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Ein System von zwei ununterscheidbaren Teilchen

Wir betrachten zunächst zwei ununterscheidbare Teilchen mit Spin $ s \in \{0,1/2,1,\ldots \}$. Zunächst ist eine Basis dieses Systems durch die Produktzustände

$\displaystyle \ket{\xi_1,\xi_2}=\ket{\xi_1} \otimes \ket{\xi_2},$ (8.1.1)

wobei wir mit $ \xi_k=(\vec{x}_k,\sigma_k)$ bezeichnen, wobei $ \op{x}_k$ Orts- und Spin-$ z$-Komponente des $ k$-ten Teilchens sind. Wir definieren nun den Permutationsoperator

$\displaystyle \mathscr{P}_2 \ket{\xi_1,\xi_2}:=\ket{\xi_2,\xi_1}.$ (8.1.2)

Dieser Operator ergibt für identische Teilchen einen Sinn, weil die Einteilchenzustände in diesem Falle im gleichen Hilbertraum $ \mathcal{H}_1$ liegen. Der Permutationsoperator wird nun auf den gesamten Produktraum $ \mathcal{H}_2=\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2$ linear fortgesetzt. Da die Produktzustände (8.1.1) eine vollständige Basis von $ \mathcal{H}_2$ bilden, bedeutet das

$\displaystyle \mathscr{P}_2 \ket{\Psi}=\int \dd \xi_1 \int \dd \xi_2 \ket{\xi_2,\xi_1} \braket{\xi_1,\xi_2}{\Psi}$   mit$\displaystyle \quad \int \dd \xi_1:=\sum_{\sigma_1=-s}^{s} \int \dd^3 \vec{x}_1.$ (8.1.3)

Es ist klar, daß $ \mathscr{P}_2$ hermitesch ist und daß

$\displaystyle \mathscr{P}_2^2=\einsop$ (8.1.4)

ist. Damit ist also $ \mathscr{P}_2$ auch unitär.

Die Ununterscheidbarkeit der Teilchen impliziert weiter, daß alle Observablen $ \op{A}$ im Zweiteilchenraum mit $ \mathscr{P}_2$ kommutieren. Andernfalls wäre sonst der Operator

$\displaystyle \op{A}'=\mathscr{P}_2 \op{A} \mathscr{P}_2$ (8.1.5)

von $ \op{A}$ verschieden. Das kann aber nicht sein, weil $ \op{A}'$ sich von $ \op{A}$ nur dadurch unterscheidet, daß er sich auf ein System bezieht, bei denen lediglich die Teilchen untereinander vertauscht sind, und dann könnte man durch Messung von $ \op{A}$ bzw. $ \op{A}'$ die Teilchen doch voneinander unterscheiden.

Gehen wir wieder davon aus, daß wir eine irreduzible Darstellung der Observablenalgebra des Zweiteilchensystems betrachten, muß also im Hilbertraum für zwei ununterscheidbare Teilchen $ \mathscr{P}_2$ diagonal sein, d.h. alle Vektoren müssen Eigenvektoren von $ \mathscr{P}_2$ sein. Da die Eigenwerte von $ \mathscr{P}_2$ wegen (8.1.4) nur $ \pm 1$ sein können, müssen aufgrund des Superpositionsprinzips also alle Vektoren entweder Eigenvektoren von $ \mathscr{P}_2$ zum Eigenwert $ 1$ oder $ -1$ sein. Teilchen der ersten Art nennen wir Bosonen und der zweiten Art Fermionen. Es ist ein empirisches Faktum und läßt sich aus der relativistischen Quantentheorie unter recht schwachen Annahmen auch theoretisch begründen, daß Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen und solche mit halbzahligem Spin Fermionen sind.

Der zur Beschreibung zweier ununterscheidbarer Teilchen geeignete Hilbertraum ist also nicht $ \mathcal{H}_2$, sondern nur einer der Teilräume $ \mathcal{H}_2^{\pm}$ zum Eigenwert $ \pm 1$ von $ \mathscr{P}_2$, je nachdem, ob es sich bei den Teilchen um Bosonen (oberes Vorzeichen) oder Fermionen (unteres Vorzeichen) handelt. Die geeigneten Basen sind durch die symmetrisierten bzw. antisymmetrisierten Produkte der Einteilchenbasisvektoren mit sich selbst gegeben:

$\displaystyle \ket{\xi_1,\xi_2}^{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2!}} (\ket{\xi_1,\xi_2} \pm \ket{\xi_2,\xi_1} ).$ (8.1.6)

Um deren Vollständigkeit für die Räume $ \mathcal{H}_2^{\pm}$ zu zeigen, berechnen wir zunächst

\begin{displaymath}\begin{split}^{\pm}\braket{\xi_1,\xi_2}{\xi_1',\xi_2'}^{\pm}&...
..._2') \pm \delta(\xi_1-\xi_2') \delta(\xi_2-\xi_1'). \end{split}\end{displaymath} (8.1.7)

Dann folgt

$\displaystyle \int \dd \xi_1 \int \dd \xi_2 \ket{\xi_1,\xi_2}^{\pm} {}^{\pm}\br...
...\xi_1',\xi_2'}^{\pm} \pm \ket{\xi_2'}{\xi_1'}^{\pm}=2 \ket{\xi_1',\xi_2'}^{\pm}$ (8.1.8)

Wir haben also im ZweiteilichenRaum die Vollständigkeitsrelation

$\displaystyle \frac{1}{2!} \int \dd \xi_1 \int \dd \xi_2 \ket{\xi_1,\xi_2}^{\pm} {}^{\pm}\bra{\xi_1,\xi_2} = \einsop_2^{\pm},$ (8.1.9)

wobei wir den Identitätsoperator auf dem symmetrisierten bzw. antisymmetrisierten Zweiteilchenraum mit $ \einsop_2^{\pm}$ bezeichnet haben.




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