesse dieser Art betrachtet werden, was ja schon der Feynmansche Ausgangspunkt für die Entwicklung der Pfadintegralmethode ist. Dadurch ist auch die Bedeutung des Beitrags $ k$-ter Ordnung der Störungsreihe klar: Dieser Term trägt der Möglichkeit Rechnung, daß das Teilchen nicht nur einmal sondern $ k$-mal vom Potential bei allen möglichen Zwischenzeiten und -orten gestreut wird. Auch diese Beiträge sind entsprechend (7.7.7) kohäherent zur Zeitentwicklungsamplitude aufzusummieren.

Wenden wir uns nun der zweiten Ordnung der Störungsentwicklung (7.7.7) zu. Dazu führen wir die Heavisidesche Sprungfunktion

$\displaystyle \Theta(\tau) = \begin{cases}0 & \text{f\uml {u}r} \quad \tau<0,\\ 1 & \text{f\uml {u}r} \quad \tau \geq 0 \end{cases}$ (7.7.9)

ein. Mit Hilfe dieser Funktion können wir den Term zweiter Ordnung in der Form

\begin{displaymath}\begin{split}U^{(2)}(t_f,&\vec{x}_1;t_i,\vec{x}_2)= \frac{(-\...
... V(\vec{y}_1) U_0(\tau_1,\vec{y}_1;t_i,\vec{x}_2)]. \end{split}\end{displaymath} (7.7.10)

Weiter führen wir den retardierten Zeitentwicklungskern durch

$\displaystyle U_0^{(R)}(\tau_1,\vec{y}_1;\tau_2,\vec{y}_2) = \Theta(\tau_1-\tau_2) U_0(\tau_1,\vec{y}_1;\tau_2,\vec{y}_2)$ (7.7.11)

ein, so daß wir nach Vertauschen der Integrationsvariablen im zweiten Integral in (7.7.10) denselben Ausdruck wie im ersten Integral erhalten. Dieses Argument läßt sich auf den allgemeinen Term $ k$-ter Ordnung in der Störungsreihe (7.7.7) anwenden, so daß wir schließlich

\begin{displaymath}\begin{split}U^{(k)}(t_f,\vec{x}_f;t_i,\vec{x}_i) =& (-\ii )^...
...2) \ldots V(\vec{y}_k) U_0^{(R)}(y_1;t_i,\vec{x}_i) \end{split}\end{displaymath} (7.7.12)

erhalten.

Dabei haben wir nunmehr eine vierdimensionale Schreibweise für die Raum-Zeit-Variablen $ (\tau_k,\vec{y}_k)$ eingeführt. Bei den Integralen ist jede Zeitintegration über das Intervall $ [\tau_i,\tau_f]$ und jede Integration über die Ortsvektoren über den ganzen $ \R^3$. Damit gelangen wir zur gleichen Bornschen Reihe für den Zeitentwicklungskern, den wir bereits von unserer Behandlung in Abschnitt 5.4 im Rahmen der Wellenmechanik gewonnen haben.

Nun können wir auch die Feynman-Regeln formulieren. Wir können sie direkt den Gleichungen (7.7.7) und (7.7.12) entnehmen. Sie reflektieren sozusagen die ,,Zeitevolution`` des Teilchens unter Einfluß des Potentials. Sie sind in einem Raum-Zeit-Diagramm zu lesen, wobei wir die Zeit von unten nach oben laufen lassen. Die horizontale Richtung im Diagramm steht dann für die räumlichen Koordinaten. Für jeden retardierten Zeitentwicklungskern $ U^{(R)}(x_1;x_2)$ zeichnen wir eine Linie mit einem Pfeil, der vom Raumzeit-Punkt $ x_2=(t_2,\vec{x}_2)$ zum Raumzeit-Punkt $ x_1=(t_1,\vec{x}_1)$ weist. Dies entspricht der Richtung der Propagation des Teilchens. Jeder Wechselwirkungsbeitrag $ -\ii
V(\vec{x})$ wird durch einen ,,Sticker`` repräsentiert. Damit ergibt sich die anschauliche Bedeutung des Beitrages $ k$-ter Ordnung der Bornreihe als einer Propagation praktisch freier Teilchen, die $ k$-mal am Potential gestreut werden.

\includegraphics[width=0.4\linewidth]{bornser}
Diagrammatische Darstellung der Born-Reihe.

