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Fockraumformulierung für Observablen

Wir wollen nun Observablen in Fockraumformulierung darstellen. Betrachten wir zunächst den Operator für die Teilchendichte. Wir behaupten, daß die Teilchendichte für ein Teilchen mit Spinkomponente $ \sigma$ an der Position $ \vec{x}$ durch den Operator

$\displaystyle \op{\varrho}(\xi)=\op{\psi}^{\dagger}(\xi) \op{\psi}(\xi)$ (8.3.1)

repräsentiert wird. Daß dies eine physikalisch sinnvolle Definition ist, ergibt sich durch Anwendung des Operators auf einen (anti-)symmetrisierten Basisfockzustand. Dazu berechnen wir zunächst den Kommutator mit einem beliebigen Erzeugungsoperator:

\begin{displaymath}\begin{split}\comm{\op{\varrho}(\xi)}{\op{\psi}^{\dagger}(\xi...
...si}(\xi)\\ &=\op{\psi}^{\dagger} \delta(\xi-\xi_1). \end{split}\end{displaymath} (8.3.2)

Nun können wir diese Vertauschungsrelation benutzen, um die Wirkung des Dichteoperators (8.3.1) auf den Basisfockzustand zu berechnen, indem wir den Fockzustand mittels Erzeugungsoperatoren darstellen:

\begin{displaymath}\begin{split}\op{\varrho}(\xi) \ket{\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm}...
...} \delta(\xi-\xi_k) \ket{\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm}. \end{split}\end{displaymath} (8.3.3)

Der Basisfockzustand ist also Eigenzustand des Operators (8.3.1) zum Eigenwert $ \sum_{k=1}^{N} \delta(\xi-\xi_k)$. Das ist aber genau die Teilchendichte für die durch diesen Basisfockzustand repräsentierte physikalische Situation, daß $ N$ Teilchen mit wohlbestimmten Spin an wohlbestimmten Positionen sitzen.

Es ist weiter klar, daß der Operator für die Gesamtteilchenzahl durch Integration über den Raum und Summation über die Spinzustände des Teilchendichteoperators

$\displaystyle \op{N} = \int \dd \xi \op{\varrho}(\xi)$ (8.3.4)

gegeben sein sollte. Integrieren wir die Beziehung (8.3.3) über $ \xi$, finden wir in der Tat

$\displaystyle \op{N} \ket{\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm}=N \ket{\xi_1,\ldots,\xi_N}^{\pm},$ (8.3.5)

d.h. der Basisfockzustand ist Eigenvektor von $ \op{N}$ zum Eigenwert $ N$, der Gesamtteilchenzahl dieses Zustands.



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