Aus dieser diagrammatischen Darstellungen können wir sofort auch die Lippmann-Schwinger-Gleichung ablesen:

$\displaystyle U^{(R)}(x_1,x_2)=U_0^{(R)}(x1,x2)-\ii \int \d^4 y U_0^{(R)}(x_1,y)V(y)U^{(R)}(y,x_2).$ (7.7.13)

Aus (7.6.10) bzw. der entsprechenden Gleichung für den freien Propagator $ U_0^{(R)}(x_1;x_2)$ erhalten wir unter Berücksichtigung der $ \Theta$-Funktion und ihrer Ableitung

$\displaystyle \frac{\partial_{t_1}} \Theta(t_1-t_2)=\delta(t_1-t_2)$ (7.7.14)

die Gleichung

$\displaystyle \left(\ii \partial_{t_1} + \frac{\Delta_1}{2m} \right ) U_0^{(R)}(x_1;x_2)=\ii \delta^{(4)}(x_1-x_2),$ (7.7.15)

woraus folgt, daß $ U_0^{(R)}$ die retardierte Greensche Funktion der freien Schrödinger-Gleichung ist, die sich durch die Randbedingung

$\displaystyle U_0^{(R)}(x_1;x_2) \propto \Theta(t_1-t_2),$ (7.7.16)

auszeichnet und die Kausalstruktur der Quantentheorie für die Bornsche Näherung audrückt. Der Zustand des Teilchens zur Zeit $ t$ wird allein durch Wechselwirkungsprozesse mit dem Potential zu früheren Zeiten bestimmt.

Verwenden wir (7.7.16) und (7.7.13), sehen wir, daß $ U^{(R)}$ die volle retardierte Greensche Funktion der Schrödingergleichung für ein Teilchen unter Einfluß des Potentials $ V$ ist:

$\displaystyle \left [ \ii \partial_{t_1} + \frac{\Delta_1}{2m} - V(\vec{x}_1) \right ] U^{(R)}(x_1;x_2)=\ii \delta^{(4)}(x_1-x_2).$ (7.7.17)

Diese Formulierung in der Ortsdarstellung ist nun zwar im obigen Sinne recht anschaulich. Sie ist aber für praktische Rechnungen aufgrund der verwickelten Zeitabhängigkeiten recht kompliziert. Es ist wesentlich einfacher, in der Impulsdarstellung zu arbeiten. Dazu müssen wir lediglich die Fourier-Darstellung des freien retardierten Propagators berechnen. Dazu gehen wir mit dem Ansatz

$\displaystyle U_0(x_{1};x_{2})=\int \frac{\d^3 \vec{p}}{(2\pi)^3} \exp[\ii \vec{p}(\vec{x}_1-\vec{x}_2)] \tilde{U}_0(t_1;t_2;\vec{p}).$ (7.7.18)

in Gleichung (7.7.15) ein. Dies liefert

$\displaystyle \left ( \ii \partial_{t_1}-\frac{\vec{p}^2}{2m} \right) U_0^{(R)}(t_1;t_2;\vec{p}) = \ii \delta(t_1-t_2).$ (7.7.19)

Damit erhalten wir die eindeutige Lösung für die Greensche Funktion der freien Schrödinger-Gleichung unter Vorgabe der Retardierungsbedingung (7.7.16) zu

$\displaystyle U_0^{(R)}(t_1;t_2;\vec{p})=\exp \left [ -\ii \frac{\vec{p}^2}{2m} (t_1-t_2) \right ] \Theta(t_{1}-t_{2}).$ (7.7.20)

Diese Zeitabhängigkeit ist wesentlich einfacher zu handhaben als in der Ortsdarstellung. Setzen wir dieses Resultat in (7.7.8) für die erste Ordnung der Born-Reihe ein, erhalten wir nach einiger Rechnung als Näherung für das $ S$-Matrixelement (7.7.3) zu

$\displaystyle S_{fi}^{(1)}=\frac{-\ii }{(2\pi)^2} \tilde{V}(\vec{p}_i-\vec{p}_f) \delta(E_f-E_i),$ (7.7.21)

wobei $ E_f$ und $ E_i$ die kinetische Energie des asymptotisch frei aus- bzw. einlaufenden Teilchens

$\displaystyle E_{f,i}=\frac{1}{2m} \vec{p}_{f,i}^2$ (7.7.22)

bezeichnen. Wir bemerken, daß die Grenzwerte $ t_{\i} \rightarrow -\infty$ und $ t_f \rightarrow \infty$ nach Ausführung der Integrale zu nehmen waren, dann aber keine prinzipiellen Probleme mehr verursachten. Es ist klar, daß es sich um schwache Grenzwerte im Sinne der Distributionentheorie handelt. Die $ \delta$-Distribution in (7.7.21) garantiert die Energieerhaltung bei der Potentialstreuung. $ \tilde{V}$ bezeichnet die Fourier-Transformierte des Potentials:

$\displaystyle \tilde{V}(\vec{p})=\int \d^3 \vec{x} \exp[\ii \vec{p} \vec{x}] V(\vec{x}).$ (7.7.23)

Jetzt wollen wir den Wirkungsquerschnitt für die Streuung am äußeren Potential berechnen. Dieser ist für einen Strom von Teilchen mit recht gut bestimmtem Impuls $ \vec{p}_i$ als das Verhältnis der Zahl der Teilchen, die in einen kleinen Impulsbereich um $ \vec{p}_f$ gestreut werden, zum einlaufenden Strom (d.h. Zahl der pro Zeit- und Flächeneinheit einlaufenden Teilchen).

Die Hauptschwierigkeit besteht dabei darin, daß das Streumatrixelement (7.7.21), das die Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang $ \vec{p}_i \rightarrow \vec{p}_f$ aufgrund der Streuung am Potential angibt, eine Distribution ist. Die entsprechende Übergangswahrscheinlichkeit sollte durch $ \vert S_{fi}\vert^2$ gegeben sein. Allerdings enthält $ S_{fi}$ die $ \delta$-Distribution, die die Energieerhaltung wiederspiegelt. Wir regularisieren daher das Matrixelement dadurch, daß wir in (7.7.3) zu einem endlichen aber großen Zeitintervall zurückgehen. In der ersten Ordnung der Störungstheorie ergibt dies

$\displaystyle S_{fi}^{(1\mathrm{reg})}=\frac{\tilde{V}(\vec{p}_f-\vec{p}_i) \{\exp[-\ii (E_f-E_i) t_f]-\exp[-\ii (E_f-E_i) t_i]\}}{(2\pi)^3(E_f-E_i)}.$ (7.7.24)

Nehmen wir davon das Betragsquadrat und dividieren durch $ t_f-t_i$, erhalten wir nach einigen Umformungen

$\displaystyle w_{fi}^{(1\mathrm{reg})}=\frac{\vert\tilde{V}(\vec{p}_f-\vec{p}_i...
...n[(E_f-E_i)(t_f-t_i)/2]}{(E_f-E_i)(t_f-t_i)/2}\right )^2 \frac{t_f-t_i}{2 \pi}.$ (7.7.25)

Dies ist die mittlere Übergangswahrscheinlichkeitsrate für das endliche Intervall $ t_f-t_i$. Lassen wir dieses Intervall $ t_f-t_i
\rightarrow \infty$ werden, finden wir schließlich

$\displaystyle w_{fi}^{(1)} =\frac{\vert\tilde{V}(\vec{p}_f-\vec{p}_i)\vert^2}{(2\pi)^5} \delta(E_f-E_i).$ (7.7.26)

Wir erhalten wieder die energieerhaltende $ \delta$-Distribution. Da das Potential voraussetzungsgemäß
nicht zeitabhängig ist, muß dies ja auch resultieren, da in diesem Fall die Energie beim Stoßprozeß erhalten ist.

Um nun den Wirkungsquerschnitt zu definieren, benötigen wir nur den Strom der einlaufenden Teilchen. Die Dichte der einlaufenden Teilchen ist durch $ \rho(t,\vec{x})=\vert\psi(t,\vec{x})\vert^2$, wobei $ \psi$ die asymptotisch freie Wellenfunktion für die einlaufenden Teilchen ist. Für die auf eine $ \delta$-Distribution im Impulsraum normierte ebene Welle ergibt dies $ 1/(2 \pi)^3$ und folglich ist der einlaufende Strom $ \vec{j}(t,\vec{x})=\vec{p}_i/[(2 \pi)^3 m]$. Dies ergibt sich auch aus dem Strom der Schrödingergleichung gemäß

$\displaystyle \vec{j}(t,\vec{x})=\frac{1}{2 i m} (\psi^* \nabla \psi - cc.)=\frac{\vec{p}_i}{(2 \pi)^3 m}.$ (7.7.27)

Dividieren wir also die Übergangswahrscheinlichkeitsrate durch $ \vert\vec{j}\vert$, ergibt sich schließlich der Streuquerschnitt in der ersten Ordnung der Störungstheorie (Bornsche Näherung) zu

$\displaystyle \frac{\dd \sigma^{(1)}}{\d^3 \vec{p}_f}=\frac{m \vert\tilde{V}(\vec{p}_f-\vec{p}_i)\vert^2}{(2\pi)^2 \vert\vec{p}_i\vert} \delta(E_f-E_i).$ (7.7.28)

Integrieren wir dieses Result über den Impulsbetrag, erhalten wir unter Verwendung der Gleichung

$\displaystyle \delta(E_f-E_i)=\delta \left (\frac{p_f^2}{2m}-\frac{p_i^2}{2m} \right ) = \frac{m}{p_i} \delta(p_f-p_i)$ (7.7.29)

den Streuquerschnitt pro Raumwinkelelement zu

$\displaystyle \frac{\dd \sigma^{(1)}}{\dd \Omega}=\frac{m^2 \vert V(\vec{p}_f-\vec{p}_i)\vert^2}{(2 \pi)^2 p_i^2}$   mit$\displaystyle \quad \vert\vec{p}_f\vert = \vert\vec{p}_i\vert.$ (7.7.30)




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